Inferencia Estadística

Presentación del tema: "Inferencia Estadística"— Transcripción de la presentación:

1 Inferencia Estadística
Clase Nº 7

2 Prueba de Hipótesis Una hipótesis estadística es una afirmación con respecto a alguna característica desconocida de una población de interés. La esencia de probar una hipótesis estadística es el decidir si la afirmación se encuentra apoyada por la evidencia experimental que se obtiene a través de una muestra aleatoria. La decisión acerca de si los datos muestrales apoyan estadísticamente la afirmación se toma con base en la probabilidad, y si está es mínima, entonces será rechazada.

3 Prueba de Hipótesis Para realizar una prueba de hipótesis, se hacen algunas inferencias o supuestos con sentido acerca de la población. Consideremos como ejemplo un embotellador de bebidas que debe determinar si el peso promedio del contenido de sus botellas es de 16 onzas (μ = 16 onzas). Está hipótesis nula (H₀) se prueba contra la hipótesis alternativa (H₁) que establece lo contrario, que en este caso es, que el contenido promedio NO es de 16 onzas (μ≠16), por lo tanto se tendría: H₀: μ= H₁: μ≠16

4 Prueba de Hipótesis Con base en los datos muestrales, esta hipótesis nula es rechazada o no rechazada. Nunca se puede “aceptar” la hipótesis nula como verdadera. El no rechazo de la hipótesis nula solamente significa que la evidencia muestral no es lo suficientemente fuerte como para llevar a su rechazo. Incluso si X-barra = 16, no prueba que μ = 16. Podría ser que μ sea 15,8 ( o cualquier otro número), y debido al error de muestreo la media muestral acaba de igualar al valor de 16 que se plantea como hipótesis. Una conclusión con base en un rechazo de la hipótesis nula es más significativa que una que termine en una decisión de no rechazo

5 Valores Críticos y Zonas de Rechazo
Considerando el ejemplo de la embotelladora, la distribución de muestreo del peso promedio de las botellas puede transformarse a un valor Z, obteniendo los siguientes resultados:

6 Valores Críticos y Zonas de Rechazo

7 Valores Críticos y Zonas de Rechazo
Estos valores de Z de ± 1.96 son valores críticos que determinan las zonas de rechazo. Para hallarlos, se divide por 2 el 95%. En la tabla Z, el área de 0.95/2=0.475 indica un valor de Z de El 5% restante está distribuido entre las dos colas, con 2.5% en cada zona de rechazo. Este 5% es el nivel de significancia, o el valor alfa de la prueba. En la figura anterior, si la hipótesis es correcta y μ = 16, es poco probable (sólo un 5% de oportunidad) que una muestra aleatoria produzca un valor Z que caiga en cualquiera de las zonas de rechazo.

8 Regla de Decisión Los valores críticos de Z de ± 1.96 permiten establecer una regla de decisión que diga si se rechaza la hipótesis nula o no. La regla de decisión es: Regla de decisión: “No se rechaza la hipótesis nula si los valores de Z están entre ± Se rechaza si el valor de Z es menor que o mayor que 1.96”. Si la hipótesis nula es verdadera, no es probable que pueda resultar un valor de Z mayor que 1.96 o menor que Sólo el 5% de todas las muestras podrían producir un valor de Z que caiga en las zonas de rechazo. Por tanto, si dicho valor Z ocurre, no es probable que μ=16 y debería rechazarse H₀

9 Nivel de significancia y la probabilidad de error
Al probar una hipótesis se pueden cometer dos tipos de errores, el error de tipo I y el error de tipo II. Un error de tipo I es rechazar una hipótesis nula que es verdadera. En el ejemplo, si la hipótesis del embotellador es verdadera y μ = 16, todavía hay un 5% de probabilidad de que una media muestral pueda caer en cualquier zona de rechazo. Este 5% es el nivel de significancia, o el valor alfa y representa la probabilidad de cometer el error de tipo I.

10 Nivel de significancia y la probabilidad de error
Un error de tipo II es no rechazar una hipótesis nula que es falsa. Si la hipótesis nula H₀ : μ = 16 no es correcta, pero la prueba falla en detectarlo, se comete un error tipo II. Mientras que la probabilidad de un error de tipo I es igual al valor alfa seleccionado, la probabilidad de cometer un error de tipo II, representado con la letra griega β, no se determina fácilmente. No se puede asumir que α + β = 1.

11 Prueba de dos colas Una prueba de cualquier hipótesis estadística, donde la alternativa es bilateral como: Se denomina prueba de dos colas, pues la región critica se divide en dos partes, que a menudo tienen probabilidades iguales que se colocan en cada cola de la distribución de la estadística de prueba. La hipótesis alternativa θ≠θ₀ estable que θ<θ₀ o θ>θ₀.

12 Pruebas de dos colas Ej.: La gerencia de First Bank of América está planeando basar los cargos para las cuentas corrientes en el saldo promedio diario. El gerente de cuentas preferenciales desea probar la hipótesis de que las cuentas tienen un promedio de US$312. Se selecciona una muestra de 200 cuentas, dando una media de US$298.1 y una desviación estándar de US$97.3. Para minimizar la probabilidad de error de tipo I, se selecciona un valor alfa del 1%. Las hipótesis nula y alternativa son:

13 Pruebas de dos colas El valor de Z es:
Como lo muestra la figura, un α=0.01 requiere valores críticos de Z de ± El 0.01 esta dividido de manera homogénea en dos zonas de rechazo:

14 Pruebas de dos colas Por lo tanto la regla de decisión: No rechazar H₀ si -2.58≤ Z ≤ Rechazar H₀ si Z < o Z > 2.58. Si la hipótesis nula es verdadera, existe sólo un 1% de probabilidad de que una muestra pueda resultar en un valor Z menor que o mayor que Por lo tanto, si Z cae en cualquiera de las dos colas, no es probable que μ=312, y la hipótesis nula debería rechazarse. El valor de Z=-2.02 está en la zona de no rechazo. Interpretación: La diferencia entre el valor de la media poblacional bajo la hipótesis nula de US$312 y el valor de la media muestral de US$298.1 es estadísticamente insignificante. Podría resultar simplemente de un error de muestreo. Se podría decir que en promedio las cuentas tienen un saldo promedio de US$312.

15 Pruebas de una sola cola
Una prueba de cualquier hipótesis estadística, donde la alternativa es unilateral, como: Se denomina prueba de cola izquierda o cola derecha. Por lo general, la región critica para la hipótesis alternativa θ>θ₀ yace en la cola derecha de la distribución de la estadística de prueba, mientras que la región critica para la hipótesis alternativa θ<θ₀ yace por completo en la cola izquierda.

16 Pruebas de una sola cola
Ejercicio: En una reunión informativa para una oficina corporativa, el gerente de un destacado hotel, reportó que el número promedio de habitaciones reservadas por noche es de por lo menos 212. Uno de los funcionarios corporativos considera que esta cifra puede estar algo sobreestimada. Una muestra de 150 noches produce una media de habitaciones y una desviación estándar de 45.5 habitaciones. Si estos resultados sugieren que el gerente a “inflado” su reporte, tendrá una amonestación. A un nivel del 1% ¿Será cierto el reporte del gerente?