@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS1 TEMA 15 * CONTRASTES DE HIPÓTESIS MATEMÁTICAS A. CS II.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS1 TEMA 15 * CONTRASTES DE HIPÓTESIS MATEMÁTICAS A. CS II

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS2 TEMA 15.3 * 2º B CS CONTRASTES PARA LA PROPORCIÓN

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS3 CONTRASTES PARA LA PROPORCIÓN Veremos ahora la forma de tomar una decisión en base a datos estadísticos, controlando el margen de error que podemos cometer. Supongamos que una empresa privada, decide otorgar un premio a aquellos centros, en los que más de 7 de cada 10 alumnos superen una determinada prueba. Como no puede (por razones económicas, de tiempo, disponibilidad, etc) realizar la prueba en todos los alumnos en cada centro, decide elegir una muestra aleatoria de 49 alumnos de cada centro, y que sean ellos los que realicen la prueba. Imagina que en nuestro centro, se han obtenido los siguientes resultados: pr = 0,75 Ahora bien, la empresa se plantea la siguiente duda, ¿puede afirmar con seguridad que la proporción del centro es superior a 0,70, o por el contrario el resultado obtenido se debe al azar en la elección de la muestra ( es decir, que la muestra no es significativa)?.

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS4 Nuestro centro, dado su convencimiento de merecer el premio, propone el siguiente proceso: Para probar que " la proporción p es superior a 0,70 " (1), supondremos en principio lo contrario, es decir que " la proporción es menor o igual que 0,70 " (2), y veremos en términos probabilisticos la posibilidad de que esto último ocurra. Llegan al acuerdo de que si la probabilidad de que " la proporción sea menor o igual a 0,70 " es menor del 5%, se aceptará la hipótesis del centro y se concederá el premio. El centro argumenta lo siguiente: Si la hipótesis (2) fuera cierta, es decir, la proporción menor o igual a 0,70, en el caso extremo la proporción sería 0,70, y la distribución muestral de proporciones sería N(0,70, √0,7.0,3/49) = N(0,70 ; 0,06546) Si esto es así, en como mínimo el 95% de los casos, la proporción muestral habría de ser menor que el valor t=0,70 +1,65x0,06546 = 0,808 para el que se verifica que: p(X > t) = 0,05

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS5 Este valor t se obtiene buscando en primer lugar la proporción típica k para la que p(Z<k)=0,95, que resulta ser k=1,65. Los valores que se encuentran a más de 1,96 desviaciones de la proporción p, superiores a t=0,70+1,65x0,06546=0,808 son los que forman la región crítica, es decir las proporciones que tienen una probabilidad de producirse menor del 5%. Podría ocurrir que la hipótesis (2) fuera cierta y la media proporción pr = 0,75 perteneciera a esa distribución y fuera un valor correspondiente a la región crítica (y la probabilidad de que ello ocurra es del 5%), o bien que lo que ocurra realmente, es que (2) sea falsa, y la proporción obtenida pertenezca a una distribución muestral con proporción, pr, superior (por ejemplo 0,76 ), con lo cual tal valor no sería tan raro. N(0,70; 0,06546) 0,70 0,808

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS6 En estadística, "se apuesta" a lo que tiene mayor probabilidad de ocurrir, por lo que se considera que la segunda elección es la correcta. Puesto que suponiendo que la proporción muestral, pr, es como máximo 0,70 en, al menos, 95 de cada 100 muestras la proporción debería de ser menor que 0,808, y dado que la proporción muestral obtenida fue 0,75 (que se encuentra en la región crítica), el centro concluye que: "Con un nivel de significación del 5%, existe evidencia suficiente de que la proporción de aprobados es superior a 0,70 ". Si el nivel de significación fuera menor, la región crítica disminuiría, y tendremos más confianza en una decisión de rechazo de la hipótesis nula.