Matemáticas discretas

Presentación del tema: "Matemáticas discretas"— Transcripción de la presentación:

1 Matemáticas discretas
Equipo D Guadalupe Pérez Soto Gerardo Juárez Acosta René Iván Castillo Pérez Carlos Uriel Jiménez Pereyra Joel Ortega Mejía

2 Equipo D MISTI Matemáticas discretas
Relaciones Equipo D MISTI Matemáticas discretas

3 Definición Dados 2 conjuntos no vacíos A y B, una relación R es un conjunto de pares ordenados donde el primer elemento a está relacionado con el segundo elemento b por medio de cierta propiedad o característica. La relación se indica aRb: R = {(a,b) | a Є A y b Є B} Una relación podría representarse como una tabla que muestra la correspondencia de unos elementos con respecto a otros. Por ejemplo:

4 Definición Maestro Materia Jorge Sistemas Digitales Domingo
Lenguajes algorítmicos Ignacio Estructuras de Datos Graficación Raymundo Programación II Manuel Sistemas Operativos Ezequiel

5 Definición A = {x | x es un maestro}
B = {y | y es una carrera de la carrera de ingeniería en sistemas computacionales} R = {(Jorge, Sistemas Digitales), (Domingo, Lenguajes algorítmicos), (Ignacio, Estructuras de Datos), (Jorge, Graficación), (Raymundo, Programación II), (Manuel, Sistemas Operativos), (Ezequiel, Sistemas Digitales)}  Las relaciones se forman si se cumple cierta proposición, esa proposición puede ser textual, como en el caso anterior ("Imparte la materia"), pero también puede ser planteada en el lenguaje matemático.

6 Definición Sean los conjuntos A = {a | a Є Z; 10 < a < 30}
B = {b | b Є Z+; b≤20} Y sea R una relación de A en B, en donde cada elemento de A es divisible entre 13 y cada elemento de B es primo. Como resultado se obtiene la siguiente relación: R = {(13,2), (13,3), (13,5), (13,7), (13,11), (13,13), (13,17), (13,19), (26,2), (26,3), (26,5), (26,7), (26,11), (26,13), (26,17), (26,19)}

7 Definición Hay que observar que las relaciones también se pueden representar como un conjunto de pares ordenados en donde el elemento a Є A está relacionado con el segundo elemento b Є B, por medio de cierta condición establecida. En este caso la condición es que el primer elemento de los pares ordenados sea un entero entre 10 y 30, divisible entre 13, y el segundo elemento es un entero positivo primo menor o igual a 20. Otra forma de representar este conjunto es:

8 Definición R = {(a,b) | a Є Z, b Є Z+; a es divisible entre 13; 10 < a < 30; b es primo; b ≤ 20}

9 Definición Existe otra forma de representar una relación cuando es de un conjunto en si mismo, es decir, cuando la relación es binaria: los grafos dirigidos. Un grafo dirigido o digrafo es un par ordenado D = (A,R) donde A es un conjunto finito y R es una relación binaria definida sobre A. Al conjunto A lo llamaremos conjunto de nodos o vértices de D. A los elementos de R los llamaremos arcos o aristas del digrafo D.

10 Definición Representación gráfica del digrafo D = (A,R), siendo A el conjunto {a, b, c, d} y R = {(a, a), (a, c), (b, c)}.

11 Producto cartesiano El producto cartesiano de los conjuntos A y B que se denota como A x B, es la combinación de todos los elementos del conjunto A con todos los elementos del conjunto B. En teoría de conjuntos esto equivale al conjunto universo. Una relación R de A en B (R: A  B) es un subconjunto del producto cartesiano A x B. Si y (a,b) Є R, entonces a su vez el producto cartesiano también es una relación.

12 Producto cartesiano Sean los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {a, b}
Al producto cartesiano A x B contiene todos los pares ordenados que resultan de relacionar todos los elementos del conjunto A, con todos los elementos del conjunto B como se muestra en la siguiente figura:

13 Producto cartesiano

14 Producto cartesiano Esta figura a su vez muestra otra forma de representar una relación: Un "diagrama de flechas" en el que se muestran claramente los elementos que pertenecen a cada conjunto, así como la relación entre ellos. También es fácil ver que A x B ≠ B x A.

15 Composición de relaciones
Definición: Sean R: X  Y y S :Y  Z dos relaciones. La composición de R y S, que se denota como R S, contiene los pares ( x, z ) si y sólo si existe un objeto intermedio y tal que ( x, y ) está en R y ( y, z ) está en S. Por consiguiente,   x(R S)z = Existe y tal que xRy e yRz existen. Para determinar si (x, z) está en la relación R S, se necesita siempre un intermediario, tal que sean válidas xRy e yRz.

16 Composición de relaciones
Se tienen cinco personas A, B, C, D y E. C es dueño del camión llamado Machakito y E es dueño del camión llamado Imperioso. A es amigo de B y D, B es amigo de C y C es amigo de E. Sea R la relación "x es amigo de y" y sea S la relación "y es dueño del camión z". Calcular la relación R S. Solución: Si R es la relación "x tiene a y como amigo" y si S es la relación "y es el dueño del camión z " entonces el par ( x, z ) está en R S si existe un intermediario y tal que x tiene a y como amigo e y es dueño del camión z. Las relaciones R y S están dadas por R={ (A, B), (A, D), (B, C), (C, E)}   S = {(C, Machakito), (E, Imperioso)} R S - {(B, Machakito), (C, Imperioso)} B tiene acceso a un camión a través del intermediario C, que es dueño de Machakito y C tiene acceso a un camión a través de intermediario E, que es dueño de Imperioso.

17 Composición de relaciones
La composición de dos relaciones se puede representar mediante un grafo. Sean R : X  Y y S : Y  Z. Ahora se dibujan todos los nodos de X a la izquierda, todos los nodos de Z a la derecha, y todos los nodos del conjunto intermediario Y en el medio. Asumimos que los miembros de X van desde xl hasta x4,, los miembros de Y van desde y1 hasta y4, y los miembros de Z van desde z1 hasta z5. De acuerdo con lo que hemos dicho antes, el par (x i, z k) está en R o S si y sólo si existe un intermediario yj. tal que hay un arco que va, desde xj. hasta yi y desde éste a zk. A continuación se enumeran sistemáticamente todos los pares de R S: (x1, z2 ) Є R S a través del intermediario y1 (x1, z1) Є R S a través del intermediario y2 (x1, z4) Є R S a través del intermediario y2 (x4, z3) Є R S a través del intermediario y3 La relación resultante entonces es R S = {(x1, z2), (x1, z1), (x1, z4), (x4, z3)}

18 Composición de relaciones

19 Composición de relaciones
La composición es una operación asociativa; esto es, si R, S y P son tres relaciones, entonces se cumple lo siguiente: (R S) P = R (S P) Por consiguiente, los paréntesis se pueden eliminar en los casos que involucren la composición de varias relaciones.

20 Tipos de Relaciones

21 Reflexiva Una relación R sobre un conjunto X es reflexiva si
O en otra forma:

22 Reflexiva 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

23 Irreflexiva Una relación R sobre un conjunto X es irreflexiva si
O en otra forma:

24 Simétrica Una relación R sobre un conjunto X es simétrica si O en otra forma:

25 Simétrica

26 Asimétrica Una relación R sobre un conjunto X es asimétrica si O en otra forma:

27 Antisimétrica Una relación R sobre un conjunto X es antisimétrica si
x y 1 2 3 4 5 6

28 Transitiva Una relación R sobre un conjunto X es transitiva si

29 Orden Parcial Una relación R sobre un conjunto X es un orden parcial si R es reflexiva, antisimétrica y transitiva.

30 RELACIONES EQUIVALENTES

31 ¿QUE ES UNA RELACION EQUIVALENTE?
Una relación de equivalecia es aquella que tiene las tres propiedades: Reflexiva Simetrica Transitiva Por otro lado, una relacion de equivalencia tiene clases de equivalencia y estas forman particiones. Una particion es un subgrafo completo.

32 ¿Que es una clase de equivalencia?
Son conjuntos que contienen a todos los elementos b € B y que estan relacionados con a€A. Los elementos del primer conjunto se encierran entre corchetes, de forma que una clase de equivalencia se puede indicar como 1 [a]={b | b€B , aRb} 1. Matematicas para la computación, José Alfredo Jiménez Murillo, Editorial Alfaomega, pag. 235.

33 Teorema Sea R una relación de equivalencia sobre un conjuntofinito X. Si cada clase de equivalencia tiene r elementos, entonces existen I X /r clases de equivalencia. Demostración. Sean X1, X2.....Xk las distintas clases de equivalencia. Como estos conjuntos separan a X, |X| = |X1| +|X2| +..+|Xk| =r+r+…+r=kr de donde se sigue la conclusion.

34 Ejemplo e importancia La relaciones de equivalencia son importantes porque es una propiedad que deben tener las redes en el área de computación, en donde la computadora 1 de una red puede enviar informacion a la computadora 2, pero ademas la computadora 2 puede enviar informacion o comunicarse con la computadora 1; esta es la propiedad de simetria. Port otro lado , toda computadora tiene comunicacion consigo misma, con lo cual se cumple la propiedad de reflexiva. Asi como si existe un camino de comunicacion para ir de 1 a 2,(1,2), y uno para ir de (2,5), debe haber uno de (1,5)con lo cual se cumple la propiedad de transitividad. 1 1. Matematicas para la computación, José Alfredo Jiménez Murillo, Editorial Alfaomega, pag. 235.

35 RED Computadora 1 Computadora 2 Computadora 5

36 Particiones

37 Si entonces Una partición de un conjunto X divide a X en subconjuntos que no se traslapan. Más formalmente, una colección s de subconjuntos no vacios de X es una partición del conjunto X si todo elemento de X pertenece exactamente a un miembro de s. Observe que si s es una partición de X, s es ajena por pares y U s=X.

38 Suponga que se tiene un conjunto X de 10 bolas rojas (R), azules (B) y verdes (G). Si devidimos las bolas en los conjuntos R, G y B de acuerdo con su color, la familia {R, G, B} es una partición de X.

39 Una partición puede utilizarse para definir una relación
Una partición puede utilizarse para definir una relación. Si s es partición de X , podemos decir que x R y si para algún conjunto S ϵ s, x y x pertenecen a S. Teorema Sea s una partición de in conjunto X, decimos que x R y si para algún conjunto de S en s, x y y pertenecen a S. Entonces R es reflexiva, simétrica y transitiva.

40 Demostración Sea x ϵ X. Por la definición de partición, x pertenece a algún miembro de S de s. Así x R x y R es reflexiva. Supongamos que x R y, entonces x y y pertenecen a algún conjunto S ϵ s. Como y y x pertenecen a S, y R x y R es simétrica. Por ultimo, supongamos que x R y y y R z. Entonces x y y pertenecen a algún conjunto S ϵ s y y y z pertenecen a algún conjunto T ϵ s. Como y pertenece exactamente a algún miembro de s, debe cumplirse que S=T. Por lo tanto, x y y pertenecen a S y x R z. Se ha demostrado que R es transitiva

41 Matrices

42 Matriz Una matriz es una forma conveniente de representar una relación R de X a Y. Una computadora puede utilizar esta representación para analizar una relación. Se etiquetan los renglones con los elementos de X (con cierto orden arbitrario) y las columnas con los elementos de Y (con cierto orden arbitrario). Entonces colocamos un 1 en el renglon x y la columna y si x R y ó un cero en caso contrario. Esta matriz es la matriz de relación R.

43 Sea la matriz de la relación
R={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(b,c),(c,d)} sobre {a,b,c,d} con respecto al orden a,b,c,d es

44 Observe que la matriz de relación sobre un conjunto X siempre es una matriz cuadrada.
Podemos analizar con rapidez si una relación R sobre un conjunto X es reflexiva analizando la matriz A de R (con respecto de cierto orden). La relación R es reflexiva si y sólo si A tiene unos en la diagonal principal. La relación R es reflexiva si y solo si (x/x) ϵ R para toda x ϵ X. Esta solo se cumple cuando la diagonal principal consta de unos.

45 Podemos determinar si una relación R Sobre un conjunto X es simétrica, analizando la matrix A de R (con respecto de cierto orden). La relación R es simétrica si y sólo si para toda i y j, la ij-ésima entrada de A es igual a la ji-ésima entrada de A. De manera menos formal, R es simétrica si y sólo si A es simétrica con respecto de la diagonal principal. La razón es que R es simétrica si y sólo si siempre que (x,y) esté en R, entonces (y,x) también esta en R. Esta condición se cumple cuando A es simétrica con respecto de la diagonal principal.

46 También podemos determinar si una elación R es antisimétrica analizando la matriz R (con respecto de cierto orden). No existe una forma sencilla de verificar si una relación R sobre X es transitiva analizando la matriz de R. Teorema Sea R1 una relación de X en Y y sea R2 una relación de Y en Z. Elijanse ordenes de X, Y y Z. Todas las matrices de las relaciones están dadas respecto de estos órdenes. Sea A1 la matriz de R1 y A2 la matriz de R2 . La matriz de la relación de R2 o R1 se obtiene reemplazando cada término distinto de cero en el producto de matrices A1 A2 por 1.

47 Demostración Sea R1 la relación de X={1,2,3} en Y={a,b} definida por: R1 ={(1,a),(2,b),(3,a),(3,b)} Y sea R2 la relación de Y en Z ={x,y,z} definida por: R2={(a,x),(a,y),(b,y),(b,z)}

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49 Si este valor es distinto de cero, entonces su o rv es distinto de cero. Entonces s ≠ 0 y u ≠ 0. Esto significa que (i,a) ϵ R1 y (a,k) ϵ R2 . Esto implica que (i,k) ϵ R2 ◦ R1. Se ha demostrado que si la ik-ésima entrada en A1 A2 es distinta de cero entonces, (i,k) ϵ R2 ◦ R1. El reciproco también es verdadero como se demuestra a continuación. Supongamos que (i,k) ϵ R2 ◦ R1, entonces:

50 Si 1 se cumple, entonces s=1 y u=1 y su + rv es distinto de cero
Si 1 se cumple, entonces s=1 y u=1 y su + rv es distinto de cero. De manera análoga, si se cumple 2, rv=1 y de nuevo tenemos que su + rv es distinto de cero. Se ha demostrado que si (i,k) ϵ R2 ◦ R1, entonces la ik-ésima entrada en A1 A2 es distinta de cero. Para obtener la matriz de la relación R2 ◦ R1 , solo hay que cambiar todas las entradas distintas de cero en A1 A2 por unos. Así, la atriz de la relación R2 ◦ R1 , con respecto de los ordenes previamente elegidos 1,2,3 y x,y,z previamente es

51 Bases de datos Relacionales

52 ¿Qué es una base de datos?
Una base de datos es una colección de registros controlada mediante una computadora. Por ejemplo, una base de datos de una línea aérea podría contener los registros de las reservaciones, programación de los vuelos, equipo, etc. Los sistemas de cómputo permiten guardar grandes cantidades de información en bases de datos. Los datos están disponibles para su uso mediante varias aplicaciones. Los sistemas de administración de bases de datos son programas que permiten a los usuarios tener acceso a Ia información contenida en las bases de datos.

53 El modelo de base de datos relacional, se basa en el concepto de una relación n-aria. Las columnas de una relación n-aria se llaman atributos (o campos). El dominio de un atributo es un conjunto al cual pertenecen todos los elementos en ese atributo. Un atributo individual o una combinación de atributos para una relación es una clave si los valores de los atributos definen de manera única una n-ada. Un sistema de administración de bases de datos responde a consultas. Una consulta es una solicitud de información en la base de datos.

54 Ejemplo La cual se puede colocar de la siguiente manera:

55 Selección El operador de selección elige ciertas n-adas de una relación. Las elecciones se realizan dando condiciones sobre los atributos. Por ejemplo, para la relación JUGADOR

56 Proyección Mientras que el operador de selección elige los renglones de una relación, el operador de proyección elige las columnas. Además, se eliminan los duplicados. Por ejemplo, para la relación JUGADOR:

57 Fusión Los operadores de selección y de proyección controlan una única relación; el operador fusión controla dos relaciones. La operación de fusión sobre las relaciones R1 y R2 comienza examinando todos los pares de n-adas, uno de R1 y otro de R2. Si se satisface la condición de fusión, las n-adas se combinan para formar una nueva. La condición de fusion especifica una relación entre un atributo de R1 y un atributo de R2.

58 Ejemplo: Como condición consideremos: Número de identificación = Número de identificación del jugador.

59 Esta operación se expresa como JUGADOR [Número de identificación = NIJ] ASIGNACION.

60 Ejercicio Determinar los nombres de todas las personas que juegan en un equipo. Para obtener los nombres, basta proyectar sobre el atributo Nombre. Obtenemos la relación:

61 Formalmente, podemos especificar estas operaciones como
TEMP : = JUGADOR [Número de identificación = Número de identificación del jugador] ASIGNACION TEMP [Nombre]