RESOLUCION DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO Curso Propedéutico Virtual Facultad de Ciencias Económicas

OBJETIVOS Definiremos conceptos relativos a Ecuaciones e Inecuaciones. Resolveremos ecuaciones de primer grado. Resolveremos problemas usando ecuaciones.

CONCEPTOS ECUACION: Es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que solo se verifica o es verdadera para determinados valores de la incógnita. Las incógnitas se representan por las ultimas letras del alfabeto: x, y, z, u, v, etc. Ejm: 5 X + 2 = 17 7/2 Y = -5

GRADO: es el mayor exponente que tiene la incógnita en la ecuación. IGUALDAD: Es una expresión donde dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el mismo valor. Ejm. a = b + c 3 X2 = 4 X + 15 GRADO: es el mayor exponente que tiene la incógnita en la ecuación. Ejemplo: X2 + 4 = 20X es una ecuación de segundo grado. 2X + 10 = X es una ecuación de primer grado

Se cumple para cualquier valor de x. Ecuación Vs. Identidad Cuando trabajamos con igualdades que se cumplen para algunos valores, estás se llaman ecuaciones. Cuando las igualdades se cumplen para todos los valores se llaman identidades. Ecuación Identidad X + 5 = 20 Se cumple para x=15 (x + 2)2 = x2 + 4x + 4 Se cumple para cualquier valor de x.

MIEMBROS 3 X = 2 X - 5 Una igualdad tiene 2 miembros Se llama primer miembro de una ecuación o de una identidad a la expresión que esta a la izquierda del signo de igualdad o de identidad, y segundo miembro, a la expresión que esta a la derecha. Segundo miembro 3 X = 2 X - 5 Primer miembro

TERMINOS Son cada una de las cantidades que están conectadas por el signo + o -. Ejemplo: En 3X – 5 = 2X Los términos son: 3X, 5 y 2X Términos semejantes: Se llama términos semejantes a los términos con las mismas variables y los mismos exponentes Reducción de términos semejantes: Significa transformarlos en uno solo, efectuando operaciones. Ejemplo: 25n + 12n = 37n

REGLAS APLICABLES A ECUACIONES Si a los dos miembros de una ecuación se suma o resta una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste. Así 3 = 3 3 + 1 = 3 + 1 4 = 4 2X + 10 = X 2X + 10 – X = X - X X + 10 = 0

REGLAS APLICABLES A ECUACIONES Si los dos miembros de una ecuación se multiplican o dividen por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste. Así 6 = 6 6 / 2 = 6 / 2 3 = 3 7/2 X = -5 (7/2 X)*2 = -5 *2 7 X = -10

REGLAS APLICABLES A ECUACIONES Si los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia o si a los dos miembros se extrae una misma raíz, la igualdad subsiste 3 = 3 32 = 32 9 = 9 X1/2 = 15 (X1/2)2 = (15)2 X = 225

Resolver una ecuación es encontrar su solución SOLUCIONES: Son los valores de las incógnitas que verifican o satisfacen la ecuación, es decir que sustituidos en lugar de las incógnitas, convierten la ecuación en una identidad. Resolver una ecuación es encontrar su solución

RESOLUCION DE ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Ejemplos: Hallar la solución de: 5X-b= 2a 5X-b+b= 2a+b Sumando b ambos miembros 5X = 2a +b Reduciendo términos semejantes 5X= 2a+b dividiendo ambos miembros entre 5 X= (2a+b)/5

EJEMPLO 2 RESOLVER: 2X-15=3(X-15) Solución: 2X-15= 3X – 45

Lenguaje algebraico y expresiones algebraicas El lenguaje algebraico expresa la información utilizando números, letras signos de operaciones matemáticas. Ejemplo: “El doble de un número aumentado en 5” 2x+5 Estos elementos se combinan para formar expresiones algebraicas

a+3a = “un número mas el triple de ese número” Actividad 2 Escribe en lenguaje corriente las siguientes expresiones algebraicas. Observa el ejemplo: a+3a = “un número mas el triple de ese número” 2(a-5a) a + a 2 3

Expresión de ecuaciones en lenguaje algebraico Para representar números desconocidos se usa letras a, b, c, x, y, z Ejemplo: “El triple de la suma de un número y dos es igual al doble del numero”, se escribe: 3(x+2) = 2x

Actividad 3 Expresa en lenguaje algebraico las siguientes ecuaciones formuladas A un número se le disminuye en 14 y se obtiene 20 El doble de un número disminuido en siete da como resultado el número La mitad de la diferencia entre un número y diez es igual a uno. La tercera parte del doble de un número es el triple del número

Procedimiento general para resolver ecuaciones Se eliminan los paréntesis si existen. En uno de los términos de la ecuación dejar los términos semejantes Se reducen los términos semejantes en cada miembro Se despeja la incógnita y se encuentra la solución Se verifica la solución para el valor numérico encontrado Ejemplo -(-4x+32) = 8(3x+1)  eliminamos paréntesis 4x-32 = 24x + 8  agrupamos términos semejantes -24x +4x = 32+8  Reducimos términos semejantes -20x = 40  Multip. ambos miembros por (-1) 20x = - 40  despejamos la incógnita x = - 2

Procedimiento para la resolución de problemas con ecuaciones Interpretar el problema e identificar la incógnita Plantear la ecuación Resolver la ecuación y responder al problema Verificar la solución Ejemplo:

Problema: La edad de Carlos es cuatro veces la edad de José, dentro de 10 años será el doble.¿Qué edad tiene cada uno? Interpretamos el problema e identificamos la incógnita Actualmente: la edad de José=x ; edad de Carlos=4x Dentro de 10 años: Edad de José=x+10; edad de Carlos =4x+10 Planteamos la ecuación: Recordemos que la edad de Carlos dentro de 10 años será el doble que la de José. 4x+10=2(x+10) Resolvemos la ecuación X=5 entonces R. La edad actual de José es 5 años y la de Carlos 20 años. Verificamos la solución 4x+10=2(x+10) 45+10=2(5+10) 20+10=2(15) 30=30 (correcto)

INECUACIONES A veces se dan unas condiciones en las que, en lugar de aparecer el signo igual, hay que utilizar otros signos llamados de desigualdad y que ahora recordamos: < menor que > mayor que Las relaciones numéricas que se expresan con estos signos se llaman desigualdades y las relaciones algebraicas correspondientes se llaman inecuaciones.

INECUACIONES Ejemplos Estos serían unos ejemplos de desigualdades y de inecuaciones: Lo mismo que ocurre con las igualdades, las desigualdades pueden ser ciertas o falsas.                                              a) 3 + 7 > 6 b) 3 + 7 < 8  c) x - 1 < 5          d) x - 1 < x + 5 falso cierto cierto Depende el valor de x

Ejercicios Expresar algebraicamente todos los números mayores a 3. Representarlos en la recta real. Si representamos por n a todos los números mayores a 3 tenemos la siguiente inecuación: n > 3 0 1 2 3

Ejercicios Expresar los números mayores que 3, pero que no sobrepasen a 7. Representarlos. Si representamos por n a todos los números que cumplen la condición de ser mayor a 3 y que no sobrepasen a 7 se tiene la siguiente relación. 3 < n < 7 0 1 2 3 4 5 6 7

Bibliografía Matemáticas 7 de primaria edición 2008, texto: Filiberto Espejo, Editorial Santillana S.A.