@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO1 DECIMALES Y POTENCIAS TEMA 2.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO1 DECIMALES Y POTENCIAS TEMA 2

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO2 NÚMEROS REALES Y RAÍCES TEMA 2.8 * 3º ESO

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO3 NÚMEROS IRRACIONALES Las expresiones decimales no exactas ni periódicas se llaman números IRRACIONALES No se pueden escribir en forma de fracción. Junto con los números racionales forman el conjunto de los números REALES ( R ) Ejemplo: 21,303003000… Los más importantes y característicos son: El número √2 = 1,4142… Diagonal de un cuadrado de lado la unidad. El número π = 3,1415 … Cociente entre la longitud de la circunferencia y el diámetro. El número e = 2,7182… Base de los logaritmos neperianos, de enorme importancia en el Bachillerato y estudios superiores. El número Ø = 1,6182… Llamado número áureo, descubierto por los griegos y romanos, y redescubierto en el Renacimiento.

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO4 El primer radical irracional conocido fue √2. Se trata de la diagonal de un cuadrado cuyo lado vale la unidad. Fue descubierto por Pitágoras, pero prohibió a sus alumnos difundirlo, pues uno de sus dogmas era que todo número se podía expresar como división o razón de otros dos; y claro, al ser √2 un número irracional, quedaba fuera del dogma. Aplicando el T. de Pitágoras: h= √ (1 2 + 1 2 ) = √ (1 + 1) = √ 2 En general, si p no es una potencia n- sima, n √ p es un número irracional. 1 1 √2 El número √2

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO5 B A O El número л La relación entre la longitud de una circunferencia y uno cualquiera de sus diámetros. л = 3,141592… El número л

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO6 Sea la sucesión n 1 1 + ----, donde n es un número natural n Para n = 1, el término de la sucesión vale: (1+1) 1 = 2 Para n = 2, el término de la sucesión vale: (1+0,5) 2 = 2,25 ………………………………………………………………………… Para n = 100, el término de la sucesión vale: (1+0,01) 100 = 2,7048 Para n = 1000, el término de la sucesión vale: (1+0,001) 1000 = 2,7169 Vemos que n aumenta mucho, pero el término muy poco. Si hallamos su limite (4º ESO) en el infinito: 1 n L = lím ( 1 + ---- ) = e = 2,7182… n  oo n El número e

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO7 A 1 B C D O 1 El número Phi ( Ø ) La divina proporción 1 x ----- = --------- x x+1 x ( Ø ) = 1,618281… El número Ø

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO8 Raíz de un número Se denomina RAÍZ CUADRADA de un número real a otro número real que elevado al cuadrado resulte el número dado. √a = b ↔ a = b 2 En general el número real b es raíz n-ésima de otro número real a si y sólo si la potencia n-ésima de b es a. n √a = b ↔ a = b n EXPRESIÓN RADICAL Índice (n) Raíz (b) Radicando (a) n √ a = b Signo ( √ )

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO9 CASO 1 Índice par y radicando positivo √ 4 = 2 y -2, pues 2 2 = 4 Pero también: √ 4 = – 2, pues (– 2) 2 = 4 CASO 2 Índice par y radicando negativo 4 4 √ -16 = No hay, pues no existe “b” tal que b = - 16 CASO 3 Índice impar 3 √ 8 = 2, pues 2 3 = 8 3 √ - 8 = - 2, pues (- 2) 3 = - 8 CASUÍSTICA

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO10 En los siguientes número indica cuáles son racionales, calculando su valor, y cuáles irracionales. √ 49 = 7  Racional √ 7  Irracional (Pues 7 no es el cuadrado de un número racional) 0,121314…  Irracional, pues no es exacto ni existe el periodo. 3 √ – 27 = – 3  Racional √8 = √(4.2) = √4. √2 = 2.√2  Irracional, pues es el doble de un irracional, √2. 4 √ 81 = 3  Racional, pues 3 4 = 81 3 √ (– 1) = – 1, pues (– 1) 3 = – 1  Racional √(9/4) = √9 / √4 = 3 / 2  Racional √0,36 = 0,6  Racional Ejercicios

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO11 RAÍCES Y POTENCIAS EXPRESIÓN EN POTENCIA DE UN RADICAL 1/n n 1/n n n/n 1 n Sea b = a  b = (a ) = a = a = a  b = √ a 1/n 1/n n Y como b = a  a = √ a Si n no es un número natural, sino racional, generalizando tenemos: m/n n a = √ a m Una expresión radical siempre se puede expresar como una potencia, donde el exponente va a ser una fracción tal que el denominador, n, es el índice del radical, y el numerador el exponente de la base. Ejemplos: √2 = 2 1/2, 3 √5 = 5 1/3, 3 √49 = 7 2/3, 5 √64 = 2 6/5

12 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO12 EJEMPLO 1 Simplifica: 3 6 6/3 2 √ 2 = 2 = 2 = 4 EJEMPLO 2 Simplifica: 12 4 4/12 1/3 3 √ 2 = 2 = 2 = √ 2 EJEMPLO 3 Calcula, utilizando las potencias: 6 6 3 3/6 ½ √ 1331 = √ 11 = 11 = 11 = √ 11

13 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO13 EJEMPLO 4 Calcula, utilizando las potencias: 5 5 10 10/5 2 √ 1024 = √ 2 = 2 = 2 = 4 EJEMPLO 5 Calcula: 3 1/3 3 1/3 3/3 1 √625 = 625 = (5 ) = 5 = 5 = 5 EJEMPLO 6 Calcula, utilizando las potencias: 5 3 3/5 5 3/5 15/5 3 √243 = 243 = (3 ) = 3 = 3 = 27