PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES: 1.- Una matriz cuadrada A y su traspuesta At tienen el mismo determinante: Todo sumando de | A | está formado por el producto de n términos, uno de cada fila y uno de cada columna, luego pertenece también al desarrollo de | At |. Ejemplo: 2.- Si una matriz cuadrada tiene una fila con todos sus elementos 0, su determinante es nulo. Esta propiedad es una consecuencia inmediata de la definición de determinante, ya que en todos los productos hay un elemento de dicha fila y, por tanto, todos los sumandos son nulos. Ejemplo:

3.- Si en una matriz A se permutan entre sí dos filas, se obtiene otra matriz B de determinante opuesto. En el desarrollo de |A| y de |B| los subíndices de columnas no cambian de orden, mientras que los de filas se permutan dos de ellas entre sí, lo que ocasiona que las permutaciones correspondientes sean de distinta clase, y por consiguiente, los términos de los respectivos desarrollos son de signo opuesto. Se tiene pues que: | B | = - | A | Ejemplo: 4.- Si una matriz cuadrada A tiene dos filas iguales, su determinante es cero. En virtud de la propiedad anterior, al intercambiar entre sí las dos filas iguales, el determinante cambia de signo. Pero por otra parte permanece invariable, es decir : | A | = -| A | 2 | A | = 0 | A | = 0 Ejemplo:

5.- Si se multiplican por un número k todos los elementos de una fila de una matriz A, el determinante de la nueva matriz es | A | multiplicado por k Ejemplo: 6.- Si una matriz cuadrada tiene dos filas proporcionales, su determinante es cero. Ejemplo: 7.- Sean A, B y C tres matrices cuadradas iguales excepto en la fila i-ésima, de tal forma que la fila i-ésima de C es la suma de las filas i-ésimas de A y B, entonces se verifica que | C | = | A | + | B |. Ejemplo:

restantes, su determinante es cero. 8.- Si a los elementos de una fila de una matriz A se le suman los de otra fila multiplicados por un número, se obtiene otra matriz B, que tiene el mismo determinante que A. El determinante de B se puede descomponer, en virtud de la propiedad VII en dos determinantes, uno de los cuales es |A| y el otro es nulo por tener dos filas proporcionales. Ejemplo: 9.- Si una matriz cuadrada tiene una fila que es combinación lineal de las restantes, su determinante es cero. De acuerdo con la propiedad 7 podemos descomponer el determinante de la matriz dada en suma de determinantes caracterizados todos ellos por tener dos filas proporcionales, es decir, todos nulos. Por consiguiente sería también nulo el determinante buscado. Ejemplo: