ECUACIONES DIFERENCIALES

Presentación del tema: "ECUACIONES DIFERENCIALES"— Transcripción de la presentación:

1 ECUACIONES DIFERENCIALES

2 ECUACION DIFERENCIAL Definición -Una ecuación diferencial es una ecuación en la que aparecen derivadas o diferenciales. - Si una ecuación contiene solo derivadas de una función de una variable, entonces se dice que es ordinaria. - Una ecuación diferencial parcial contiene derivadas parciales.

3 CONCEPTOS BASICOS ORDEN El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales).- Es el de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación. Por ejemplo: d2y + 5 [dy]3 - 4y = ex o dx2 dx Son ecuaciónes diferenciales de segundo orden.

4 GRADO El grado de una ecuación diferencial
GRADO El grado de una ecuación diferencial.- Es la potencia a la que esta elevada la derivada mas alta, siempre y cuando la ecuación diferencial este dada en forma polinomial. CONCEPTOS BASICOS

5 CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Para desarrollar sistemáticamente la teoría de Las ecuaciones diferenciales, es útil clasificar los diferentes tipos de ecuaciones. TIPOS: Ordinarias y parciales Ordinarias: Son las que contiene derivadas de una o mas variables dependientes con respecto a una sola variable independiente. Parciales: Son las que contienen derivadas parciales de una o mas variables dependientes con respecto a dos mas variables independientes.

6 CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Clasificación por orden Primer orden F( x, y, y’)=0 Segundo orden F( x, y’, y’’)=0 Tercer orden F( x, y’, y’’, y’’’)=0 …… ….... Orden n F( x, y’, y’’, y a ala n)=0

7 CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Clasificación por grado Lineales: Cuando la variable dependiente Y y todas sus derivadas son de 1er cada coeficiente de Y y sus derivadas depende solamente de la variable independiente X (puede ser constante. No lineales: Son las que no cumplen las propiedades anteriores.

8 SOLUCIÓN DE UNA ECUACION DIFERENCIAL
- Solución: es una función que no contiene derivadas y que satisface a dicha ecuación; es decir, al sustituir la función y sus derivadas en la ecuación diferencial resulta una identidad. - Solución General: Es la función que contiene una o mas constantes arbitrarias (obtenidas de la sucesivas integraciones). Ejemplo: La función Y=3X²+C1X+C2 es solución general de la ecuación diferencial Y’’=6, porque: Y’=6X+C1 y Y’’=6 por lo tanto 6 = 6

9 SOLUCIÓN DE UNA ECUACION DIFERENCIAL
- Solución Particular: Es la función cuyas constantes arbitrarias toman un valor especifico. Ejemplo: La función Y=eˉx+8 es la solución particular de la ecuación diferencial Y’+eˉx=0, porque derivando la solución y sustituyéndola en la ecuación dada, obtenemos: Y’= eˉx eˉx + eˉx = 0 por lo tanto 0 = 0

10 INTERPRETACION GEOMETRICA Geometricamente la solucion general representa una familia de curvas Asi : x² + y² = k² representa una familia de circunferencias

11 TRAYECTORIAS ORTOGONALES
Es una familia de curvas cuyas pendientes son perpendiculares entre si. O de otra manera son las curvas que se intersectan formando angulo recto. Si una familia de curvas tiene la ecuacion F(X,Y,Y’)=0, la ecuacion diferencial de las trayectorias ortogonales a ella, es otra familia de la forma:F(X,Y – 1/Y’)=0 Para obtener las trayectorias ortogonales de una ecuacion diferencial, se toma:m1=dy/dx=f(x,y), y como m2= - 1/m1 , m2=dy/dx= - 1/f(x,y) de la trayectoria ortogonal a la primera ecuacion.

12 Teorema De Existencia Y Unicidad
Dada una ecuacion diferencial Y’ = f(x,y) donde f(x,y) esta definida en una región rectangular R que contiene el punto (X0,Y0). Si f(x,y) satisface las condiciones: A) f(x,y) es continua en R. B) df/dy es continua en R. Existe un intervalo1 con centro en X0,Y0 existe una y solo una funcion y=g(x) definida en el intervalo1 que satisface la condicion inicial Y(X0)=Y0

13 EXISTENCIA Y UNICIDAD Condiciones para la existencia de soluciones: Continuidad de f(X0,Y0) en R Acotamiento de f(X0,Y0) en R. Condiciones para la unicidad: Continuidad de f(X0,Y0) y df/dy en R Acotamiento de f(X0,Y0) y df/dy en R.

14 FUENTES DE REFERENCIA Ecuaciones diferenciales. Autor:Isabel Carmona Jover. Editorial:Pearson.