Circunferencia de Feuerbach

Presentación del tema: "Circunferencia de Feuerbach"— Transcripción de la presentación:

1 Circunferencia de Feuerbach
Victoria Möller, Carina Giordano – 6ºFM1 – 2015

2 Una circunferencia está definida por tres puntos
Una circunferencia está definida por tres puntos. Dados tres puntos no alineados, existe necesariamente una única circunferencia que contiene a los tres. Si dados cuatro puntos existe una circunferencia que los contiene a todos, se deduce que existe alguna relación entre ellos que justifica esta pertenencia común a la misma circunferencia. A medida que se aumenta el número de puntos, resulta más extraordinario que todos ellos pertenezcan a la misma circunferencia (es decir, que equidisten de un punto) si no fueron elegidos especialmente para cumplir con esto. En el caso de la circunferencia de Feuerbach, son nueve los puntos destacados que la integran, todos de especial relevancia en un triángulo. Por esto, su existencia llama la atención. En particular, el teorema de Feuerbach ha sido llamado “la joya de la geometría del siglo XIX”.

3 Son nueve puntos del triángulo los que pertenecen a ella:
La circunferencia de los nueve puntos, también conocida como circunferencia de Feuerbach o de Euler, es una circunferencia que se puede construir sobre cualquier triángulo. Son nueve puntos del triángulo los que pertenecen a ella:

4 1. Los puntos medios de los lados del triángulo:

5 2. Los pies de las alturas:

6 3. Los puntos medios de los segmentos determinados por el ortocentro
y los vértices del triángulo:

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8 Circunferencia de los seis puntos
En , Charles Brianchon y Jean-Victor Poncelet publicaron por primera vez en el periódico Annales de Gergonne, una demostración sobre la existencia de la circunferencia de los seis puntos. Probaron que los puntos medios de los lados de un triángulo y los pies de las alturas pertenecen a una misma circunferencia:

9 El matemático francés Olry Terquem ya había demostrado la circunferencia de los nueve puntos antes que Feuerbach. Poco tiempo después, en 1822, Karl Wilhelm Feuerbach publicó una demostración sobre la existencia de la circunferencia de los nueve puntos y agregó otras propiedades: El centro de la circunferencia de los nueve puntos está situado en la recta de Euler y equidista del ortocentro y el circuncentro. La circunferencia de los nueve puntos es tangente a la circunferencia inscrita en el triángulo y a las tres exinscritas a él. Este último enunciado es conocido como teorema de Feuerbach.

10 Karl Wilhelm Feuerbach
Nació el 30 de mayo de 1800 en Jena, Alemania. Fue hermano del filósofo Ludwig Feuerbach. Fue estudiante de la universidad de Erlangen y más tarde de la de Friburgo, obteniendo a los 22 años un doctorado. Fue profesor de matemática en un Gymnasium de Erlangen. En 1822 publicó en Núremberg un libro de 62 páginas, donde demostró analíticamente la circunferencia de los nueve puntos. En 1824 fue detenido y encarcelado durante un año en Múnich debido a sus posiciones políticas. Sufrió de depresión e intentó suicidarse en dos ocasiones. A través de una intervención del rey pudo volver a dar clases, reintegrándose como profesor en Hof y luego volviendo a dar clases en Erlangen, hasta el día que, desenvainando una espada en clase, amenazó con cortar la cabeza de aquellos alumnos que no supieran resolver una ecuación. Vivió los últimos años de su vida recluido hasta que murió en Erlangen el 12 de marzo de 1834.

11 Circunferencia de Feuerbach
Enunciado En todo triángulo no rectángulo, la circunferencia que pasa por los pies de las alturas contiene los puntos medios de sus lados así como los puntos medios determinados por cada vértice y el ortocentro. Observaciones: La circunferencia de los nueve puntos es la circunscrita al triángulo órtico del Por lo tanto sabemos que los puntos K, J, I pertenecen a la circunferencia de los nueve puntos. Faltaría probar que los puntos medios de los lados (D, G, H) y los puntos equidistantes del ortocentro y cada vértice (L, M, E) pertenecen a ella.

12 Hipótesis no rectángulo. K, J, I son los pies de las alturas (respectivamente) D, G, H son los puntos medios de los lados (respectivamente) L, M, E son los puntos medios determinados por el ortocentro y los vértices del triángulo (respectivamente). Tesis Existe una circunferencia C que contiene a los puntos K, J, I, D, G, H, L, M, y E.

13 Demostración Se consideraC circunscrita al triángulo órtico del Los puntos K, J e I pertenecen a ella. Por propiedad del triángulo órtico sabemos que las alturas de están incluidas en las rectas que contienen a las bisectrices del es incentro de y ortocentro de . Estas bisectrices son bisectrices de ángulos inscritos enC , por lo tanto por propiedad de ángulos inscritos, pasan por el punto medio del arco que abarcan: M, E, L respectivamente.

14 Demostración Estos puntos también pertenecen a las mediatrices de las cuerdas que abarcan. Ejemplo: abarca la cuerda [IJ] , si se traza la mediatriz de [IJ] se observa que pertenece, además de a la bisectriz de , a la mediatriz de [IJ] .

15 Demostración Probar que es punto medio [OB]: es rectángulo en J
es rectángulo en I Por L. G. de Thales, [OB] es la hipotenusa común y contiene al centro de la circunferencia que pasa por J, B, I, O. Este centro es el punto medio de [OB] , que se obtiene de la intersección entre la bisectriz de con la mediatriz de [IJ], la cuerda que abarca. Este punto es , por lo tanto es punto medio de [OB] . Análogamente se prueba que y son puntos medios de [OA] y [OC] respectivamente.

16 Demostración Por lo tanto: C

17 Demostración Ahora resta probar que los puntos medios de los lados pertenecen a C : es rectángulo en J Por lugar geométrico de Thales, [AC] es la hipotenusa común es rectángulo en I y contiene al centro de la circunferencia que pasa por A, J, I, C. Este centro es el punto medio de [AC] , que se obtiene cortando a AC con la mediatriz de [IJ] . Este punto es .

18 Demostración Probar que C : Se considera el inscrito en C .
Se sabe por propiedad de la circunferencia circunscrita a un triángulo, que en ella se encuentran los cortes de las mediatrices de cada lado con las bisectrices exterior e interior del ángulo del vértice opuesto. En este dibujo, C es esa circunferencia. Se toma la mediatriz del lado [IJ], que determinó el punto M en la parte anterior. Las bisectrices son [KB) y [KA), que determinan los puntos y sobre C .

19 Demostración Análogamente se puede probar para los puntos G y H:
Por lo tanto, C

20 Propiedades Su centro se encuentra en la recta de Euler, equidistante del ortocentro y del circuncentro del triángulo. La circunferencia de Feuerbach de un triángulo se corresponde con la circunferencia circunscrita al triángulo órtico de éste. La circunferencia de Feuerbach es homotética a la circunscrita, con una razón de 2 y el centro de homotecia en el ortocentro del triángulo. Esto significa que el radio de la circunferencia de los nueve puntos es la mitad del radio de la circunferencia circunscrita al mismo triángulo. La circunferencia inscrita al triángulo es tangente interior a la circunferencia de Feuerbach. La circunferencia de los nueve puntos es tangente exterior a las circunferencias exinscritas al triángulo.

21 Propiedad de la circunferencia de los nueve puntos respecto de la circunferencia circunscrita
La circunferencia de Feuerbach cumple una relación de homotecia con la circunferencia circunscrita del triángulo: Esto se da porque: De lo cual se deduce que la circunferencia de Feuerbach es homotética a la circunscrita. Esta homotecia tiene razón 2 y centro en el ortocentro del triángulo.

22 Por lo tanto, el triángulo inscrito en la circunferencia de Feuerbach en los puntos L,M,E es homotético al triángulo original con la misma razón (2) y centro (O), además de semejante:

23 Teorema de Feuerach El teorema de Feuerbach establece que la circunferencia de Feuerbach es tangente a la circunferencia inscrita y a las tres exinscritas del triángulo.

24 La circunferencia inscrita al triángulo es tangente interior a la circunferencia de Feuerbach.
El punto de tangencia de la circunferencia de Feuerbach con la inscrita es llamado punto de Feuerbach.

25 La circunferencia de los nueve puntos es tangente exterior a las circunferencias exinscritas al triángulo.

26 Bibliografía El teorema de Feuerbach, revista de la olimpíada iberoamericana de matemática – Recuperado de: Circunferencia de los nueve puntos – Recuperado de: Circunferencia de los nueve puntos o de Feuerbach – Recuperado de: Teorema de Feuerbach – Recuperado de: García, F. – Circunferencia de los nueve puntos – Recuperado de: Puig Adam, P. – Geometría métrica La circunferencia de Feuerbach – Recuperado de: