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LOGARITMOS DÍA 05 * 1º BAD CS. Raíces y logaritmos La potenciación tiene dos operaciones inversas: n a = bRaíz n-sima. a n = b n = log bLogaritmo a IMPORTANTE:

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1 LOGARITMOS DÍA 05 * 1º BAD CS

2 Raíces y logaritmos La potenciación tiene dos operaciones inversas: n a = bRaíz n-sima. a n = b n = log bLogaritmo a IMPORTANTE: En toda expresión o ecuación algebraica donde la incógnita esté en el exponente, para resolverla hay que aplicar logaritmos. Ejemplo: 2 x = 5

3 2.1 LOGARITMOS DEFINICIÓN Si a > o y a <> 1, se llama logaritmo en base a de P, y se designa log a P, al exponente al que hay que elevar la base a para obtener P. log a P = x a x = P Ejemplos: log 3 9 = = 9 log = = 125 log = = 10000

4 Más ejemplos: log 3 81 = = 81 log 5 0,2 = = 1 / 5 = 0,2 log 10 0,001 = = 1 / 1000 = 0,001 log 36 6 = 1/2 36 1/2 = 6 (Raíz cuadrada) log 2 1/8 = = 1 / 2 3 = 1 / 8 Log 1/2 1/4 = 2 (1/2) 2 = 1 / 2 2 = 1 / 4

5 Logaritmos decimales Sea la expresión: log a P = x a x = P Cuando el logaritmo es de base 10 se suele omitir el subíndice que indica la base. log P = x 10 x = P Cuando presenta dicha base (a=10) se llama LOGARITMO DECIMAL. En la calculadora la tecla log log 2 = 0, log 20 = 1, log 200 = 2, log 2000 = 3,301030

6 Logaritmos neperianos Cuando el logaritmo es de base e también se omite el subíndice que indica la base, pero modificando la notación de la siguiente manera: ln P = x e x = P Cuando presentan dicha base se llaman LOGARITMOS NEPERIANOS, en honor a su creador, Neper, hacia En la calculadora la tecla ln ln 2 = 0, ln 20 = 2, ln 200 = 5, ln 2000 = 7,600902

7 2.1 PROPIEDADES 1.-Dos números distintos tienen logaritmos distintos. Si P <> Q log P <> log Q a a Y además si a > 1 y P < Q log P < log Q a a Ejemplos Sea 2 <> 3 log 2 <> log 3 0, <> 0, Sea - 2 <> 2 log (-2) <> log 2 No existen logaritmos de base negativa. Sea 2 < 3 log 2 < log 3 0, < 0, Sea 2 < 4 log 2 < log < - 2 Falso, pues a < 1 1/2 1/2

8 2.-El logaritmo de la base es 1 log a = 1 a 1 = a a Ejemplos Log 2 = 1, pues 2 1 = 2 2 Log 5 = 1, pues 5 1 = El logaritmo de 1 es 0, sea cual sea la base log 1 = 0 a 0 = 1, pues todo número elevado a 0 es la unidad. a Ejemplo Log 1 = 0, pues 10 0 = 1 ln 1 = 0, pues e 0 = 1

9 4.-El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores. log a x 1 + log a x 2 = log a (x 1 x 2 ) Ejemplos Sea log 2 = 0, y log 3 = 0, Hallar sin calculadora: a)log 6 log 6 = log 2.3 = log 2 + log 3 = 0, , = 0, b)log 48 Log 48 = log = log 2+ log 2+ log 2+ log 2+ log 3 = = 4. 0, , = 1, , = 1,982271

10 5.-El logaritmo de una división es la resta de los logaritmos del dividendo y del divisor. log a x 1 - log a x 2 = log a (x 1 / x 2 ) Ejemplos Sea log 2 = 0, y log 3 = 0, Hallar sin calculadora: a)log 0,5 log 0,5 = log 1 / 2 = log 1 - log 2 = 0 – 0, = - 0, b)log 250 Log 250 = log 1000 / 4 = log 1000 – log 4 = 3 – log 2.2 = = 3 – (log 2 + log 2) = 3 – 0, – 0, = 2, c)log 2/3 Log 2/3 = log 2 – log 3 = 0, , = - 0,176091

11 6.-El logaritmo de una potencia es el producto del exponente por el logaritmo de la base. p p.log a x = log a x Ejemplos Sea log 2 = 0, y log 3 = 0, Hallar sin calculadora: a)log 1024 log 1024 = log 2 10 = 10. log 2 = 10. 0, = 3, b)log 81 Log 81 = log 3 4 = 4. 0, = 1,908484

12 Ejemplos Halla el valor de x en la expresión: x = Tomamos logaritmos decimales: log x = log ( / )= = log log log )= = 2000.log log log 5 = = , , – , = = 0, Luego si log x = 0, x = 10 0, = 1,510803

13 7.-El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando, partido por el índice de la raíz. n log a x = log a x / n Ejemplos Sea log 2 = 0, y log 3 = 0, Hallar sin calculadora: a)log 2 log 2 = (log 2) / 2 = 0, / 2 = 0, b)log 9 3 log 9 = (log 9) / 3 = (log 3 2 ) / 3 = (2. log 3) / 3 = 2. 0, / 3 = = 0,318080

14 8.-El logaritmo de un número en una base cualquiera, a, es igual al logaritmo del mismo número en una base distinta, b, dividido por el logaritmo de la base, a, en base b. Sea y = log a x a y = x Si dos expresiones son iguales, los logaritmos de ambas, en la misma base, también son iguales: log b a y = log b x y. log b a = log b x Y despejando el valor de y tenemos: log b x log b x y = log a x = log b a log b a Nota: Lo más frecuente es que la nueva base b sea 10 ó e, es decir utilizar logaritmos decimales o neperianos para realizar el cambio de base.


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