Divisibilidad en los números naturales UNIDAD 03 Divisibilidad en los números naturales 1. Múltiplos y divisores de un número 2. Propiedades de múltiplos y divisores 3. Criterios de divisibilidad 4. Números primos y números compuestos 5. Descomposición factorial 6. Máximo común divisor 7. Mínimo común múltiplo 1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

Si a es múltiplo de b, entonces b es divisor de a DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES 1. Múltiplos y divisores de un número Un número natural a se dice que es múltiplo del número natural b si podemos obtener a como resultado de multiplicar b por un número natural k. a = b · k Notación matemática: múltiplos de un número 7 = {7, 14, 21,…} Un número natural a se dice que es divisor del número natural b si b es divisible entre a, es decir, b se puede dividir entre a y la división es exacta. Si a es múltiplo de b, entonces b es divisor de a 1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

2. Propiedades de múltiplos y divisores DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES 2. Propiedades de múltiplos y divisores - Los múltiplos de un número son infinitos: = 5, 10, 15, 20, 25, ... - Los divisores de un número no son infinitos, son finitos: D (12) = 1, 2, 3, 4, 6, 12 - El conjunto de múltiplos de 1 es: 1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6,… 1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

2. Propiedades de múltiplos y divisores DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES 2. Propiedades de múltiplos y divisores - Todo número natural es múltiplo de 1 y de sí mismo: a = a · 1 - El cero es múltiplo de todos los números naturales: a · 0 = 0 - Los divisores de un número pueden formar parejas cuyo producto es ese mismo número: D (15) = 1, 3, 5, 15  1 · 15 = 3 · 5 = 15 1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

2. Propiedades de múltiplos y divisores DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES 2. Propiedades de múltiplos y divisores NUMEROS PERFECTOS: son los números cuyos divisores, exceptuando el propio número, suman exactamente su valor. 6 = 1+ 2 + 3 28 = 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3 DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES 3. Criterios de divisibilidad Un número es divisible entre 2 Si acaba en cifra par Un número es divisible entre 3 Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3 Un número es divisible entre 5 Si acaba en 0 ó en 5 Un número es divisible entre 11 Si la diferencia de la suma de las cifras que ocupan lugar impar y la suma de las que ocupan lugar par es cero o múltiplo de 11 1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

3. Criterios de divisibilidad DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES 3. Criterios de divisibilidad Un número es divisible entre 4 Un número es divisible entre 4 Si sus dos últimas cifras son divisibles entre 4 ó si son 00 Si sus dos últimas cifras son divisibles entre 4 ó si son 00 Un número es divisible entre 6 Un número es divisible entre 6 Si es divisible entre 2 y 3 a la vez Si es divisible entre 2 y 3 a la vez Un número es divisible entre 9 Si la suma de sus cifras es múltiplo de 9 Un número es divisible entre 25 Si sus dos últimas cifras son divisibles entre 25 ó si son 00 1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

3. Criterios de divisibilidad DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES 3. Criterios de divisibilidad Un número es divisible entre 7 Si la diferencia entre el número quitándole la cifra de unidades y el doble de la cifra de unidades es múltiplo de 7 ó 0 343  34 – 2·3 = 28  múltiplo de 7. 105  10 – 2·5 = 0  múltiplo de 7. 1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

Para un número primo a solo es posible una descomposición en factores: DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES 4. Números primos y compuestos Un número es primo si solo admite como divisores a él mismo y la unidad Por ejemplo: 1, 2, 3, 13, 53,... Para un número primo a solo es posible una descomposición en factores: a = a · 1 1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

8 y 15 son primos entre sí porque el único divisor común es el 1. DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES 4. Números primos y compuestos Un número es compuesto si admite otros divisores distintos de sí mismo y de la unidad. D (18) = 1, 2, 3, 6, 9, 18 Dos números son primos entre sí cuando el único divisor común que tienen es el uno. D (8) = 1, 2, 4, 8, D (15) = 1, 3, 5, 15 8 y 15 son primos entre sí porque el único divisor común es el 1. 1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

4. Números primos y compuestos DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES 4. Números primos y compuestos CRIBA DE ERATOSTENES 1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

5. Descomposición factorial DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES 5. Descomposición factorial Cualquier número se puede descomponer en el producto de sus factores primos (todos ellos números primos). 180 5 36 3 12 3 4 2 2 2 1 Divisores 180 = 22 · 32 · 5 · 1 Cocientes 1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

5. Descomposición factorial DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES 5. Descomposición factorial NUMEROS AMIGOS: son parejas de números en los que la suma de los divisores de uno de ellos da como resultado el otro y recíprocamente. D (220) = {1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110}  1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284 D (284) = {1,2,4,71,142}  1+2+4+71+142 = 220 1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES 6. Máximo común divisor El máximo común divisor (m.c.d.) de varios números es el mayor de los divisores comunes. Si descomponemos los números en factores primos, multiplicamos los factores comunes elevados al menor exponente 90 = 2· 32 · 5 m.c.d. (90, 84) = 2 · 3 = 6 84 = 22 · 3 · 7 1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

Otra manera de calcular el máximo común divisor (m.c.d.) DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES 6. Máximo común divisor Otra manera de calcular el máximo común divisor (m.c.d.) 72 80 200 2 36 40 100 18 20 50 9 10 25 No hay más m.c.d. (72, 80, 200) = 23 = 8 1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES 7. Mínimo común múltiplo El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de varios números es el menor de los múltiplos comunes. Si descomponemos los números en factores primos, se multiplican todos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente 90 = 2· 32 · 5 m.c.m. (90,84) = 22 · 32 · 5 · 7 = 1.260 84 = 22 · 3 · 7 1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

Otra manera de calcular el mínimo común múltiplo (m.c.d.) DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES 7. Mínimo común múltiplo Otra manera de calcular el mínimo común múltiplo (m.c.d.) 45 70 50 5 9 14 10 2 - 7 1 3 m.c.d. (45, 70, 50) = 2 · 32 · 52 · 7= 3150 1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS