Series Numéricas y Series de Potencias Eduardo Tellechea Armenta UNISON Hermosillo, Sonora 25/Marzo/2011

Series Numéricas Con el concepto de SERIE NUMÉRICA, queremos darle sentido a la SUMA de una infinidad de números reales. = Pero… ¿Qué situaciones nos llevan a esto? ¿Es que acaso alguna vez hemos tenido que sumar una infinidad de números?

Aunque no tengamos una definición matemáticamente precisa de cómo realizar estas sumas, no tenemos ninguna duda en que … 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + … … tendrá un valor infinito, es decir NO se pueden sumar, en el sentido de que la suma sea un número real. En este caso diremos que la SERIE ES DIVERGENTE. También, sin lugar a dudas podremos decir que las siguientes sumas, si pueden efectuarse. 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + … = 0 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + … =1 … y diremos que estas SERIES SON CONVERGENTES

… Pero, ¿qué podemos decir de la siguiente suma infinita? 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... ¿Podríamos decir que es cero, agrupando de la siguiente manera? (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ... = 0 + 0 + 0 + 0 + ... = 0 Si así fuera, también podríamos decir que toma el valor uno … 1 - (1 - 1) - (1 - 1) - (1 - 1) - ... = 1 - 0 - 0 - 0 - 0 - ... =1 Es razonable pedir que, si los términos de una serie se pueden sumar, el valor de la suma sea único y, en este caso, tendríamos dos posibles valores para la suma, lo cual nos lleva a concluir que esta serie no es posible sumarla. Otra conclusión inmediata es que, para sumas infinitas, no es válida la propiedad asociativa.

Volvamos a una de las preguntas iniciales: ¿Es que acaso alguna vez hemos tenido que sumar una infinidad de números? Desde la educación primaria, aprendimos que al dividir 1 entre 3, utilizando el algoritmo de la división: 0. 3 3 3 … 3 1 1 0 1 …

Podemos expresar a 1/3 como un decimal infinito (periódico) O bien atendiendo la notación decimal Podemos expresar a 1/3 como una SERIE Es decir, desde nuestros primeros contactos con la aritmética ha estado presente, aunque de manera implícita, el concepto de suma infinita.

Definición: Sea una sucesión de números reales. La expresión   se llama SERIE NUMÉRICA. A partir de la sucesión formamos una nueva sucesión de sumas parciales , , , …   y diremos que la serie es CONVERGENTE (sus términos se pueden sumar) si existe. En este caso el valor de la serie es: De lo contrario diremos que la serie es DIVERGENTE (sus términos no se pueden sumar).

Utilizando la notación SUMATORIA El valor de la serie es el valor al que se aproximan las sumas parciales finitas Observe que la serie = 1-1+1-1+1-1+1-1 +… es divergente

Observe que para que una serie converja, es necesario que su término n-ésimo sea cada vez más pequeño y cercano a cero, es decir,  converge, Sin embargo, la condición no es suficiente como se ve en el siguiente ejemplo: En esta serie, él término n-ésimo tiende a cero y la serie claramente es divergente.

…

1 + r + r2 + r3 + r4 … = Si 0<r<1 1-r 1 r r2 r3 r4 r r2 r3 r4 . . . 1

La Serie Geométrica 1 + r + r2 + r3 + r4 … 1 + r + r 2 + r 3 + r 4 … = Si partimos de la suma de una progresión geométrica de razón r El valor de la serie geométrica será: 1 + r + r 2 + r 3 + r 4 … = Este límite existe cuando -1<r<1, es decir, Así pues: si |r|<1 1 + r + r2 + r3 + r4 … = si |r|<1

De manera totalmente análoga, podemos probar lo obtenido de manera geométrica: y

La Serie Armónica: Si consideramos la siguiente sucesión de sumas parciales (finitas) Y por lo tanto la Serie Armónica es DIVERGENTE

El Criterio de Comparación Sea con para toda n, Si converge y para toda n, entonces converge b) Si y para toda n, entonces Ejemplos: Converge, pues y converge. Diverge, pues y la serie diverge.

Calculando, numéricamente el valor de una Serie La Serie Geométrica La Serie Armónica La Serie del recíproco de los cuadrados de los naturales Una serie Alternante

Series de Potencias Cuando analizamos la Serie Geométrica Encontramos que esta converge a 1/(1-x) en el intervalo (-1, 1), es decir, si consideramos a la función Su dominio será precisamente el intervalo (-1, 1) ya que ahí es donde la serie converge y por lo tanto f (x) está definida. Diremos entonces que la serie de potencias representa a la función 1/(1-x) en el intervalo (-1, 1)

A partir de la Serie Geométrica podemos generar otras series de potencias y series numéricas importantes: Ver Applet Cambiamos x por -x Antiderivando en ambos lados Ver Applet Sustituyendo x =1, obtenemos: Ver Applet

Procedamos ahora de la siguiente manera: Cambiamos x por -x Cambiamos x por Antiderivando en ambos lados Sustituyendo x =1, Ver Applet

El Teorema de Taylor con residuo, también nos proporciona interesantes series de potencias. Por ejemplo del desarrollo de Taylor para la función exponencial: Tendremos una representación en serie de potencias Ver Applet Análogamente podemos representar en serie de potencias a la función seno Ver Applet

En los cursos de Cálculo Integral se menciona que la función no tiene una antiderivada representable por medio de un número finito de funciones “conocidas” En nuestros términos, podemos preguntarnos por la solución de: Ver Applet Con y(0) = 0 Antiderivando en ambos términos, obtenemos: Así pues la solución de la ecuación planteada se representa por medio de una serie de potencias. Ver Applet

Muchas Gracias