EC. DIFERENCIAL Def: Se llama ecuación diferencial a una relación que contiene una o varias derivadas de una función no especificada “y” con respecto a “x” ; dicha relación, también puede contener a la propia “y”, funciones dadas de “x” y constantes.  Por Ej: es una ecuación diferencial de orden “n” ”2”  Se entiende por resolución de una ecuación diferencial “1” encontrar la función “2” EJ: Una tal ecuación define “y” como una cierta función de x, sea pero Si Tendremos

EC. DIFERENCIAL Def: El orden de una ecuación diferencial es el correspondiente al de la derivada de mayor indice que figura en ella.  Ej: 2) dado Determinar tal que condición marginal o de frontera. Solución general de la ecuación diferencial. La solución pedida es :   Presione Enter

EC. DIFERENCIAL Continuando.... Una función Es una solución de una ecuación diferencial de primer orden dada en algún   Intervalo, digamos (quizás infinito) si está definida y es diferenciable en todo el intervalo y es tal que, la ecuación se transforma en una identidad cuando se reemplaza y , en lugar de “y” e “y’ ” respectivamente. Ej: es solución de la ecuación diferencial de primer orden. “” Sí derivando se tiene. Pero sabemos que existe una función que es solución de la ecuación diferencial. Presione Enter

EC. DIFERENCIAL Y si encontramos soluciones a la ecuación diferencial Luego podemos decir que la solución general de dicha ecuación es donde c es una constante arbitraria. Luego las soluciones del tipo etc. Corresponden a soluciones   particulares de la ecuación diferencial y’ = y. Ej:1) Hallar la solución de:   no tiene solución ya que y=0 es la única solución. 2) Hallar la solución de y’= x y(0) =1 Tiene precisamente una solución , a saber, 3) Hallar la solución de xy’=y-1 y(0)=1 Tiene un número infinito de soluciones , a saber y=1+cx donde c es arbitraria. Presione Enter

EC. DIFERENCIAL 4) El problema del tipo puede tener ninguna, precisamente una, o más de una solución. Esto conduce a plantearse dos  problemas fundamentales. a)     Problema de Existencia. ¿en qué, condiciones un problema con valor inicial de la forma tiene por lo menos una solución . b)   Problema de Unicidad. ¿en qué condiciones un problema tiene una solución única? Las condiciones para la existencia y unicidad de la solución son relativamente sencillas. Si es continua en alguna región del plano xy que contiene al punto. Estas condiciones se rigen por los teoremas de existencia de unicidad, respectivamente. Entonces el problema tiene por lo menos una solución. Si además, la derivada parcial es continua en una región, entonces el problema tiene precisamente una solución. Presione Enter

EC. DIFERENCIAL Teorema de existencia. Si es continua en todos los puntos (x,y) en alguna región R R: para todo entonces tiene como mínimo, una solución y(x), la cual está definida por lo menos para todo x en el intervalo Donde es el menor de los números Ecuación de primer orden y de grado “n” con respecto a y’.      1) Resolvemos esta ecuación con respecto a y’. Sean   “2” Las soluciones reales de la ecuación “1” El conjunto de las integrales.   ”3” Presione Enter

EC. DIFERENCIAL donde (x,y,c)=0 es la integral de la ecuación representa la integral general de la ecuación “1” .   Por lo tanto, por cada punto del dominio en que y’ toma valores reales, pasan curvas integrales . Ej: 1) Resolver la ecuación Solución:  Despejando y’ tenemos Presione Enter

EC. DIFERENCIAL Continuando.... Presione Enter

EC. DIFERENCIAL 2) sustitución Presione Enter

EC. DIFERENCIAL Factor de integración en Ec. Diferenciales 1) 1)     Sabemos que Luego vemos que varia en un signo por lo tanto tenemos que romper otra diferencial. Presione Enter

EC. DIFERENCIAL Luego tenemos que Presione Enter

EC. DIFERENCIAL    2) Presione Enter

EC. DIFERENCIAL Ecuaciones diferenciales Transformadas de Laplace. Se definen en términos de la integral impropia. Recordar la integral de Ricmann. : Si se hacen los límites infinitos. ”1” , para continua , se define , si dicho límite existe dice que “1” converge (si no  converge).(De aquí el criterio de convergencia de la integral). Si el integrado contiene un parámetro, supóngase continua Y que la integral  converge . Presione Enter

EC. DIFERENCIAL Ej: Encontrar los valores de s para los cuales  converge y encontrar una fórmula para . Si s=0 , la diverge Si si : límite existe si no existe Por lo tanto la integral converge y para otros valores de s :  Presione Enter

Transformadas de Laplace. EC. DIFERENCIAL Transformadas de Laplace. Supóngase que es función en tal que converge para algunos valores de s. Esta integral depende y de s. se puede determinar una función ,asociada con tal que , para esos valores de s para los cuales la integral converge. se llama la Transformada de Laplace de. NOTA: L es un operador. Propiedades 1) Presione Enter

EC. DIFERENCIAL 2) si y son continuas en y entonces 3) si es continua en y entonces existe en s. Si Y sólo si existe en s y. 4) (como lo del anterior) Supongamos continua en y sí existe entonces, existe y = , que significa lo mismo que 1)     1)demostrar que para Dem: Presione Enter

EC. DIFERENCIAL Aplicando propiedad “4” se tiene = = =  Otra forma de hacerlo. Aplicando propiedad “4” se tiene Sea Presione Enter

EC. DIFERENCIAL Análogamente si , entonces y NOTA: Las transformadas de pueden calcularse como anteriormente . Presione Enter

EC. DIFERENCIAL I Ejercicios: 1) resolver A B Por “15” :   Por “15” : Presione Enter

EC. DIFERENCIAL Presione Enter

EC. DIFERENCIAL por “2” y “9” se tiene 1) Resolver la ecuación: Se puede resolver utilizando la ecuación auxiliar. Presione Enter

EC. DIFERENCIAL Según la solución general 1)     3)  Ecuación algebraica característica. Presione Enter

EC. DIFERENCIAL Se puede aplicar la relación de Euler. Presione Enter

EC. DIFERENCIAL Sea 4) Presione Enter

EC. DIFERENCIAL 2                   Presione Enter

EC. DIFERENCIAL Ecuación lineal homogénea de 2º orden con coeficientes constantes: “1” con a y b ctes. Sean y dos números tales que: “2” Estos números están bien determinados, ya que cumplen dos condiciones   independientes entre sí. Para determinarlo bastaría resolver el sistema “2”.  Reemplazando “2” en “1”. ”3” Sea “4” Siendo “ ” función de x ; Presione Enter

EC. DIFERENCIAL Reemplazando en “3” se tiene: que es una ecuación de 1ª orden para . Tiene como solución general “5” “5” en “4” Es el primer miembro de nuestra ecuación diferencial. Presione Enter

EC. DIFERENCIAL Integramos respuesta a “x”   Sea Presione Enter

EC. DIFERENCIAL Casos particulares: a) b) c) son complejas conjugadas. Como b) ..Sí Se tiene: Presione Enter

EC. DIFERENCIAL Presione Enter

EC. DIFERENCIAL Siempre que Si quede 1) Resolver: Ec. Característica. Presione Enter

EC. DIFERENCIAL Solución particular Presione Enter

EC. DIFERENCIAL Presione Enter

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