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FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
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CONTENIDO Función Exponencial. Definición de Asíntota Horizontal.
Representación Gráfica. Exponencial Natural. Transformación de Funciones. Función Logaritmo. Definición de Asíntota Vertical. Logaritmo Común. Logaritmo Natural.
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FUNCIÓN EXPONENCIAL Hemos estudiado funciones de la forma:
Exponente constante Función potencia Base variable Como por ejemplo: Ahora estudiaremos funciones de la forma: Exponente variable Base constante Como por ejemplo:
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DEFINICION DE FUNCION EXPONENCIAL
Una función exponencial es una función de la forma: Exponente variable Base constante En donde: El dominio de una función exponencial es el conjunto de los números reales. El rango de una función exponencial es el conjunto de los números reales positivos.
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DEFINICIÓN DE ASINTOTA HORIZONTAL
Una recta de la forma y=b es una asíntota horizontal de una función f, sí: o y=b y=b y=b y=b
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Hacer la gráfica de la función:
Características Dominio: Rango: Intersección eje x: No hay Intersección eje y: Creciente Comportamiento extremo: Asíntota horizontal: Función uno a uno
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Hacer la gráfica de la función:
Características Dominio: Rango: Intersección eje x: No hay Intersección eje y: Decreciente Comportamiento extremo: Asíntota horizontal: Función uno a uno
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Veamos las dos gráficas en el mismo plano:
La gráfica de corresponde a una reflexión sobre el eje y de la gráfica de En la base es 2 y >1 . La función es creciente. En la base es ½ y 0<1/2<1 La función es decreciente.
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EN FORMA GENERAL En el ejemplo anterior En el ejemplo anterior
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GRÁFICA DE LA FUNCION EXPONENCIAL
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La siguiente figura muestra las gráficas de algunas funciones exponenciales
La gráfica de está entre la gráfica de y la de observe que 2<3<10. La gráfica de está entre la gráfica de y la de Todas las gráficas cortan al eje y en el punto (0,1)
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FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL
La función exponencial natural está definida por: Donde el número es un número irracional llamado número de Euler y está definido como el valor al que tiende Cuando Donde es un entero positivo El valor aproximado del número es:
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GRAFICA DE Puesto que , la gráfica de la función exponencial natural se encuentra entre las gráficas de como se muestra en la figura: Características Dominio: Rango: Creciente Comportamiento extremo: Asíntota horizontal:
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TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES
Partiendo de la gráfica de la función graficar: Traslación vertical, una unidad hacia arriba CARACTERISTICAS FUNCION DOMINIO RANGO ASÍNTOTA HORIZONTAL FUNCIONES CRECIENTES
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TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES
Partiendo de la gráfica de la función graficar: Reflexión eje y Reflexión eje x
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CARACTERISTICAS DE LA FUNCION
DOMINIO RANGO FUNCION DOMINIO RANGO
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TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES
Transformaciones: Graficar: Traslación horizontal, 2 unidades a la derecha. A partir de Reflexión eje x. Traslación vertical, 2 unidades hacia abajo. FUNCION DOMINIO RANGO ASÍNTOTA HORIZONTAL CRECIMIENTO creciente decreciente FUNCIONES UNO A UNO
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TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES
Graficar: Características: Reflexión eje y. FUNCION DOMINIO RANGO ASÍNTOTA HORIZONTAL CRECIMIENTO Traslación horizontal 1 unidad a la derecha. Dilatación vertical por 3. Traslación vertical 4 unidades hacia abajo. decreciente creciente FUNCIONES UNO A UNO
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Ejemplo Encuentre la función de la forma que corresponde a la siguiente gráfica Puesto que: Entonces : Podemos saber que: Como sabemos que tenemos que : De donde La función es:
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FUNCIÓN LOGARITMO Como ya se ha explicado toda función exponencial
Es una función uno a uno y por lo tanto tiene una función inversa La función inversa se conoce como la función logaritmo, con base de x y se denota como La función logaritmo se define como: Es decir que es el exponente al cual debe elevarse la base para obtener
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En la medida que x se aproxima a a.
DEFINICIÓN DE ASINTOTA VERTICAL Una recta con ecuación x=a es una asíntota vertical de una función f, sí: o En la medida que x se aproxima a a. x=a x=a x=a x=a
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GRÁFICA DE UNA FUNCION LOGARITMO
Utilizando un tabla de valores vamos a graficar la función
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GRÁFICA DE UNA FUNCION LOGARITMO
Ya que la función logaritmo es la función inversa de la función exponencial , La gráfica de la función logaritmo se obtiene reflejando la función exponencial en la recta Si a>1, se obtiene : Características: FUNCION DOMINIO RANGO ASÍNTOTA CRECIMIENTO creciente creciente FUNCIONES UNO A UNO
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GRÁFICA DE UNA FUNCION LOGARITMO
Si 0<a<1, se obtiene : Características: FUNCION DOMINIO RANGO ASÍNTOTA CRECIMIENTO decreciente decreciente FUNCIONES UNO A UNO
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GRÁFICA DE UNA FUNCION LOGARITMO
La siguiente figura muestra la familia de funciones logaritmo con base 2, 3, 5 y 10 La siguiente figura muestra la familia de funciones logaritmo con base 1/2, 1/3, 1/5 y 1/10
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LOGARITMO COMUN El logaritmo con base 10 se conoce como logaritmo común y se denota omitiendo la base, así: Las calculadoras permiten evaluar estos logaritmos, si el logaritmo tiene otra base es necesario utilizar la fórmula de cambio de base para evaluarlos, así: Donde
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LOGARITMO NATURAL El logaritmo con base se conoce como logaritmo natural y se denota como La función logaritmo natural es la función inversa de la función exponencial
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GRÁFICA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL
La gráfica de la función logaritmo natural se obtiene reflejando la gráfica de la función exponencial en la recta: Características: FUNCION DOMINIO RANGO ASÍNTOTA CRECIMIENTO creciente creciente FUNCIONES UNO A UNO
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…RESUMIENDO
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TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES
Trazar la gráfica de la función: Trasformaciones: Traslación horizontal, 3 unidades hacia la derecha. Traslación vertical, 1 unidad hacia arriba. Características: FUNCION DOMINIO RANGO ASÍNTOTA VERTICAL FUNCIONES CRECIENTES
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TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES
Trazar la gráfica de la función: Trasformaciones: Reflexión eje y. Traslación horizontal 2 unidades a la derecha. Reflexión eje x. Características: FUNCION DOMINIO RANGO ASÍNTOTA VERTICAL creciente decreciente
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Encuentre la función de la forma cuya gráfica se da.
Reemplazando el punto (5,1) en , se tiene: De donde: Luego:
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