Uso de MatLab

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MatLab es un asistente matemático de gran capacidad para el cálculo y la visualización. Su nombre proviene de las palabras Matrix- Laboratory. Aunque fue desarrollado inicialmente (1984) para el trabajo exclusivo con matrices también puede trabajar con escalares (reales y complejos) así como con cadenas de caracteres.

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Las matrices se operan a través de operadores o funciones: + Suma - Resta * Multiplicación ‘ Traspuesta ^ Potencia / División (derecha) \ División (izquierda).* y.^ Mult. y Potenciación elemento a elemento./ y.\ Div. (derecha y izquierda) elemento a elemento

<Menor que <=Menor o igual a >Mayor que >=Mayor o igual a ==Igual a ~=Distinto de

Las matrices son un tipo común de variable que se emplea en la mayoría de los lenguajes de programación. Por convención emplearemos mayúscula para representar matrices y minúscula para vectores y escalares.

DEFINICION: Conjunto ordenado de números que se distingue no sólo por los elementos que contiene sino por el orden en que se colocan Vector fila Vector columna

Suma de vectores: Si a y b son dos n-vectores a+b se obtiene: Multiplicación por un escalar: Si a es un n-vector y t un número real:

Combinación lineal: Si a y b son dos n-vectores y t y s son escalares: Se llama combinación lineal de a y b

Si a, b y c son n-vectores y  es un escalar, entonces: 1) a’. b = b’. a 2) a’. (b + c) = a’. b + a’. c 3) (  a’). b = a’. (  b) =  (a’. b) 4) a’. a  0  a ≠ 0 La longitud o norma de un vector, que se designa es:

Se define la distancia euclideana entre dos n-vectores como: Ortogonalidad: Dos vectores son ortogonales si forman un ángulo de 90º:

Las matrices se definen por filas, los elementos de la fila se separan por espacios o comas (,) mientras que las filas van separadas por punto y coma (;) Ejemplos: A=[1,2,3; 4,5,6; 7,8,9] B=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] Se ve en pantalla:

Ejemplos: Los vectores son casos particulares de matrices donde el número de filas o columnas es igual a 1. Vector filaVector columna

El producto escalar de dos n-vectores se define por la expresión: a. b’ Ejemplo: >> a=[1,2,1] a = >> b=[-3,0,2] b = >> a*b' ans =

DEFINICION: Arreglo rectangular de números ordenados en filas y columnas Se dice que la matriz tiene orden

Los números que forman A se llaman elementos designa el elemento en la fila i-ésima y en la columna j-ésima Por simplicidad la matriz se indica por:

Igualdad de matrices: Si ; Se dice que son iguales cuando Suma de matrices: Multiplicación por un escalar: es real,

Si A y B son dos matrices de orden mxn, se define la suma como: Ejemplo: >> A=[1,2,3;5,-3,1] A = >> B=[0,1,2;1,0,2] B = >> A+B ans =

Si A es una matriz de orden mxn y t es un escalar, se define t.A como: Ejemplo: A = >> t=3 t = 3 >> t*A ans =

Sean, y 1) (A+B)+C = A+(B+C) 2) A+B = B+A 3) A+O = A 4) A+(-A) = O 5) (  +  )A =  A+  A 6)  (A+B) =  A+  B

Multiplicación de matrices: Sean y. El producto C=AB es la matriz cuyo elemento en la fila i-ésima y en la columna j-ésima es el producto escalar de la fila i-ésima de A por la columna j- ésima de B

Sean A, B y C matrices con dimensiones adecuadas (conformables para el producto) para que estén definidas las operaciones que se indican: 1) (A.B).C = A.(B.C) 2) A.(B+C) = A.B+A.C 3) (A+B).C = A.C+B.C

Se obtiene de intercambiar las filas por las columnas: Propiedades: (A’)’=A (A+B)’=A’+B’ (  A)’=  A’ (AB)’=B’A’

Ejemplos: Matriz cuadrada con la propiedad de ser simétrica respecto a la diagonal principal: ; ;

decimos que X es una matriz inversa de A Sólo las matrices cuadradas pueden tener inversa, pero no todas las matrices cuadradas tienen inversa. Una matriz A cuadrada tiene inversa

Sean A y B matrices invertibles n x n: 1. A -1 es invertible y (A -1 ) -1 =A 2. A.B es invertible y (AB) -1 =B -1 A A’ es invertible y (A’) -1 =(A -1 )’ 4. (cA) -1 =c -1 A -1 si c es un escalar ≠ 0

MATRIZ INVERSA >> A=[8 6;-15 0] A = >> inv(A) ans =

Si A es una matriz de nxn, decimos que el escalar es un valor característico de A si existe un vector no nulo x  R n tal que Ax= x Cálculo: Este sistema tiene una solución no trivial x  0 si y sólo si la matriz de los coeficientes tiene determinante igual a 0

Ejemplo >> A=[ ; ; ; ] A = >> [X,D]=eig(A) X = D =