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Matrices. DEFINICIONES BÁSICAS Una matriz es un cuadro de números que encerraremos entre corchetes o paréntesis. Diremos que una matriz con m filas y.

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Matrices. DEFINICIONES BÁSICAS Una matriz es un cuadro de números que encerraremos entre corchetes o paréntesis. Diremos que una matriz con m filas y.

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1 Matrices

2 DEFINICIONES BÁSICAS Una matriz es un cuadro de números que encerraremos entre corchetes o paréntesis. Diremos que una matriz con m filas y n columnas tiene dimensión mxn filas columnas Matriz de dimensión 2x Matriz 1x5 o vector fila 2 4 Matriz 3x1 o vector columna Matriz 2x2 o matriz cuadrada de orden 2

3 a 11 a 12 a 13 …….a 1j ……a 1n a 21 a 22 a 23 …….a 2j ……a 2n ….…..….…….….………. a i1 a i2 a i a ij ……a in …. …….…………. a m1 a m2 a m3 …….a mj ……a mn Notación Las matrices se designan con letras mayúsculas. Los elementos de la matriz se designan con la misma letra pero minúscula y con dos subíndices: el primero indica la fila y el segundo la columna A= =(a ij ) Elemento que ocupa la fila 2 y columna 3 Igualdad de matrices: A=B si tienen la misma dimensión y a ij =b ij Algunos tipos particulares de matrices: matriz cuadrada: m=n matriz triangular: los elementos por debajo de la diagonal principal son 0. matriz simétrica: a ij =a ji (tiene que ser cuadrada) matriz traspuesta de A(mxn) A t (nxm) a ij ->a ji Diagonal principal de una matriz son los elementos a ii

4 Matriz triangular Diagonal principal Matriz simétrica A= Matriz traspuesta At=At= Suma de matrices: A(mxn)+B(mxn)=C(mxn) c ij = a ij + b ij = Producto de un número, t, por una matriz: A(mxn) tA=( ta ij ) A= A=

5 Propiedades de la suma de matrices: conmutativa: A+B=B+A asociativa (A+B)+C=A+(B+C) matriz nula representada por (0) todos los elementos son 0. Se cumple A+(0)=A matriz opuesta de A=(a ij ), -A=(-a ij ) Se cumple: A+(-A)=(0) A= B= C= Ejemplo: dadas las matrices A, B, C calcula 2A-3B+4C 3 38 A = Ejemplo: dada la matriz, halla X tal que 2A+X=(0)

6 Propiedades del producto de un número por una matriz: asociativa a·(b·A)=(a·b)·A 1·A=A 0·A=(0) (a+b)·A=a·A+b·A a·(A+B)=a·A+a·B ¡Atención! Es incorrecto:A·5ó A-B = A+3B = 1) Halla las matrices A y B que verifican: 2) Halla las matriz X que cumple la ecuación matricial: -2B-A+2X=3A siendo: A= B= Sol: A=B= Sol: X=

7 PRODUCTO DE MATRICES A · B = C mxp pxn mxn Cada elemento de la matriz producto c ij se obtiene multiplicando la fila i de la matriz A por la columna j de la matriz B y sumando estos productos x x2 (-1)·4+3·(-5)+9·3+5·5(-1)·2+3·6+9·(-1)+5·6 3·4+8·(-5)+0·3+6·53·2+8·6+0·(-1)+6·6 (-2)·4+7·(-5)+4·3+5·5(-2)·2+7·6+4·(-1)+5·6 = 3x = Sólo se puede hacer el producto A·B si el nº de columnas de A es igual al número de filas de B En general: c ij =a i1 ·b 1j +a i2 ·b 2j +…+a ip b pj

8 PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES Asociativa: A·(B·C)=(A·B)·C Distributiva: A·(B+C)=A·B+A·C Existe elemento neutro para el producto de matrices cuadradas que llamaremos matriz identidad I, matriz cuya diagonal principal está formada por 1 y todos los demás elementos son I= Se cumple: A·I=I·A=A para cualquier matriz A Ejemplo: comprueba que A·I=I·A=A siendo A = En general, no se cumple la propiedad conmutativa (ni siquiera para matrices cuadradas) Ejemplo: comprueba que A·BB·A siendo A = B=

9 Matriz inversa de una matriz cuadrada: Dada una matriz A, llamaremos inversa de A y la designaremos por A -1 a otra matriz de la misma dimensión que cumpla: A· A -1 =A -1 ·A=I No todas las matrices tienen inversa. Si una matriz tiene inversa diremos que es invertible o regular Ejemplo: utilizando la definición, halla A -1 y B A=B= Solución: 1/3 -1/32/3 B no tiene inversa; A -1 = Ayuda: haz xy zt A -1 y plantea un sistema de ecuaciones

10 Vectores. Rango de un conjunto de vectores. Llamaremos R n al conjunto de todos los vectores columna de n elementos (es decir matrices nx1. Los vectores de R n se llaman también n-tuplas y se representan así: Por ejemplo: Los vectores de R n se pueden sumar entre sí y también podemos multiplicar un número por un vector Ejemplo:

11 Llamaremos combinación lineal (C.L.) de estos vectores a cualquier otro vector que se pueda expresar de la siguiente forma: Dados los vectores: siendonúmeros es C.L. de:yya que: Diremos que un conjunto de vectores es libre o Linealmente Independiente (L.I.) si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás Diremos que un conjunto de vectores es ligado o Linealmente Dependiente (L.D.) si alguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás Ejemplo: averigua si los siguientes conjuntos son L.I. o L.D.

12 Llamamos rango de un conjunto de vectores al número máximo de vectores linealmente independientes. Llamamos rango de una matriz al rango del conjunto formado por sus vectores columna. Ejemplo: calcula el rango de los conjuntos anteriores2, 2, 1, 3 Los vectores columna de la matriz A se suelen representar por A 1 ; A 2 ;….A m rang(A)=2 Ejemplo: calcula el rango de las matrices:

13 Propiedades del rango de una matriz: el rango de los vectores fila coincide con el rango de los vectores columna el rango de una matriz no varía si eliminamos una columna (o fila) que es C.L: de las demás columnas (filas) el rango no varía si multiplicamos una columna (o fila) por un nº distinto de 0 el rango no varía si sumamos a una columna (fila) una C.L. de las demás columnas (filas) Ejemplo: calcula el rango:

14 Expresión matricial de un Sistema de Ecuaciones Lineales: A · X = B Matriz de coeficientes o matriz del sistema Vector de términos independientes Si la matriz A tiene inversa y sabemos calcularla: A · X = BA -1 ·(A · X) = A -1 B(A -1 A) · X = A -1 BI · X = A -1 BX = A -1 B Ejercicio: comprueba que la matriz inversa de A del ejemplo anterior es A -1 y calcula con esta fórmula la solución del sistema Solución:SCD x=-4, y=6, z=1 Vector de incógnitas (solución)


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