Derivadas. Tasa de variación media Derivada de una función en un punto

Presentación del tema: "Derivadas. Tasa de variación media Derivada de una función en un punto"— Transcripción de la presentación:

1 Derivadas. Tasa de variación media Derivada de una función en un punto
Derivabilidad y continuidad La recta tangente y normal Función derivada Cálculo de derivadas Reglas de derivación Regla de la cadena Derivación implícita Derivadas de funciones logarítmicas Derivadas de funciones exponenciales Derivadas de funciones trigonométricas Derivadas de funciones trigonométricas inversas La derivada como razón de cambio La integral indefinida: cálculo de primitivas

2 Tasa de variación media.
Dada la función f en [a,b], se llama tasa de variación media de f en [a,b] Ejemplo.- Un automóvil se mueve según la función e(t) = 2.t 2; donde t es el tiempo en segundos y e(t) el espacio que recorre dicho móvil en línea recta en metros. Calcular la velocidad media (tasa de variación) durante los 10 primeros segundos Hay que observar que la tasa media de f en [a,b], es la pendiente de la recta secante a f(x) en los puntos (a,f(a)) y (b,f(b))

3 Derivada de una función en un punto.
Dada una función f definida en [a,b], se llama derivada de f en el punto a, a: Cuando existe, decimos que la función f es derivable en x = a. Ejemplo.- Un automóvil se mueve según la función e(t) = 2.t 2; t es el tiempo en segundos y e(t) el espacio en metros. Calcular la velocidad instantánea (t’(a)) en el segundo 5 Hay que observar que f’(a) (si existe) es la pendiente de la recta tangente a f(x) en el el punto (a,f(a))

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5 Derivadas laterales Denominamos derivadas laterales (izquierda y derecha) de f en x = a a los límites: La función f es derivable en x = a si y solo si f ’(a-) = f ’(a+): Ejemplo.- Existe la derivada de f en x = 1, siendo f la función Teniendo en cuenta que Se deduce que f no es derivable en x = 1

6 Derivabilidad y continuidad
Si f es derivable en x = a, entonces f es continua en x = a. Hay que observar que: Si f es continua en x = a, no tiene por que ser derivable en x = a. Si f no es continua en x = a, f no es derivable en x = a Ejemplo.- Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función valor absoluto. f es continua ya que Sin embargo no es derivable en x = 0, ya que

7 Funciones derivables Si f es derivable en todo número real, decimos que f es derivable. Hay que observar que: Las funciones polinómicas son derivables, al igual que la función sen o cos, o también las funciones exponenciales. Sin embargo no lo son por ejemplo la función tan que tiene discontinuidades de salto infinito, y en esos puntos ni es continua ni derivable

8 La recta tangente y normal
Teniendo en cuenta que f ’(a) (si existe) es la PENDIENTE de la RECTA TANGENTE rtg a la función f, en el punto (a,f(a)), dicha recta será Y teniendo en cuenta que (-f ’(a))– 1 (si existe) es la PENDIENTE de la RECTA NORMAL (recta perpendicular a la recta tangente a f) en el punto (a,f(a)) ) rnor a la función f, en el punto (a,f(a)), dicha recta será

9 La recta tangente y normal
Ejemplo.- Calcular la recta tangente r y normal s a f(x) = x2 en x = 1

10 Función derivada Dada una función f, llamamos función derivada de f a la que se obtiene mediante el límite Dada una función f, llamamos función derivada segunda de f a la que se obtiene mediante el límite La derivada de la segunda derivada se denomina derivada tercera (f’’’(x)), y así sucesivamente

11 Función derivada Ejemplo.- Si un objeto se según la ecuación de espacio e(t) = 2.t2 + 5.t + 1 metros (t en segundos), calcular su velocidad y su aceleración instantánea

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13 Cálculo de derivadas Derivada de la función constante f(x) = k
Ejemplo.- La derivada de la función f(x) = , será f ’(x) =0 Derivada de la función identidad f(x) = x Ejemplo.- La derivada de la función potencia f(x) = x, será f ‘(x) = 1

14 Cálculo de derivadas Derivada de la función potencia f(x) = xn, con n un número natural En general, también se cumple para n un número racional Ejemplo.- La derivada de la función f(x) = x-3, es f ’(x) = (-3) . x-4

15 Cálculo de derivadas Derivada de la raíz cuadrada f(x) = x

16 Cálculo de derivadas Derivada de la función de proporcionalidad inversa f(x) = 1/x

17 Reglas de derivación Si y = k.f(x)
Ejemplo.- Si y = 3.x2, será y ‘ (x) = 3.(2.x) = 6.x

18 Reglas de derivación Si y = f(x)  g(x)
Ejemplo.- Si y = x2 + x, será y ‘ (x) = 2.x + 1

19 Reglas de derivación Si y = f(x) . g(x)
Ejemplo.- Si y = (3x2).(x). Será y ‘ (x) = (6x). (x) + (3x2).[1/(2x)] = (15x2) / (2x)

20 Reglas de derivación Si y = f(x) / g(x)
Ejemplo.- Si y = (x+1) / (x2). Será y ‘ (x) = [1.(x2) – (x+1).(2x)] / x4 = - (x+2) / x3

21 La regla de la cadena Si y = ( f º g ) (x) = f(g(x)), se cumple:
Ejemplo.- Si y = (x2+1), denominando f(g) = g y g(x) = x2+1, será:

22 Derivación implícita Si en vez de venir una curva mediante su función o expresión explícita, viene expresada mediante su ecuación implícita (ecuación algebraica de variables x e y, con y = y(x)). Entonces, se deriva dicha expresión, teniendo en cuenta las reglas de aplicación a las derivadas, y despejando y ‘ Ejemplo.- Calcular la recta tangente a la circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio la unidad, que pasa por el punto (2/2, 2/2). Derivando la ecuación implícita de la circunferencia x2 + y2 = 1 Obtenemos 2.x + 2.y.y ‘ = 0. Es decir y ’ = - x/y Que en el punto (2/2, 2/2), y ‘ = -1, luego la ecuación de la recta será y – 2/2 = -1. (x-2/2) es decir x + y = 2.

23 Derivadas de las funciones logarítmicas
Si y = ln x Ejemplo.- Si y = ln (5x+9). Será

24 Derivadas de las funciones logarítmicas
Si y = loga x, como loga x = ln x / ln a, teniendo en cuenta las reglas de derivación será Ejemplo.- Si y = log3 (5x+9). Será

25 Derivadas de las funciones exponenciales
Si y = ex , tomando logaritmos neperianos será Si y = ax , como y = ex.ln a será

26 Derivadas de las funciones exponenciales
Si y = f(x)g(x) , como y = eg(x).ln f(x) será Ejemplo.- Si y = 72x. Será

27 Derivadas de las funciones trigonométricas
Si y = sen x, aplicando la definición de derivada será Si y = cos x, utilizando el teorema fundamental de trigonometría será

28 Derivadas de las funciones trigonométricas
Si y = tg x = sen x / cos x, utilizando las reglas de derivación será Ejemplo.- Si y = cos(ln x), será

29 Derivadas de las funciones trigonométricas inversas
Hay que tener en cuenta que como las funciones trigonométricas son periódicas, las funciones inversas, existirán solamente en un intervalo en el cual dicha función sea biyectiva Si y = Arco sen x, teniendo en cuenta que será sen y = x, será Si y = Arc cos x, razonando de forma análoga al resultado anterior será Si y = Arc tg x, será

30 Derivadas de las funciones trigonométricas inversas
Ejemplo.- Si y = Arc sen x, será

31 Derivada como razón de cambio
Dada una función f(x), si para cada x denominamos: df(x) = f ‘ (x) . dx (ó df = f ‘ (x) . dx) será: f ‘ (x) = df / dx Ejemplo.- Se está hinchando un globo esférico. Si su radio crece a razón de 1 centímetro por segundo, ¿Con que rapidez estará creciendo el volumen cuando el radio sea de 5 centímetros? Como el volumen viene dado por Tanto r como V son cantidades que varian con el tiempo, es decir, funciones de t, luego la variación del volumen, será Que para r = 5 cm y dr/dt = 1 cm/s., será Lo que indica que cuando el radio alcanza la longitud de 5 cm. El volumen aumenta a razón de 314 cm cúbicos por segundo, aproximadamente

32 La integral indefinida: cálculo de primitivas
Si F ‘ (x) = f(x), decimos que F(x) es una primitiva de la función f(x) y, para indicar la operación mediante la que se calcula esta primitiva, se escribe:  f(x).dx = F(x) + K; (siendo K una constante) Además, para cualquier función f y g, y cualquier número real, se cumplen estas dos reglas  ( f(x) + g(x)).dx =  f(x).dx +  g(x).dx  (c.f(x)).dx = c .  f(x).dx Ejemplo.- Calcular  ( 5 x4 + 1 )

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