Alumnas: Cabrilla Marcia Figueroa Gabriela Sánchez Marcela 3° de Matemática

CÁLCULO APROXIMADO DE ÁREA  Extremo derecho e izquierdo, punto medio. Cálculo aproximado y exacto.  Método de Simpson.  Método del Trapecio.

Uno de los problemas matemáticos más frecuentes es el cálculo del área limitada por la gráfica de una función f(x) en un determinado intervalo [a,b]. Por ejemplo, se necesita calcular el área A que aparece en la siguiente figura: En este tipo de problemas se pueden obtener dos tipos de soluciones: Soluciones algebraicas: se obtiene una fórmula precisa y exacta para el área solicitada. Soluciones numéricas: se calcula numéricamente una estimación del área. Desde luego, la soluciones algebraicas son mejores que las numéricas, porque son exactas. Pero a veces, la complejidad de las funciones hace imposible (o difícil) obtener la solución algebraica, por lo que una solución numérica permite ahorrar tiempo.

En el siguiente trabajo se verán los diferentes métodos de cálculo de aproximación de áreas como ser Extremo Izquierdo, Extremo Derecho, Punto Medio, Método del Trapecio y Método de Simpson. Analizaremos la siguiente función en el intervalo Para Extremo Derecho y Extremo Izquierdo se analizará tomando n=4 rectángulos, n=8 rectángulos y generalizando para el número de rectángulos tendiendo a infinito. Para el punto medio se tomará n= 8 rectángulos de aproximación y generalizando, es decir cuando n tiende a infinito. En el Método del Trapecio y Regla de Simpson se tomará para n = 10.

El valor que la función toma en cada punto x i será la altura del rectángulo: Dividimos el intervalo [-2,2] en cuatro rectángulos cuya base será ∆x: Hallamos los puntos considerando el extremo derecho x i :

Ahora calculamos la suma de las áreas de cada rectángulo de base ∆x y altura f(x i ), entonces tenemos y obtenemos el área aproximada:

Hallamos los puntos considerando el extremo derecho x i : Ahora dividimos el intervalo en ocho rectángulos cuya base será ∆x:

El valor que la función toma en cada punto x i será la altura del rectángulo

Sumamos las áreas de todos los rectángulos y obtenemos el área aproximada:

A medida que el número n de rectángulos aumenta y la amplitud ∆x se hace cada vez más pequeña, la aproximación del área es cada vez mayor.

Generalizando, hallamos el extremo derecho x i para n rectángulos, teniendo en cuenta que en el intervalo a≠0. Así obtenemos la siguiente expresión: Luego calculamos el incremento de x:

Luego se trabaja algebraicamente y se aplica el límite para n tendiendo a infinito y llegamos al valor exacto del área.

Para el Extremo Izquierdo dividimos el intervalo [-2,2] en cuatro rectángulos cuya base será ∆x: Hallamos los puntos considerando el extremo izquierdo x i-1 : El valor que la función toma en cada punto x i-1 será la altura del rectángulo:

Luego sumando las áreas de cada rectángulo obtenemos el área de manera aproximada por extremo izquierdo

Ahora dividimos el intervalo [-2,2] en ocho rectángulos cuya base será ∆x: Hallamos los puntos considerando el extremo izquierdo x i-1 :

Luego sumando las áreas de cada rectángulo obtenemos el área de manera aproximada por extremo izquierdo

Generalizando, hallamos el extremo derecho x i -1 para n rectángulos, teniendo en cuenta que en el intervalo a≠0. Así obtenemos la siguiente expresión: Luego calculamos el incremento de x :

Luego se trabaja algebraicamente y se aplica el límite para n tendiendo a infinito y llegamos al valor exacto del área.

Consideramos los puntos medios de cada subintervalo calculando la semisuma de los extremos : Para n=8 calculamos el incremento de x:

Luego hallamos el valor de la función en cada punto que determinará la altura de cada rectángulo

Calculamos la suma de las áreas de cada rectángulo para obtener el área aproximada:

GENERALIZACIÓN PUNTO MEDIO Hallamos el punto medio para n rectángulos y el incremento de x.

Luego se trabaja algebraicamente y se aplica el límite para n tendiendo a infinito y llegamos al valor exacto del área.

Si se tiene una función f(x) en un intervalo [a,b] para calcular geométricamente el área dividimos en rectángulos de aproximación y al unir gráficamente extremo izquierdo con extremo derecho, formando así trapecios de aproximación. El extremo derecho es la base mayor del trapecio, el extremo izquierdo la base menor y el incremento de x es la altura. Algebraicamente obtenemos la siguiente fórmula: Calcularemos para n=10 trapecios de aproximación. Para ello calculamos el ∆x:

Hallamos los puntos y el valor que la función toma en cada uno de ellos y reemplazamos en la fórmula:

Primero debemos hallar el incremento de x y tomamos n=10 : Este método permite calcular el área cuando se trabaja con funciones polinómicas. Siempre se divide al intervalo en un número par. La fórmula es la siguiente:

Hallamos los puntos y el valor que la función toma en cada uno de ellos y reemplazamos en la fórmula:

CONCLUSIÓN Al finalizar este trabajo, en el que hemos calculado el área de la región comprendida entre la función f(x)=2x 2 -4x+5 en el intervalo [-2,2] y el eje x, utilizando los distintos métodos de aproximación llegamos a la conclusión de que los más convenientes son la Regla de Simpson y el Punto Medio ya que con ellos nos aproximamos con mayor exactitud al valor real del área. Mediante la generalización (extremo derecho, extremo izquierdo y punto medio) calculamos su valor exacto.

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