LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA EJERCICIOS RESUELTOS UNIDAD 14

Ejercicios Resueltos OBJETIVO 1 OBJETIVO 2 OBJETIVO 3

Objetivo 1. Recordarás y aplicarás la definición de la elipse como un lugar geométrico y su ecuación en la forma canónica y en la forma general.

1) Encuentra la ecuación de la elipse con focos F(0, 3) y F’(0, –3), y cada uno de sus lados rectos igual a 9. Como los focos tienen la misma abscisa, el eje focal es el eje y. El centro se encuentra en el punto medio entre ellos: C(0, 0). , La distancia c es: El lado recto es:

Sustituyendo: El valor negativo de a no se considera puesto que a es una longitud. Por tanto a = 6.

La ecuación de la elipse es:

2) Los focos de una elipse son los puntos F(3, 8) y F’(3, 2) y la longitud de su eje menor es 8. Encuentra la ecuación de la elipse, las coordenadas de sus vértices y su excentricidad. El eje focal es paralelo al eje y. El centro tiene la misma abscisa que los focos: h = 3.  La distancia entre los focos es: k = 2 + c = 2 + 3 = 5 → C(3, 5)   2b = 8 b = 4

Ecuación de la elipse: Vértices: V(h, k + a) = (3, 5 + 5) = (3, 10); V’(h, k – a) = (3, 5 – 5) = (3, 0) Excentricidad:

3) Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto (4, 0) es igual a la mitad de su distancia a la recta x – 16 = 0 e interpreta el resultado. Distancia de un punto (x, y) al punto (4, 0): Distancia del mismo punto (x, y) a la recta x – 16 = 0:

El lugar geométrico descrito es una elipse horizontal con centro en el origen, eje mayor igual a 2(8) = 16 y eje menor igual a

4) Un arco con forma de semi-elipse tiene una altura máxima de 45m y un claro de 150m. Encuentra la longitud de dos soportes verticales situados de manera que dividan en claro en tres espacios iguales. Si el eje x es la base del arco (el eje focal de la elipse) y el origen es su punto medio, la ecuación es del tipo , con el semieje mayor, a = 75 y el semieje menor, b = 45. Para que el claro se divida en tres partes iguales, la distancia de los soportes a cada vértice y entre ellos debe ser de 50m.

La ecuación es:

Para determinar la altura de los soportes, se hace x = 25 en la ecuación y se despeja el valor de y: Puesto que y es una longitud (la altura de los postes), se toma sólo la raíz positiva.

Objetivo 2. Recordarás y aplicarás la definición de la hipérbola como un lugar geométrico y su ecuación en la forma canónica.

1) Encuentra los elementos de la hipérbola Centro C(0, 0) Eje focal El eje y Vértices V(0, 3), V’(0, –3) Focos F(0, 5), F’(0, –5) Distancia focal 10 Longitud del eje transverso 6 Longitud del eje conjugado 8 Longitud de cada lado recto Excentricidad Asíntotas

2)Encuentra la ecuación de la hipérbola horizontal que tiene su centro en (0, 0), su lado recto mide 6 unidades y su excentricidad es

3) Determina la ecuación de la hipérbola con C(0, 0), eje focal sobre el eje y, y que pasa por los puntos (4, 6) y (1, –3) Hipérbola vertical: Se sustituyen las coordenadas de los puntos por los que pasa:

Se despeja a2 en la segunda ecuación: y se sustituye en la primera:

Se resuelve para b y se sustituye para calcular a: La ecuación de la hipérbola es:

4) Los vértices de una hipérbola son los puntos (–3, 2) y (–3, –2) y la longitud de su eje conjugado es 6. Encuentra la ecuación de la hipérbola, las coordenadas de sus focos y su excentricidad. V(–3, 2) y V’(–3, –2) → la hipérbola es vertical: Centro de la hipérbola: h = –3,

Semieje transverso: Eje conjugado 2b = 6 → semieje conjugado: b = 3 Ecuación de la hipérbola: Focos: Excentricidad:

Objetivo 3. Recordarás y aplicarás la forma general de la ecuación de una elipse o de una hipérbola y las características de los coeficientes de una ecuación de segundo grado que representa a una elipse o a una hipérbola.

1) Comprueba que el lugar geométrico de la ecuación es una elipse y encuentra las coordenadas del centro, de los vértices y focos. A = 2, C = 4, 2 ≠ 4, ambos son positivos. D = 3, E = –12, F = 6; la ecuación sí representa una elipse. Por los valores de A y de C, tiene su eje focal paralelo al eje x.

Por lo tanto: a2 = 4; a = 2; b2 = 2; b =

2) Encuentra el lugar geométrico de los puntos P(x, y) tales que el producto de las pendientes de las rectas que los unen con los puntos fijos (–2, 1) y (4, 5) es igual a 3 Pendiente de las rectas que pasan por los puntos (x, y) y (–2, 1): Pendiente de las rectas que pasan por los puntos (x, y) y (4, 5): El lugar geométrico es una hipérbola.

Es una elipse. Pendiente de la recta que une a P con (3, –2): 3) Encuentra el lugar geométrico de los puntos P(x, y) tal que el producto de las pendientes de las rectas que unen el punto P con los puntos fijos (3, –2) y (–2, 1) es igual a . Pendiente de la recta que une a P con (3, –2): Pendiente de la recta que une a P con (–2, 1): Es una elipse.

4) Encuentra todos los elemento de la elipse A = 2, C = 9, D = 0, E = 0, F = -18; 2 ≠ 9, ambos son positivos y C > A. La ecuación no tiene términos en x ni en y por lo que el centro está en el origen. C(0, 0), V(3, 0), V’(-3, 0);