Algebra booleana

Introduccion Las algebras booleanas, estudiadas por primera vez en detalle por George Boole, constituyen un lugar prominente en el advenimiento de la computadora digital. Son usadas ampiamente en el diseno de los circuitos de distribucion y computadoras, y sus aplicaciones van en aumento en muchas otras areas. En el nivel de la logica digital de una computadora, lo que comunmente se llama hardware, y que esta fomado por los comppnentes electronicos de la maquina, se trabaja con diferencias de tension, las cuales generan funciones que son caliculadas por los circuitos que forman el nivel. Estas funciones, en la etapa de diseno del hardware, son interpretadas como funciones de boole.

Definicion El algebra es un sistema matematico deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario “*”, definido en este juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana.

Algebra Booleana Para cualquier sistema algebraico existe una serie de postulados inciales, de aqui se puden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el algebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados:

Cerrado El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valoers booleanos se produce un solo resultado booleano.

Conmutativo Se dice que un operador binario “ ⁰ ” es conmutativo si A ⁰ B=B ⁰ A para todos los posibles valores de A y B.

Asociativo Se dice que un operador binario ” ⁰ ” es asociativo si (A ⁰ B) ⁰ C=A ⁰ (B ⁰ C) para todos los valores booleanos de A,B y C.

Distributivo Dos operadores binarios “ ⁰ ” y “%” son distributivos si A ⁰ (B%C)=(A ⁰ B)%(A ⁰ C) para todos los valores booleanos de A, B y C.

Identidad Un valor booleano I se duce que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario “ ⁰ ”si A ⁰ I=A.

Inverso Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano “ ⁰ ” si A ⁰ I=B, y si B es diferente de A, es decir, B es el opuesto de A.

Teoremas Es posible probar todos los teoremas del algebra booleana utilizando estos postulados, ademas es buena idea familiarizarse con algunos de los teoremas mas importantes de los cuales podemos mencionar los siguientes:

Operación logica AND La operación AND se representa con el simbolo ”*”. Cuando se utilicen nombres de variables de una sola letra se eliminara el sombolo *, por lo tanto AB representa la operacion logica AND entre las variables Ay B, a esto tambien le llamamos el producto entre A y B.

Operador logico OR La operación logica OR se representa con el simbolo “+”. Entonces decimos que A+B es la representacion logica OR entre A y B, tambien llamada la suma de Ay B.

Operación logica NOT El complemento logico, negacion “NOT” es un operador unitario, en este texto utilizaremos el simbolo ‘ para denotar la negacion logica, por ejemplo, A’ denota la operación logica NOT de A.

Compuertas logicas

Puerta AND. La salida de un a compuerta AND es 1, solamente si todas sus entradas son simultaneamente 1, de lo contrario es 0.

Puerta OR La salida de una compuerta OR es 1 solamente si todas sus entradas son simultaneamente 0, de lo contrario es 1.

Inversor o puerta NOT. Un inversor es una puerta de solamente una entrada y su salida es el complemento logico de la entrada es decir, cuando a la entrada de una puerta NOT hay un 1 su salida sera 0, y de loc ontrario cuando su entrada es 0, su salida sera 1.