JESÚS VERA 2005-2. Una superficie de revolución es aquella que se engendra haciendo girar una curva y = f(x), ala cual llamaremos curva generatriz. alrededor.

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1 JESÚS VERA 2005-2

2 Una superficie de revolución es aquella que se engendra haciendo girar una curva y = f(x), ala cual llamaremos curva generatriz. alrededor de cualquier eje, llamado eje de revolución.

3 EJEMPLO: Descripción: Superficie obtenida por revolución de una rosa de tres pétalos.  = a Cos[n  ] Gráfica para n=3, a=1. Alrededor del eje “x”

4 Y tiene como curva generatriz:  = a Cos[n  ]

5 Se define como el limite de la suma de las áreas laterales.

6 Las áreas laterales estan determinadas por: Area lateral = 2¶NM(CE) CE = [1+f’(x) 2 ] 1/2  x NM = (Y 1 - E 1 ) Sustituyendo: A l = 2¶ (Y 1 - E 1 ) [1+f’(x) 2 ] 1/2  x

7 Si aplicamos la definición y obtenemos el limite de la suma de las áreas laterales obtenemos :  2¶ (Y i ) [1+f’(x i ) 2 ] 1/2  x i lo que es igual a : 2¶  (Y) [1+f’(x) 2 ] 1/2 dx

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9 El volumen de un solido de revolución esta determinado por: Sea la función “f” continua en el intervalo cerrado [a,b], y supongamos que f(x) >= 0 para toda x en [a,b]. Si S es el solido de revolución obtenido al girar alrededor del eje x la region limitada por la curva y = f(x), el eje x, y las rectas x=a y x=b, si V es el volumen de S en unidades cúbicas, entonces: V= lim   [f(x i )] 2  x i  0 V =   [f(x)] 2 dx

10 Cuando una superficie plana gira alrededor de un eje situado en el mismo plano, y este eje no corta a la superficie, se forma un solido de revolución hueco.

11 El volumen de un solido de revolucion hueco esta determinado por: Sean las funciones f y g continuas en el intervalo cerrado [a,b] y supongamos que f(x)>=g(x)>=0 para toda x en [a,b]. Entonces si V unidades cubicas es el volumen del solido de revolicion generado al girar, alrededor del eje x, la region limitada por las curvas y=f(x) y y=g(x) y las rectas x=a y x=b, V = lim   ([f(x i )] 2 – [g(x i )] 2 )  x i  0 V =   [f(x)] 2 - [g(x i )] 2 dx