@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT1 U.D. 1 * 1º BCT NÚMEROS REALES.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT1 U.D. 1 * 1º BCT NÚMEROS REALES

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT2 U.D. 1.7 * 1º BCT LOGARÍTMOS

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT3 Raíces y logaritmos La potenciación tiene dos operaciones inversas: n a = √ bRaíz n-sima. a n = b n = log bLogaritmo a IMPORTANTE: En toda expresión o ecuación algebraica donde la incógnita esté en el exponente, para resolverla, en general hay que aplicar logaritmos. Ejemplo: 2 x = 5

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT4 LOGARITMOS DEFINICIÓN Si a > o y a <> 1, se llama logaritmo en base a de P, y se designa log a P, al exponente al que hay que elevar la base a para obtener P. log a P = x ↔ a x = P Ejemplos: log 3 9 = 2 ↔ 3 2 = 9 log 5 125 = 3 ↔ 5 3 = 125 log 10 10000 = 4 ↔ 10 4 = 10000

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT5 Logaritmos decimales Sea la expresión: log a P = x ↔ a x = P Cuando el logaritmo es de base 10 se suele omitir el subíndice que indica la base. log P = x ↔ 10 x = P Cuando presenta dicha base (a=10) se llama LOGARITMO DECIMAL. En la calculadora la tecla log log 2 = 0,301030 log 20 = 1,301030 log 200 = 2,301030 log 2000 = 3,301030

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT6 Logaritmos neperianos Cuando el logaritmo es de base e también se omite el subíndice que indica la base, pero modificando la notación de la siguiente manera: ln P = x ↔ e x = P Cuando presentan dicha base se llaman LOGARITMOS NEPERIANOS, en honor a su creador, Neper, hacia 1614. En la calculadora la tecla ln ln 2 = 0,693147 ln 20 = 2,995732 ln 200 = 5,298317 ln 2000 = 7,600902

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT7 Curiosidad ¿CÓMO SE CONSTRUYE LA TABLA DE LOGARITMOS? Esencialmente lo que hay que resolver es la tabla de logaritmos naturales o neperianos o en base el número e, labor realizada por Neper hace más de 4 siglos. Una vez que tienes una tabla de logaritmos en base e, obtener su correspondiente tabla en base 10 es fácil mediante la identidad: log x = Lx / L10, que veremos más adelante. Donde "log" es el logaritmo en base 10, y "L" es el logaritmo neperiano. Ahora bien cómo construyó Neper las tablas de logaritmos en base e, eso es más complejo y profundo... Al buscar los logaritmos dio con el número e. La idea de Neper fue buscar una manera de multiplicar/dividir más "rápidamente“ L(a.b) = La + Lb y L(a/b) = La – Lb

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT8 Y puesto que la función logaritmo transforma productos en sumas, también transforma progresiones geométricas en progresiones aritméticas... Sea, por ejemplo, la progresión aritmética: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,... y su correspondiente geométrica en base 2: 2 ⁰,2¹,2²,2³,2 ⁴,2 ⁵,2 ⁶,2 ⁷,2 ⁸,2 ⁹,... es decir: 1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,... De manera que si quiero calcular el producto: 8.64=512, que equivale a: 2³.2 ⁶ =2 ⁹, no tengo más que calcular la suma de los exponentes: 3+6=9, y elegir el número 512 que es el que ocupa la posición indixada 9 en la progresión geométrica... Así que multiplicar 8.64 se "reduce" a sumar 3+6, en base 2, y esta es la idea. El problema es calcular el producto de 2 números que no estén en esa progresión geométrica. Esa progresión tiene muchos "huecos". Sería preferible una progresión geométrica cuya razón fuese infinitamente próxima a 1, para que recorriera todos los números... Y así podríamos hallar el producto de 2 números cualesquiera.

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT9 Nepper escogió entonces la base 1.0001 y construyó la progresión geométrica: 1.0001ⁿ con n=0,1,2,3,... Así que por ejemplo: 1.0001 ⁶⁹ ³¹ = 1.99983634 y 1.0001 ⁶⁹ ³² = 2.000036324, por tanto, la media aritmética de los exponentes 6931 y 6932 será aproximadamente el exponente al que hay que elevar la base 1.0001 para obtener 2 (2 es prácticamente la media geométrica de 1.0001 ⁶⁹ ³¹ y 1.0001 ⁶⁹ ³²), esto es 6931.5 Nepper observó que trabajar en base 1.0001 generaba logaritmos muy grandes. Era mejor trabajar en base 1.0001¹ ⁰⁰⁰⁰ cuya tabla es también muy fácil de construir a partir de la anterior. O trabajar en base 1.00001¹ ⁰⁰⁰⁰ Y mejor aún si usáramos por base el número que es el límite... lím ( 1 + 1/n )ⁿ. Dicho límite es finito y es el número e=2.71828 n→∞ Por tanto la mejor base para generar tablas de logaritmos es el número e. Y por eso los logaritmos neperianos son los logaritmos naturales que tienen por base el número e que de forma natural mejor nos construye la tabla de logaritmos.