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1 Repaso de matrices DAGOBERTO SALGADO HORTA. 2 Elemento: a ij Tama ñ o: m n Matriz cuadrada: n n (orden n) Elementos de la diagonal: a nn Matrices Vector.

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1 1 Repaso de matrices DAGOBERTO SALGADO HORTA

2 2 Elemento: a ij Tama ñ o: m n Matriz cuadrada: n n (orden n) Elementos de la diagonal: a nn Matrices Vector columna (matriz n x 1) Vector fila (matriz 1 x n)

3 3 Suma: Multiplicación por un escalar:

4 4 Si A, B, C son matrices m n, k 1 y k 2 son escalares: (i) A + B = B + A (ii) A + (B + C) = (A + B) + C (iii) (k 1 k 2 ) A = k 1 (k 2 A) (iv) 1 A = A (v) k 1 (A + B) = k 1 A + k 1 B (vi) (k 1 + k 2 ) A = k 1 A + k 2 A

5 5 (a) (b) Nota: En general, AB BA Multiplicación:

6 6 Transpuesta de una matriz A: (i) (A T ) T = A (ii) (A + B) T = A T + B T (iii) (AB) T = B T A T (iv) (kA) T = kA T Nota: (A + B + C) T = A T + B T + C T (ABC) T = C T B T A T

7 7 Matriz cero A + 0 = A A + (–A) = 0 Matrices triangulares

8 8 Matriz cuadrada n n, i j, a ij = 0 Matriz diagonal: A: m n, entonces I m A = A I n = A Matriz identidad:

9 9 Una matiz A n × n es sim é trica si A T = A.

10 10 Matriz aumentada asociada, para resolver el sistema de ecuaciones lineales. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales:

11 11 2x 1 + 6x 2 + x 3 = 7 x 1 + 2x 2 – x 3 = –1 5x 1 + 7x 2 – 4x 3 = 9 x 3 = 5, x 2 = –3, x 1 = 10

12 12 Resolver mediante el m é todo de Gauss-Jordan x 1 + 3x 2 – 2x 3 = – 7 4x 1 + x 2 + 3x 3 = 5 2x 1 – 5x 2 + 7x 3 = 19 Entonces:x 2 – x 3 = –3 x 1 + x 3 = 2 Haciendo x 3 = t, tenemos x 2 = –3 + t, x 1 = 2 – t.

13 13 Resolver: x 1 + x 2 = 1 4x 1 x 2 = 6 2x 1 – 3x 2 = = 16 !! No tiene soluciones.

14 14 Vectores fila: u 1 = (a 11 a 12 … a 1n ), u 2 = (a 21 a 22, … a 2n ), …, u m = (a m1 a m2 … a mn ) Vectores columna: El rango de una matriz A m n, es el máximo número de vectores fila linealmente independientes. rang A = 2.

15 15 AX = 0 Siempre hay soluciones (consistente) Solución única X = 0 (solución trivial) rang(A) = n Infinitas soluciones Rang(A) < n n – r parámetros

16 16 AX = B, B0 Inconsistente rang(A) < rang(AB) Consistente rang(A) = rang(AB) Solución única rang(A) = n Infinitas soluciones rang(A) < n n – r parámetros

17 17 Determinantes Expansión por cofactores a lo largo de la primera fila.

18 18 det A = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13 El cofactor de a ij es C ij = (–1) i+ j M ij donde M ij se llama menor.... O por la tercera fila: det A = a 31 C 31 + a 32 C 32 + a 33 C 33 Podemos expandir por filas o columnas.

19 19

20 20 Más corto desarrollando por la segunda fila...

21 21

22 22 det A T = det A Si dos filas (columnas) de una matriz A de n × n son idénticas, entonces det A = 0.

23 23 Si todos los elementos de una fila (columna) de una matriz A de n × n son cero, entonces det A = 0. Si B es la matriz obtenida por intercambio de dos filas (columnas) de una matriz A n × n, entonces: det B = det A

24 24 Si B se obtiene de una matriz A n × n multiplicando una fila (columna) por un número real k, entonces: det B = k det A

25 25 Si A y B son matrices n × n, entonces det AB = det A det B. det AB = 24, det A = 8, det B = 3, det AB = det A det B.

26 26 det A = 45 = det B = 45. Si B se obtiene como combinaciones lineales de filas o columnas de una matriz A n × n, entonces: det B = det A

27 27 matriz diagonal matriz triangular inferior

28 28 Supongamos que A es una matriz n n. Si a i1, a i2, …, a in son los elementos de la i-ésima fila y C k1, C k2, …, C kn son los cofactores de la k-ésima fila, entonces: a i1 C k1 + a i2 C k2 + …+ a in C kn = 0, para i k Igualmente, si a 1j, a 2j, …, a nj son los elementos de la j-ésima columna y C 1k, C 2k, …, C nk son los cofactores de la k-ésima columna, entonces: a 1j C 1k + a 2j C 2k + …+ a nj C nk = 0, para j k

29 29 Demostraci ó n Sea B la matriz que obtenemos de A al cambiarle los elementos de la i- é sima fila por los de su k- é sima fila: b i1 = a k1, b i2 = a k2, …, b in = a kn B tendr á entonces dos filas id é nticas de modo que det B = 0, y:

30 30

31 31 Inversa de un matriz Sea A una matriz n n. Si existe una matriz n n B tal que AB = BA = I donde I es la matriz identidad n n, entonces se dice que A es una matriz no singular o invertible. Y B es la matriz inversa de A. Si A carece de inversa, se dice que es una matriz singular. Sean A, B matrices no singulares. (i)(A -1 ) -1 = A (ii)(AB) -1 = B -1 A -1 (iii)(A T ) -1 = (A -1 ) T

32 32 Sea A una matriz n × n. La matriz formada por la transpuesta de la matriz de cofactores correspondientes a los elementos de A: se llama adjunta de A y se denota por adj A. Matriz adjunta

33 33 Encontrar la matriz inversa: Sea A una matriz n × n. Si det A 0, entonces: Para n =3:

34 34

35 35

36 36

37 37

38 38 Singular

39 39 AX = B Si m = n, y A es no singular, entonces: X = A -1 B

40 40

41 41

42 42 Regla de Cramer

43 43 Un sistema homogéneo de n ecuaciones lineales, AX = 0 tiene solo la solución trivial (ceros) si y solo si A es no singular. Un sistema homogéneo de n ecuaciones lineales, AX = 0 tiene una solución no trivial si y solo si A es singular.

44 44 Problemas de autovalores Sea A una matriz n n. Un número se dice que es un autovalor de A si existe una solución vector K, distinto de cero para: AK = K El vector solución K es el autovector correspondiente al autovalor. DEFINICIÓN Autovalores y autovectores Los autovalores de una matriz triangular, inferior o superior, o de una matriz diagonal son los elementos de la diagonal.

45 45 Verifica que es el autovector de la matriz: Soluci ó n Autovalor

46 46 Podemos escribir AK = K como: (A – I)K = 0 Que es lo mismo que un sistema de ecuaciones lineales homog é neo. Si queremos que K sea una soluci ó n distinta de cero, deber í a ocurrir que: det (A – I) = 0 Observa que det (A – I) nos proporcionar á un polinomio de grado n, que llamaremos ecuaci ó n caracter í stica.

47 47 Encuentra los autovalores y autovectores de: – 3 – = 0 ( + 4) ( – 3) = 0 = 0, 4, 3. Ahora encontraremos los autovectores para cada autovalor. (A – I)K = 0

48 48 (i) 1 = 0 Tomando k 3 = 13 (A – 1 I)K = 0

49 49 (ii) 2 = 4 k 1 = k 3, k 2 = 2k 3. Tomando k 3 = 1: (A – 2 I)K = 0

50 50 (iii) 3 = 3 k 1 = – k 3, k 2 = –(3/2) k 3. Y tomando k 3 = –2, (A – 3 I)K = 0

51 51 1 = 2 = 5 es un autovalor de multiplicidad 2. A partir de (A – 5I|0), tenemos: Encuentra los autovalores y autovectores de: Tomando k 2 = 1, tenemos k 1 = 2, y entonces

52 52 1 = 11, 2 = 3 = 8 (multiplicidad 2). Encuentra los autovalores y autovectores de:

53 53 (i) 1 = 11, por el m é todo de Gauss-Jordan: k 1 = k 3, k 2 = k 3. Si k 3 = 1, entonces:

54 54 (ii) 2 = 8, k 1 + k 2 + k 3 = 0. Podemos elegir dos de ellos de manera arbitraria. Tomemos k 2 = 1, k 3 = 0: Y k 2 = 0, k 3 = 1:

55 55 AK = K, Sea A una matriz cuadrada de elementos reales. Si = + i, 0, es un autovalor complejo de A, entonces su conjugado es también un autovalor de A. Si K es un autovector correspondiente a, entonces el autovector conjugado es un autovector correspondiente a. Autovalores y autovectores complejos Demostración:

56 56 1 = 5 + 2i Encuentra los autovalores y autovectores de: k 2 = (1 – 2i) k 1, tomando k 1 = 1: (A – 1 I)K = 0

57 57 Potencias de una matriz Sea A, una matriz n × n. Definimos la potencia m- é sima de A como:

58 58 Teorema de Cayley-Hamilton Una matriz A satisface su propia ecuación característica: Ecuación característica: det (A – I) = 0

59 59 Observa que entonces: A 2 = A + 2I y 2 = + 2 Y podemos escribir las sucesivas potencias de A como: A 3 = AA 2 = A(A+ 2I ) = A 2 + 2A = 3A+ 2I A 4 = AA 3 = A (3A+2I) = 3A 2 +2A = 5A+ 6I A 5 = 11A + 10I A 6 = 21A + 22I... A m = c 1 A + c 0 I... m = c 1 + c 0 2 – 2 = 0. Y por el teorema de Cayley- Hamilton: A 2 A – 2I = 0 Comprobarlo con:

60 60 O sea que podemos escribir: A m = c 1 A + c 0 I y m = c 1 + c 0 2 – 2 = 0; 1 = 1, 2 = 2:

61 61 A m = c 0 I + c 1 A + c 2 A 2 +…+ c n–1 A n–1 m = c 0 + c 1 + c 2 2 +…+ c n–1 n–1 donde los c k (k = 0, 1,…, n–1), dependen de m. Y en general, para una matriz de orden n:

62 62 Soluci ó n – 2 = 0, = – 1, 1, 2. A m = c 0 I + c 1 A +c 2 A 2 m = c 0 + c 1 + c 2 2 Con 1 = – 1, 2 = 1, 3 = 2, obtenemos: ( – 1) m = c 0 – c 1 + c 2 1 = c 0 + c 1 + c 2 2 m = c 0 +2c 1 + 4c 2 Calcula A m para:

63 63 Puesto que A m = c 0 I + c 1 A +c 2 A 2, tenemos: Por ejemplo, para m = 10

64 64 Por el teorema de Cayley-Hamilton: A 2 – A – 2I = 0, I = (1/2)A 2 – (1/2)A, Multiplicando a ambos lados por A – 1 podemos encontrar la inversa: A – 1 = (1/2)A – (1/2)I

65 65 Una matriz A n n es simétrica si A=A T Si A es simétrica con elementos reales, entonces los autovalores de A son reales. AK = K, Transponiendo y multiplicando por K por la derecha:

66 66 Al igual que definimos el producto escalar entre vectores: x y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + … + x n y n podemos definirlo con matrices (vectores fila o columna): X Y X T Y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + … + x n y n Autovectores ortogonales Veamos que si A es una matriz n × n simétrica, los autovectores correspondientes a distintos (diferentes) autovalores son ortogonales.

67 67 Demostración Sean 1,, 2 dos autovalores distintos correspondientes a los autovectores K 1 y K 2. AK 1 = 1 K 1, AK 2 = 2 K 2 (AK 1 ) T = K 1 T A T = K 1 T A = 1 K 1 T K 1 T AK 2 = 1 K 1 T K 2 AK 2 = 2 K 2, K 1 T AK 2 = 2 K 1 T K 2 0 = 1 K 1 T K 2 2 K 1 T K 2 0 = ( 1 2 ) K 1 T K 2 Como 1 2, entonces K 1 T K 2 = 0.

68 68 = 0, 1, 2 y

69 69 Matriz ortogonal: Una matriz A n × n no singular es ortogonal si: A -1 = A T A es ortogonal si A T A = I. I T I = II = I

70 70 Una matriz A n × n es ortogonal si y solo si sus vectores columnas X 1, X 2, …, X n forman un conjunto ortonormal. Es decir si: X i T X j = 0, i j, i, j =1, 2, …, n X i T X i = 1, i =1, 2, …, n Los X i forman un conjunto ortonormal.

71 71

72 72 Y los vectores son unitarios, ortonormales:

73 73 Verifica que P T = P -1. Vimos

74 74 Autovalor dominante Sean los autovalores de una matriz A n × n. El autovalor se llama autovalor dominante de A si: Un autovector asociado se denomina autovector dominante de A.

75 75 M é todo de las potencias Supongamos que A tiene un autovalor dominante. Vector n 1 Supongamos que | 1 | > | 2 | … | n | con K 1, K 2, …, K n autovectores asociados linealmente independientes. Entonces: Como AK i = i K i, entonces: AX 0 = c 1 AK 1 + c 2 AK 2 + … + c n AK n

76 76 Multiplicando por A sucesivamente: Como | 1 | > | i |, i = 2, 3, …, n; cuando m, podemos aproximar: (...)

77 77 Observemos que un autovector multiplicado por una constante sigue siendo un autovector. De modo que podemos escribir: A m X 0 = X m De modo que X m ser á una aproximaci ó n al autovector dominante. Puesto que AK = K, AK K= K K que nos da una aproximaci ó n al autovalor dominante. Cociente de Rayleigh.

78 78 6 XiXi 7543i

79 79

80 80 Si existe una matriz P, tal que P -1 AP = D sea diagonal, entonces decimos que A es diagonalizable. Si A es una matriz n × n que tiene n autovectores K 1, K 2, …, K n linealmente independientes, entonces A es diagonalizable. TEOREMA Condición suficiente de diagonalizabilidad Matriz diagonalizable

81 81 Demostraci ó n Puesto que P = (K 1, K 2, K 3 ) es no singular, entonces existe P -1 y As í que P -1 AP = D.

82 82 Si A es una matriz n n con n autovalores distintos, entonces es diagonalizable. Condición suficiente de diagonalización Tenemos que = 5, 5. Y solo podemos encontrar un autovector. La matriz no puede diagonalizarse.

83 83 Diagonaliza: = 1, 4.

84 84

85 85 = 1, 1, 1. = 1 junto con K 1, forman tres vectores linealmente independientes. Luego la matriz es diagonalizable. P -1 AP = D

86 86 Si existe una matriz P ortogonal que puede diagonalizar a A, decimos que A es ortogonalmente diagonalizable. Una matriz A n x n es ortogonalmente diagonalizable si y solo si es sim é trica. P diagonaliza a A: P -1 AP = D, A = PDP -1. P es ortogonal: P -1 = P T, entonces: A = PDP T. A T = (PDP T ) T = PD T P T = PDP T = A Luego A es sim é trica.


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