“Sistemas Lineales. El método de Gauss” Cecilia Loreto Pérez Pavez

Índice Introducción Histórica Sistema de Ecuaciones Lineales La ecuación Lineal Las siguientes son algunas transformaciones que nos permiten pasar de un sistema lineal a otros equivalenteLas siguientes son algunas transformaciones que nos permiten pasar de un sistema lineal a otros equivalente Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales Esquematicamente lo anterior Descripción del método de Gauss El método de Gauss Discusión de un sistema lineal por el método de Gauss Sistemas Homogéneos

Introducción Histórica Charles Hermite (1822 – 1901), matemático francés, fue profesor en la facultad de ciencias de París. Realizó investigaciones sobre las teorías de las formas algebraicas y descubrió la ley de reciprocidad que lleva su nombre.

“Sistemas de Ecuaciones Lineales” Abordamos aquí sistemas lineales cualesquiera como complemento a lo estudiado recientemente. El objetivo es facilitar al alumno una manera sencilla y sistemática de resolver sistemas lineales con cualquier número de incógnitas. Sistemas de ecuaciones y matrices en la página que colocare a continuación: pool/sist2.pdf

La ecuación lineal Es una expresión de la forma a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, donde a 1, a 2... A n son números conocidos llamados coeficientes; b es otro número conocido llamado termino independiente, y x 1, x 2,... X n son las incógnitas, es decir, los valores a determinar. Sistemas lineales, pero de forma dinámica: C3%A1mico

Ejemplo 1 2x + 3y = -1; x – y + 8z = o son ecuaciones lineales. Un conjunto de ecuaciones lineales, tales como: (1) a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Se llama sistema de ecuaciones lineales ( en este caso, de m ecuaciones con n incógnitas)

Ejemplo 2 x – 2y + 2z – t = 1 2x + y – z + 4t = -x + 3z – 8t = 2 Es un sistema de m = 3 ecuaciones y n = 4 incógnitas. Una solución del sistema lineal (1) es un conjunto de n números ( s 1, s 2,..., s n ) tales que, al sustituirlos en lugar de x 1, x 2,..., x n, respectivamente, originan m identidades.

Ejemplo 3 En el sistema 2x – y + 2z = 5 x + 2y = 5 3x + y + z = 10 La terna ( 3, 1, 0), o bien x = 3 y = 1 z = 0 Es solución, pues al sustituir x, y, z por dichos valores obtenemos tres identidades.

Dos sistemas con un mismo número de incógnitas son equivalentes si tiene exactamente las mismas soluciones ( el número de ecuaciones puede ser distinto). Lo expresaremos con este símbolo Veremos los tipos de resolución de problemas de sistemas lineales a continuación:

Las siguientes son algunas transformaciones que nos permiten pasar de un sistema lineal a otros equivalente I.Si a los dos miembros de una ecuación lineal se le suma un mismo número o una misma expresión lineal se obtiene otra ecuación lineal equivalente. II.Si los dos miembros de una ecuación lineal se multiplican por un mismo número distinto de cero, se obtiene otra ecuación lineal equivalente. III.El cambio en el orden de situación de las ecuaciones o de las incógnitas no afecta al conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. IV.Si en un sitema de ecuaciones lineales se suprime o se añade una ecuación que sea combinación lineal de las demás, se obtiene un sitema equivalente al dado

Ejemplo 1 2x - y = 4 X – y = -1 2x – y = 4 3x –2y = 3 x – y = 1 Puesto que la tercera ecuación es la suma de las dos anteriores y no impone ninguna nueva condición. Página de sistemas lineales:

Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales Según sean las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, éste puede ser:  Incompatibles: Si no admite solución.  Compatibles: Sí admite solución ( o soluciones). En este caso distinguiremos: - Determinado: Si tiene solución Única - Indeterminado: Sí tiene infinitas soluciones 30.htm

Esquematicamente lo anterior Sistemas de ecuaciones lineales Incompatibles Compatibles No tiene solución Tienen solución Determinados Indeterminados La solución es única Tienen infinitas soluciones Discutir un sistema lineal es averiguar sí es incompatible, determinado o indeterminado

Descripción del método de Gauss El sistema lineal de m ecuaciones y n incógnitas a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Puede ser descrito de forma abreviada mediante la matriz: a 11 a 12...a 1n b 1 a 21 a a 2n b a m1 a m2... a mn b m

Ejemplo La matriz corresponde al sistema 5x + 2y – 3z = 51 4x + 7y + 5z = 5 es 6x + 8y = –

Diremos que un sistema de ecuaciones lineales es triangular si todos los coeficientes situados por debajo de la diagonal principal son nulos ejemplo: los sistemas 3x – 5y + 4z – t = 6 y – 3z + 4t = 1 z – t = 2 y 5x – 4y + z = 4 2y – z = 1 z = 2 Están escritos en forma triangular

El método de Gauss El método de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales consiste en transformar un sistema en otro equivalente con forma triangular, cuya resolución es sencilla. Para ello se mantiene invariable la primera ecuación y se sustituyen las siguientes ecuaciones por las que resultan de eliminar la primera incógnita entre la primera ecuación y cada una de las restantes A continuación se mantendrán invariables las ecuaciones por las que se obtienen de eliminar la segunda incógnita entra la segunda ecuación y cad una de las siguientes. Se continúa así el proceso hasta obtener un sistema en forma triangular

Por comodidad y para ahorrar así un esfuerzo innecesario efectuaremos las transformaciones de equivalencia sobre el diagrama en vez de hacerlo sobre el propio sistema a continuación introduciré a una página del método de Gauss para explicarlo un poco más: /ed html /ed html

Ejemplo Reducir a forma triangular los siguientes sistemas: x + y + z = 3 x+ 2y + 3z = 2 x + 4y + 9z = - 2 Sobre la matriz del sistema eliminamos la x entre la primera ecuación y las dos restantes. Para ello: ( m =3, n = 3)

f 1 + f f 1 + f 3 ahora eliminamos la y entre la segunda y la tercera ecuación, / 2 + f obtenemos así el sistema equivalente en forma triangular x + y + z = 3 y + 2z = -1 2z = -2

- 2x + y + z = 1 x – 2y + z = -2 (m = n = 3) x + y – 2z = f 1 + 2f f 2 + f 3 f 1 + 2f – obteniendo el sistema triangular equivalente al original: -2x + y + z = 1 -3y + 3z = -3 0 = 6

2x + y +z = 1 (m = 2 n =3) 3x + y – z = 0 efectuando transformaciones: f 1 + 2f 2 0 –1 –5 -3 y obtenemos el sistema triangular : 2x + y + z = 1 -y – 5z = -3

Discusión de un sistema lineal por el método de Gauss Consideramos un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Sí después de reducirlo a forma triangular: Se obtiene una ecuación de la forma 0 = c, con c = 0, el sistema es incompatible y aquí termina la discusión del sistema. Si no es así, el sistema es compatible. En este caso, llamando r al número de ecuaciones no triviales (distintas de 0 = 0) que tiene el sistema en forma triangular, distinguiremos: 1.Si r = n, hay solución única ( es un sistema determinado) 2.Si r <n, el sistema tiene infinitas soluciones que dependen de n – r parámetros ( es un sistema indeterminado).

Ejemplo Discutir y resolver los siguientes sistemas: x+ y + z = 3 x+ 2y + 3z = 2 x+ 4y + 9z = -2 Según vimos, el sistema en forma triangular es x + y +z = 3 y + 2z = -1 2z = -2

Discusión: Como no aparecen ecuaciones de la forma 0 = c, el sistema es compatible. Como el número de incógnitas es n = 3 y el número de ecuaciones no triviales es r = 3, se tiene que r = n y el sistema es determinado. Resolución: La solución única se obtiene como sigue: De la tercera ecuación se deduce: z = -2 / 2 = -1 sustituyendo z en la segunda ecuación obtenemos: y = -2z –1 = 2 – 1 =, sustituyendo ahora los valores de y y z en la primera: x = 3 – y – z = 3 – = 3 la solución única es, por lo tanto, x = 3 y = 1 z = -1

-2x + y + z = 1 x – 2y + z = -2 x + y – 2z = 4 El sistema en forma triangular es –2x + y + z = 1 -3y + 3z = -3 0 = 6 Discusión: Como aparece la ecuación 0 = 6, es un sistema incompatible y no admite solución. 2x + y + z = 1 3x + y –z = 0 el sistema en forma triangular es 2x + y +z = 1 -y –5z = -3

Discusión: No aparecen ecuaciones de la forma 0 = c, luego el sistema es compatible. El número de incógnitas es n = 3, y el de ecuaciones no triviales es r = 2. Al ser n<n, se trata de un sistema indeterminado, con infinitas soluciones que dependen de 3-2 = 1 parámetro. Resolución: Consideremos como parámetro z = λ, y obtenemos de la segunda ecuación y = 3 – 5z = 3 - 5λ sustituyendo y y z en la primera ecuación se tiene: x = 1 – y – z / 2 = 1 – ( 3 - 5λ) – λ / 2 = λ / 2 = λ. Y las infinitas soluciones son : x = λ y = 3 - 5λ (λ Є r) Z = λ

Sistemas Homogéneos Un sistema de ecuaciones lineales se llama homogéneo si todos sus términos independientes son cero. Son de la forma: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 Todo sistema homogéneo es siempre compatible, pues admite la solución trivial ( 0,0,...,0)

Aplicando el criterio de Gauss, y siendo n el número de incógnitas y r el número de ecuaciones no triviales, se pueden presentar dos posibilidades: 1. Si r = n, sólo admite la solución trivial ( es un sistema determinado) 2. Si r < n, aparecen infinitas soluciones ( es un sistema indeterminado). A continuación una página que nos habla del método de Gauss:

Ejemplo Discutir y resolver el sistema homogéneo x + y + z = 0 Y - z = 0 x + 2y = 0 Haciendo transformaciones de equivalencia sobre el diagrama del sistema, se tiene: –1 -f 1 + f f 2 + f Y nos resulta el sistema triangular x + y + z = 0 y – z = 0 0 = 0

Discusión: En este caso, n = 3 y r = 2, luego r < n y se trata de un sistema indeterminado, con infinitas soluciones que dependen de n – r = 3 – 2 = 1 parámetros. Resolución: llamando z = λ, de la segunda ecuación obtenemos: y = z = λ, sustituyendo ambos valores en la primera ecuación se tiene x = -y –z = - λ – λ = -2 λ Por lo tanto, las infinitas soluciones del sistema son: x = -2 λ y = λ z = λ Anterior - PrimeraAnteriorPrimera