DERIVADA DÍA 41 * 1º BAD CT.

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1 DERIVADA DÍA * 1º BAD CT

2 TASA DE VARIACIÓN MEDIA
Dada una función f definida en un intervalo [a,b], se llama TASA DE VARIACIÓN MEDIA de la función f en [ a,b ] al cociente: f (b) - f(a) TVM = b - a Como se observa en el valor de la TVM no influye el comportamiento de la función a lo largo del intervalo. Pueden existir diversas funciones que tengan la misma TVM en el mismo intervalo. b – a es la variación o incremento de x, Δx. f(b) – f(a) es la variación o incremento de f(x), Δf(x) o Δy. TVM = Δy / Δx = m , pendiente del segmento que une los extremos de la función, o sea (a, f(a)) con (b, f(b)).

3 Incremento de una función (1)
Sea la función f(x) = x  Verde Sea la función g(x) = x2  Rojo Ambas funciones presentan el mismo incremento de x: Δy = f(2) – f(0) = 2 Δy = g(2) – g(0) = 22 – 0 = 4 TVM de f(x): TVM = Δy / Δx = 2 / 2 = 1 TVM de g(x): TVM = Δy / Δx = 4 / 2 = 2 El crecimiento medio de g(x) es el doble que el de f(x). y 4 a= b=2 x

4 Incremento de una función (2)
Sea la función f(x) = x / 2 Verde Sea la función g(x) = x2/ 8  Rojo Sea la función h(x) = √x  Azul Ambas funciones presentan en el intervalo cerrado [0, 4] el mismo incremento de la función: Δy = f(4) – f(0) = 2 Δy = g(4) – g(0) = 2 Δy = h(4) – h(0) = 2 Las TVM de ambas son: TVM = Δy / Δx = 4 / 4 = 1 Sin embargo está muy claro que su comportamiento en dicho intervalo en muy diferente. y f(4)=g(4)=h(4)=2 a= b=4 x

5 Ejercicio Sea la función f(x) = x3 – 4x Hallar la TVM de la función en: [-4,-2], [0,2] y [-1, 1] En [-4,-2] f (- 4) - f(-2) TVM = = = 24 - 4 – (-2) En [0, 2] f (2) – f (0) TVM = = = 0 2 – En [-1, 1] f (1) – f (-1) TVM = = = - 3 1 – (-1) y=f(x) x

6 TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA
Dada una función f definida en un entorno del punto a, se llama: Tasa de variación INSTANTÁNEA de la función f en x = a al límite de las tasas de variación media cuando los intervalos considerados son cada vez más pequeños: f (a + Δx) – f (a) TVI = lím Δx  Δx y 2 h(x) = √x f(x) = x / 2 g(x) = x2/ 8 a= x

7 y 2 Tasa de variación INSTANTÁNEA f (a + Δx) – f (a) TVI = lím Δx  Δx En las proximidades de a=0 (0+ Δx )/2 – 0/2 TVI [f(x)]= lim = ½ Δx  Δx (0+ Δx)2/2 – 02/2 TVI [g(x)]= lim = h = 0 √(0+ Δx) – √0 TVI [g(x)]= lim = √Δx √Δx √Δx = lim = lim = = --- = oo Δx 0 Δx Δx0 Δx √Δx √Δx h(x) = √x f(x) = x / 2 g(x) = x2/ 8 a= x

8 DERIVADA EN UN PUNTO DE UNA FUNCIÓN
Sea la función y = f(x) que se muestra en el gráfico mediante una curva. Si tomamos los puntos Po y P1 y los unimos mediante una recta, dicha recta será secante a la función que representa la curva trazada. La pendiente m de dicha recta será: Δ y y1 - yo m1 = = , Δ x x1 - xo es decir el incremento de la ordenada entre el incremento de la abscisa Imaginemos que el punto P1 se traslada hasta el punto P2. P1 y1 P2 Po yo xo x1

9 Tanto la abscisa como la ordenada han cambiado, han disminuido de valor, y la recta secante también ha variado de posición. La pendiente m de la nueva secante será: Δ y y2 - yo m2 = = , Δ x x2 - xo es decir el incremento de la ordenada entre el incremento de la abscisa. Observar que si el nuevo punto Pn tomado se va acercando más y más al punto Po, tanto el incremente de la ordenada como el de la abscisa tiende a cero. P1 P2 y2 Po yo xo x2

10 La recta secante terminará convertida en una RECTA TANGENTE, pues será tangente a la función en el punto estudiado Po = (xo, yo) La pendiente de esa recta tangente será: yn - yo m = lím = [----] xxo xn - xo f(xo+h) – f(xo) m = lím = ---- h h A ese límite concreto, si existe, es lo que llamamos DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO ( en Po ) Se denota así: f ’(xo) y1 y2 Po yo xo x2 x1

11 Ejemplos EJEMPLO 1 Sea la función y = 3 x + 4 Hallar f ´(1)
f(1+h) – f(1) (1+h) + 4 – ( ) f ’(1) = lím = lím = h h h h 3 + 3.h + 4 – 3 – ,h = lím = lim = 3 h h h0 h f ’(1) = 3

12 Ejemplos EJEMPLO 2 Sea la función y = – 2.x + 3 Hallar f ´(3)
f(3+h) – f(3) – 2 (3+h) + 3 – ( – ) f ’(3) = lím = lím = h h h h – 6 – 2h – – 2.h = lím = lim = – 2 h h h0 h f ’(3) = – 2

13 Ejemplos EJEMPLO 3 Sea la función y = - x2 + 4x Hallar f ’(1)
f(1+h) – f(1) – (1+h)2 + 4.(1+h) – (– 1+ 4) f ’(1) = lím = lím = h h h h – 1– 2.h – h h + 1 – 4 = lím = h h 2h - h2 = lím = 2 – h = 2 – 0 =  f ’(1) = 2 h0 h

14 Ejemplos EJEMPLO 4 Sea la función y = 3.x2 – 4 Hallar f ’(2)
f(2+h) – f(2) (2+h)2 – 4 – (3.22 – 4) f ’(2) = lím = lím = h h h h 3.(4 + 4h + h2) – 4 – = lím = h h 12h + 3h2 = lím = h = =  f ’(2) = 12 h h

15 PENDIENTE Y DERIVADA Observar la gráfica de la función.
La tangente a la gráfica en x=b será una recta horizontal y por tanto de pendiente m=0 Conclusión: Aquellos puntos de la función cuya derivada valga cero, serán los Máximos (o los Mínimos) relativos de dicha función. La recta tangente a la gráfica en x=a tiene pendiente positiva. La recta tangente a la gráfica en x=c tiene pendiente negativa En aquellos puntos cuya derivada sea negativa (m<0), la función será DECRECIENTE. Y si su derivada es positiva (m>0), la función será CRECIENTE. m<0 m=0 m>0 a b c

16 EJEMPLO DE APLICACIÓN Sea la función y = - x2 + 4x Hallar la recta tangente y la recta normal en x=1 f(1+h) – f(1) f ’(1) = lím = h h - (1+h)2 + 4.(1+h) – ( ) = lím = -1-2h-h h = lím = 2h - h2 = lím = 2 – 0 = 2 h0 h f ’(1) = m = 2 > 0  Creciente 1 Sea la función y = - x2 + 4x m(tangente) = 2 en x=1 f(1)= – = 3 Por la ecuación punto-pendiente: Recta tangente: y – 3 = 2.(x – 1) Recta normal: y – 3 = (– ½) .(x – 1)

17 … EJEMPLO DE APLICACIÓN
Sea la función y = - x2 + 4x Hallar la recta tangente y la recta normal en x=3 f(3+h) – f(3) f ’(3) = lím = h h - (3+h)2 + 4.(3+h) – ( ) = lím = -9-6h-h h - 2h - h2 = lím = - 2 – 0 = - 2 h0 h f ’(3) = m = - 2 < 0  Decreciente 3 Sea la función y = - x2 + 4x m(tangente) = -2 en x=3 f(3)= – = 3 Por la ecuación punto-pendiente: Recta tangente: y – 3 = – 2.(x – 3) Recta normal: y – 3 = ( ½) .(x – 3)

18 … EJEMPLO DE APLICACIÓN
Sea la función y = - x2 + 4x Hallar la recta tangente y la recta normal en x=2 f(2+h) – f(2) f ’(2) = lím = h h - (2+h)2 + 4.(2+h) – (- 4+ 8) = lím = h -h h - h2 = lím = - h = - 0 h0 h f ’(2) = m = 0  Máx o Mín 2 Sea la función y = - x2 + 4x m(tangente) = 0 en x = 2 f(2)= – = 4 Por la ecuación punto-pendiente: Recta tangente: y – 3 = 0.(x – 2) ,, y – 3 = 0 ,, y = 3 Recta normal: y – 3 = ( 1/0) .(x – 2) ,,0 = x – 2 ,, x=2