Producto Cartesiano.

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1 Producto Cartesiano

2 Capítulo 4. Relaciones 4.1 Producto Cartesiano o Cruz Definición Dados los conjuntos A, B  U, el producto cartesiano o cruz de A, B se define por A  B y es igual a Se dice que los elementos de A  B son pares ordenados. Para (a, b), (c, d)  A  B, se tiene que (a, b) = (c, d) si y sólo si, a = c y b = d.

3 Capítulo 4. Relaciones 4.1 Producto Cartesiano o Cruz Si A, B son finitos, por la regla del producto resulta que A  B = Aunque, en general, no es cierto que A  B = B  A, se tendrá que Además aunque A, B  U, no es necesario que A  B  U, de modo que U no es necesariamente cerrado en esta operación.

4 Capítulo 4. Relaciones 4.1 Producto Cartesiano o Cruz EJEMPLO Sea U = {1, 2, 3, ... , 7}, A = {2, 3, 4}, B = {4, 5}. Entonces, a) A  B = {(2, 4), (2, 5), (3, 4),(3, 5),(4, 4), (4, 5)}. b) B  A = {(4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 2), (5, 3), (5, 4)}. c) B2=B  B = {(4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5)} d) B3=B  B  B = ; (4, 5, 5)B3.

5 Capítulo 4. Relaciones 4.1 Producto Cartesiano o Cruz EJEMPLO Si U =R, R  R = se conoce como el plano real de la geometría coordenada y del cálculo bidimensional. El subconjunto R+R+ es el interior del primer cuadrante de este plano. Así mismo, R3 representa el espacio euclidiano tridimensional donde las superficies tridimensionales, como esferas y planos, son subconjuntos importantes.

6 Capítulo 4. Relaciones 4.1 Producto Cartesiano o Cruz EJEMPLO Un experimento E se desarrolla de la siguiente forma: se lanza un solo dado y se anota el resultado; a continuación, se lanza una moneda al aire y se anota el resultado. Determínese un espacio muestral M para E. Denótese por E1 la primera parte del experimento E y sea M1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} un espacio muestral para E1. Así mismo sea M2={CA,CZ} un espacio muestral para E2, la segunda parte del experimento. Entonces, M = M1  M2 es un espacio muestral para E.

7 Capítulo 4. Relaciones 4.1 Producto Cartesiano o Cruz
Este espacio muestral se puede representar gráficamente con un diagrama de árbol.

8 Capítulo 4. Relaciones 4.1 Producto Cartesiano o Cruz
EJEMPLO En el torneo de tenis de Wimbledon, las mujeres juegan a lo sumo 3 sets en un partido. Triunfa quien gane primero 2 sets. Si N y E representan a las 2 jugadoras, el diagrama de árbol refleja las 6 maneras en que puede ganarse el encuentro.

9 Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones Definición 3.2 Dados los conjuntos A, B  U, cualquier subconjunto de A  B se denomina relación de A a B. A cualquier subconjunto de A  A se denomina relación binaria.

10 Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones EJEMPLO Sea U = {1, 2, 3, ... , 7}, A = {2, 3, 4}, B = {4, 5}. las siguientes son relaciones de A a B. a)  b) {(2,4)} c) {(2, 4), (2, 5)} d) {(2, 4), (3, 4), (4, 4)} e) {(2, 4), (3, 4), (4, 5)} f) A  B. Como = 6, por la definición se deduce que hay 26 relaciones posibles de A a B.

11 Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones En general, para conjuntos finitos A, B donde = m y = n, hay 2mn relaciones de A a B, incluyendo la relación vacía y la propia relación A  B.

12 Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones EJEMPLO Sea B = {1, 2}  N, U = P(B) y A = U ={, {1}, {2}, {1, 2}}. El siguiente es un ejemplo de relación binaria en A: R = {(, ), (, {1}), (, {2}), (, {1, 2}), ({1}, {1}), ({1},{1,2}), ({2}, {2}), ({2}, {1,2}), ({1,2}, {1,2})}. Se puede decir que la relación R es una relación de subconjunto donde (C, D) R si y sólo si C, D  B y C  D.

13 Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones EJEMPLO Si A = U =Z+, se define una relación binaria R en el conjunto A como Se trata de la conocida relación “es menor o igual que” para el conjunto de los enteros positivos, Se observa que (7,7),(7,11)R, y (8,2)R, (7,11)R también se puede denotar como 7R 11; (8,2)R se transforma en 8R 2 son ejemplos de notación infija en una relación.

14 EJEMPLO Cuando el compilador Pascal traduce un programa fuente del programa objeto a lenguaje de máquina, éste elabora una tabla de símbolos que contiene los siguientes conjuntos: 1.- S: el conjunto de nombres simbólicos, como variables, constantes y tipos. 2.- A: el conjunto de posibles atributos para los elementos de S, como entero, real, Booleano, carácter. 3.- L: el conjunto de posiciones, o direcciones de la memoria donde se almacenan los elementos de S. La información de la tabla proporciona relaciones de S a A y de S a L.

15 Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones Para cualquier conjunto A  U , A   = . (Si A    , sea (a, b)  A  . Entonces, a A y b  , lo cual es imposible). Así mismo   A = . El producto cartesiano y las operaciones binarias de unión e intersección están interrelacionados con el siguiente teorema.

16 Capítulo 4. Relaciones Teorema Para conjuntos arbitrarios A, B, C  U.
d)

17 Demostración Se demuestra el teorema a) y se deja el resto como ejercicio.
Para cualquier a, b U, (a, b)   a  A y b  a  A y b  B, b  C a  A, b  B, y a  A, b  C (a, b) A  B y (a, b)  A  C (a, b)  (A  B)  ( A  C).  = (A  B)  ( A  C)

18 Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones Definición Una relación R en un conjunto A se denomina reflexiva si para todo x A, (x, x)  R . Se dice que R es reflexiva si cada elemento x de A está relacionado consigo mismo EJEMPLO Para A = {1, 2, 3, 4}, una relación R  A  A será reflexiva si R {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}. Por tanto, R1={(1,1), (2,2), (3,3)} no es una relación reflexiva en A, mientras que R2= si es reflexiva en A.

19 Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones EJEMPLO Dado un conjunto finito A con =n, resulta que = n2, de modo que hay relaciones en A. Cuántas son reflexivas?.

20 Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones Si A ={a1, a2, ... ,an}, una relación R en A es reflexiva si  R . Al considerar los otros n2–n pares ordenados de A  A (los de la forma , 1  i, j  n, i  j) conforme se construye una relación reflexiva R en A, se incluye o excluye cada uno de estos pares ordenados, y por la regla del producto, hay relaciones reflexivas en A.

21 Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones Definición La relación R en un conjunto A se llama simétrica si (x, y)  R  (y, x)  R para x, y  A. EJEMPLO Con A = {1, 2, 3}, se tiene que: a)R1={(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)} es simétrica, no reflexiva; b)R 2={(1,1),(2,2),(3,3),(2,3)}es reflexiva, no simétrica; c)R3={(1,1),(2,2),(3,3)};R4={(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)} son reflexivas y simétricas.

22 Para contar las relaciones simétricas en A={a1,a2,
Para contar las relaciones simétricas en A={a1,a2, ... ,an}, se escribe AA como A1A2, donde A1= y A2= de modo que cada par en AA está exactamente en uno de los conjuntos A1,A2. Para A2, = – = n2–n=n(n–1), un entero par. El conjunto A2 contiene (1/2)(n2–n) subconjuntos de la forma {(ai,aj),(aj,ai)},1ijn. Al establecer una relación simétrica R en A, para cada par ordenado de A1, se dispone de la selección usual de exclusión o inclusión. Para los (1/2)( n2 – n) subconjuntos de pares ordenados en A2, se dispone de las mismas opciones. Por tanto, por la regla del producto, hay = relaciones simétricas en A. Al contar las relaciones en A que son reflexivas y simétricas, se tiene sólo una opción para cada par ordenado en A1. De modo que hay , relaciones en A que son reflexivas y simétricas.

23 Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones Definición Para un conjunto A, una relación R en A se llama transitiva si (x, y), (y, z)  R  (x, z)  R. (De modo que si x “está relacionado con” y e y “está relacionado con” z, se desea “relacionar” x con z, representando y el papel de “intermediario”.)

24 Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones EJEMPLO Defínase la relación R en el conjunto Z+ por a R b si a divide b, por ejemplo, para alguna c Z+, b = ca. Ahora si xRy e yRz, resulta xRz?. xRy  y = sx, sZ+; yRz  z= ty, tZ+. En consecuencia, z= ty = t(sx) = (ts)x, tsZ+, de modo que xRz y R es transitiva. Además R es reflexiva, pero no simétrica, puesto que 2R6, pero 6R2. EJEMPLO Si A ={1, 2, 3, 4}, entonces R1={(1,1), (2,3),(3,4),(2,4)} es una relación transitiva en A, mientras que R2={(1,3),(3,2)} no lo es, pues (1,2) R2.

25 Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones Definición Dada una relación R en un conjunto A, R se denomina antisimétrica si a R b, b R a  a = b. (En este caso, la única manera de tener a a “relacionado con” b y a b “relacionado con” a es que a y b sean uno y el mismo elemento de A).

26 Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones EJEMPLO Para un universo dado U defínase la relación R en P(U) por (A, B)R si A  B, para A, B  U; de modo que R es la relación de subconjunto y si A R B y B R A, entonces se tiene A  B, B  A, lo que equivale a A = B. En consecuencia, esta relación es antisimétrica, además de reflexiva y transitiva, pero no simétrica. Antes de cometer el error de pensar que “no simétrica” es sinónimo de “antisimétrica”, téngase en cuenta lo siguiente.

27 Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones EJEMPLO Para A ={1, 2, 3}, la relación R en A dada por R = {(1, 2), (2, 1), (2, 3)} no es simétrica porque (3, 2) R, y tampoco es antisimétrica, pues (1,2), (2,1) R pero 1  2. La relación R1={(1, 1), (2, 2)}es simétrica y antisimétrica. ¿Cuántas relaciones son antisimétricas en A? Al escribir ={(1,1),(2,2),(3,3)}  {(1,2),(2,1),(1,3), (3,1),(2,3),(3,2)}. Se hacen dos observaciones al intentar construir una relación R antisimétrica en A.

28 Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones Cualquier elemento (x, x)  puede incluirse o excluirse sin importar si R es o no antisimétrica. 2. Para un elemento de la forma (x, y), x  y, se deben tener en cuenta (x,y) e (y,x) y nótese que hay tres opciones para que R permanezca antisimétrica: a) situar (x, y) en R; b) situar (y, x) en R; c) no situar (x, y) ni (y, x) en R. (Qué sucede si se sitúan (x, y) e (y, x) en R?)

29 Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones De esta manera por la regla del producto, el número de relaciones antisimétricas en A es (23)(33) = (23)( ). Si = n  0, entonces hay relaciones antisimétricas en A.

30 Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones Definición La relación R en un conjunto A se denomina orden parcial o relación de orden parcial si R es reflexiva, antisimétrica y transitiva. EJEMPLO la relación de subconjunto es un orden parcial.

31 Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones Definición Una relación de equivalencia R en un conjunto A es una relación reflexiva, simétrica y transitiva. EJEMPLO Sea nZ+. Para x, y  Z, se define la relación R de módulo n por medio de x R y si y sólo si, x – y es un múltiplo de n. Con n = 7, se halla que 9 R 2, -3 R 11, (14,0)  R pero 3 R 7.

32 Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones Para cualquier conjunto A, es una relación de equivalencia en A, y si A = {a1, a2, ... , an}, la relación de equivalencia más pequeña en A es R = Si R es una relación en un conjunto A, entonces R es una relación de equivalencia y un orden parcial en A si y sólo si es la relación de igualdad en A.

33 Relaciones de Orden

34 Capítulo 4. Relaciones 4.3 Relaciones de Orden N +, * Z +, *,  Q +, *, , / R +, *, , / ,± C +, *, , / , 1+2, 2*3 x + 5 = 2 2x + 3 = 4 x2 – 2 = 0 x2 + 1 = 0 A medida que se aumenta desde N hasta C se adquiere mayor capacidad para resolver ecuaciones polinomiales, aunque al pasar de R a C se pierde algo.

35 Capítulo 4. Relaciones 4.3 Relaciones de Orden En R, dados los números r1, r2 con r1r2, siempre es posible decir si r1 r2 o r2 r1. No obstante en C, (2+i) (1+2i). Se ha perdido la capacidad de “ordenar” los elementos del sistema numérico.

36 Capítulo 4. Relaciones 4.3 Relaciones de Orden Sea A un conjunto y R una relación en A. El par (A, R) se llama conjunto parcialmente ordenado si la relación R en A es un orden parcial, o una relación de ordenamiento parcial. Si a A se le denomina conjunto parcialmente ordenado, se sobre entiende que hay un orden parcial R en A que convierte a A en este conjunto parcialmente ordenado.

37 Capítulo 4. Relaciones 4.3 Relaciones de Orden EJEMPLO Sea A el conjunto de cursos ofrecidos en una universidad. Defínase la relación R en A mediante x R y si x e y son el mismo curso o si x es un requisito previo para y. Entonces, R transforma a A en un conjunto parcialmente ordenado. EJEMPLO Defínase R en A = {1, 2, 3, 4} por x R y, si , es decir, x divide a y. Entonces, R ={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 4)} es un orden parcial y (A, R) es un conjunto parcialmente ordenado.

38 Capítulo 4. Relaciones 4.3 Relaciones de Orden EJEMPLO Para construir una casa hay ciertos trabajos, como excavar los cimientos, que deben realizarse antes de poder comenzar otras fases de la construcción . Si A es un conjunto de tareas que deben realizarse para construir una casa o completar un proceso especial de fabricación, se puede definir una relación R en A por x R y si x e y denotan la misma tarea o si la tarea x debe realizarse antes de comenzar la y. De esta manera se asigna un orden a los elementos de A, convirtiéndolo en un conjunto parcialmente ordenado.

39 Capítulo 4. Relaciones 4.3 Relaciones de Orden EJEMPLO En el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, la relación R en A, definida por x R y si x  y, es un orden parcial, que transforma a A en un conjunto parcialmente ordenado que se puede denotar por (A, ). Si B = {1, 2, 4}  A, el conjunto ={(1, 1), (2, 2), (4, 4), (1, 2), (1, 4), (2, 4)} es un orden parcial en B.

40 Capítulo 4. Relaciones 4.3 Relaciones de Orden En general si R es un orden parcial en A, entonces para cualquier subconjunto B de A, convierte a B en un conjunto parcialmente ordenado, donde el orden parcial de B se induce de R. Definición Si (A, R) es un conjunto parcialmente ordenado, se dice que A está totalmente ordenado si para toda x, y A se cumple x R y o y R x. En este caso R se denomina orden total.

41 Capítulo 4. Relaciones 4.3 Relaciones de Orden EJEMPLO En el conjunto N, la relación R definida por x R y si x  y es un orden total. La relación de subconjunto aplicada a A = P(U), U = {1, 2, 3} es un orden parcial, pero no total: {1, 2}, {1, 3}A, pero ni {1, 2}  {1, 3} ni {1, 3}  {1, 2}.

42 Capítulo 4. Relaciones 4.3 Relaciones de Orden Definición Si (A, R) es un conjunto parcialmente ordenado, un elemento x  A se llama maximal de A si para toda a  A, a  x  x R a . Un elemento y  A se denomina minimal de A si cuando b  A y b  y, entonces b R y.

43 Capítulo 4. Relaciones EJEMPLO Sea U = {1, 2, 3} y A = P(U).
4.3 Relaciones de Orden EJEMPLO Sea U = {1, 2, 3} y A = P(U). Sea R la relación de subconjunto en A. Entonces U es maximal, mientras que  es minimal para este conjunto parcialmente ordenado. Para B, la colección de subconjuntos propios de {1, 2, 3}, sea R la relación de subconjunto en B . En el conjunto parcialmente ordenado (B, ), {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} son elementos maximales, mientras que  es el único elemento minimal.

44 Capítulo 4. Relaciones 4.3 Relaciones de Orden EJEMPLO Con la relación R “es menor o igual que” en el conjunto Z, (Z, ) es un conjunto parcialmente ordenado sin elemento maximal ni minimal. No obstante el conjunto parcialmente ordenado sin elemento maximal ni minimal. No obstante, el conjunto parcialmente ordenado (N, ) tiene elemento minimal 0, pero no maximal.

45 Capítulo 4. Relaciones 4.3 Relaciones de Orden Teorema Si (A, R) es un conjunto parcialmente ordenado y A finito, entonces A tiene elementos maximal y minimal. Demostración Sea a1A. Si no hay elemento a  A, a  a1 con a1 R a , entonces a1 es maximal. De no ser así, hay un elemento a2  A , a2  a1, con a1 R a2.

46 Capítulo 4. Relaciones 4.3 Relaciones de Orden Si ningún elemento a  A, a  a2 , cumple a2 R a, entonces a2 es maximal. De lo contrario se puede encontrar a3  A, a3  a2 , a3  a1 (¿por qué?) con a1 R a2 y a2 R a3. Siguiendo así, como A es finito, se alcanza un elemento an  A con an R a para cualquier a  an  A, de modo que an es maximal.

47 Capítulo 4. Relaciones 4.3 Relaciones de Orden Definición Si (A, R) es un conjunto parcialmente ordenado, un elemento x  A se denomina elemento mínimo si x R a, para todo a  A. El elemento y  A se denomina máximo si a R y para toda a  A.

48 Capítulo 4. Relaciones 4.3 Relaciones de Orden EJEMPLO Sean U = {1, 2, 3} y R la relación de subconjunto. a) Con A = P(U), (A, ) tiene a  como elemento mínimo y a U como máximo. b) Para B = la colección de subconjuntos no vacíos de U, (B, ) tiene a U como elemento máximo. No existe elemento mínimo, pero si tres elementos minimales.

49 Capítulo 4. Relaciones 4.3 Relaciones de Orden Para un conjunto parcialmente ordenado (A, R), es posible tener varios elementos maximales y minimales. ¿Qué sucede con los elementos mínimo y máximo?

50 Capítulo 4. Relaciones 4.3 Relaciones de Orden Teorema Si el conjunto parcialmente ordenado (A, R) tiene algún elemento máximo (mínimo), ese elemento es único. Demostración Supóngase que x, y A y que ambos son elementos máximos. Como x es un elemento máximo, y R x. Así mismo, x R y, pues y es un elemento máximo. Como R es antisimétrico, x = y.

51 Capítulo 4. Relaciones 4.3 Relaciones de Orden Definición Sea (A, R) un conjunto parcialmente ordenado con B  A. Un elemento x  A se llama cota inferior de B si x R b para toda bB. Si y  A y b R y, para toda b  B, y se denomina cota superior de B.

52 Capítulo 4. Relaciones 4.3 Relaciones de Orden Un elemento x´A se llama máxima cota inferior (mci) de B si es una cota inferior de B y si para el resto de las cotas inferiores x´´ de B, x´´ R x´. De manera análoga, y´  A es una mínima cota superior (mcs) de B si es una cota superior de B y para el resto de las cotas superiores y´´ de B, y´ R y´´.

53 Capítulo 4. Relaciones 4.3 Relaciones de Orden EJEMPLO Sea R la relación “es menor o igual que” para el conjunto parcialmente ordenado en el siguiente caso: Si A = R, y B = [0, 1], entonces B tiene mci 0 y mcs 1. Obsérvese que 0, 1  B. Para C = (0, 1], C tiene mci 0 y mcs 1, y 1  C, pero 0  C.

54 Capítulo 4. Relaciones 4.3 Relaciones de Orden Teorema Si (A, R) es un conjunto parcialmente ordenado y B  A, si B tiene mcs (mci), ésta es única. Demostración. Se deja como ejercicio.

55 Capítulo 4. Relaciones 4.3 Relaciones de Orden Definición El conjunto parcialmente ordenado (A, R) se denomina red si para cualquier x, y  A, existen la mcs{x, y} y la mci{x, y} . EJEMPLO. Para A=N, y x,y N, defínase xRy por x  y. Entonces mcs{x, y}= max{x, y}, mci{x, y}=min{x, y} y (N, ) es una red.

56 Relaciones de Equivalencia

57 Capítulo 4. Relaciones 4.4 Relaciones de Equivalencia Recordemos que R en un conjunto A es una relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva.

58 Capítulo 4. Relaciones 4.4 Relaciones de Equivalencia Si se considera la relación R en Z definida por x R y, si x – y es un múltiplo de 2, entonces R es una relación de equivalencia en Z, donde todos los enteros pares e impares están relacionados. Por ejemplo, aquí no se tiene 4 = 8, pero si 4 R 8, pues ya no interesa el tamaño de un número, sino sólo dos propiedades: paridad e imparidad. Esta relación descompone Z en dos subconjuntos formados por los enteros pares e impares: Z = {... , -3, -1, 1, 3, ...}  {... , -4, -2, 2, 4, ...}. Esta descomposición de Z es un ejemplo de partición, concepto íntimamente ligado a la relación de equivalencia.

59 Capítulo 4. Relaciones 4.4 Relaciones de Equivalencia Definición Dados un conjunto A y un conjunto de índices, I, sea Ai A, para cada iI. Entonces es una partición de A si a) b) , para i, j  I, i  j. Cada conjunto Ai se llama celda o bloque de la partición.

60 Capítulo 4. Relaciones 4.4 Relaciones de Equivalencia EJEMPLO Si A = {1, 2, 3, ..., 10}, entonces los siguientes conjuntos son particiones de A: a) A1 = {1, 2, 3, 4, 5}, A2 ={6, 7, 8, 9, 10}; b) A1 = {1, 3, 5, 7, 9}, A2={2, 4, 6, 8, 10}; c) A1 = {1, 2, 3}, A2 ={4, 6, 7, 9}, A3 = {5, 8, 10}; d) Ai = {i, i+5}, 1  i  5.

61 Capítulo 4. Relaciones 4.4 Relaciones de Equivalencia EJEMPLO Sea A=R y para cada iZ, sea Ai=[i, i+1). Entonces constituye una partición de R. Definición Sea R una relación de equivalencia en un conjunto A. Para cualquier x  A, la clase de equivalencia de x, denotada por [x], se define mediante

62 Capítulo 4. Relaciones 4.4 Relaciones de Equivalencia EJEMPLO Defínase la relación R en Z, por xRy, si 4 divide a (x–y). Para esta relación se encuentra que [0] = {..., -8, -4, 0, 4, 8, 12, ...} = {4k  kZ} [1] = {..., -7, -3, 1, 5, 9, 13, ...} = {4k + 1  kZ } [2] = {..., -6, -2, 2, 6, 10, 14, ...} = {4k + 2 kZ } [3] = {..., -5, -1, 3, 7, 11, 15, ...} = {4k + 3 kZ } {[0], [1], [2], [3]} proporciona una partición de Z.

63 Teorema Si R es una relación de equivalencia en un conjunto A y x, y A, entonces: a) x [x]; b) x R y si y sólo si [x] = [y] y c) [x] = [y] o [x]  [y] = . Demostración a) Este resultado se obtiene de la propiedad reflexiva de R b) Si x R y , sea w [x]. Entonces, w R x; además como R es transitiva, w R y. Por tanto, w  [y] y [x]  [y]. Con R simétrica, x R y  y R x. De este modo, si t [y], entonces t R y y por la propiedad transitiva, t R x. De ahí que t  [x] e [y] [x]. Por tanto [x] = [y]. A la inversa sea [x] = [y]. Como por el apartado a) x  [x], entonces x  [y] o x R y. c) Esta propiedad plantea que las clases de equivalencia sólo se pueden relacionar de dos maneras: son idénticas o disjuntas.

64 Capítulo 4. Relaciones 4.4 Relaciones de Equivalencia c) Continuación... Se supone que [x]  [y] y se muestra cómo entonces resulta que [x]  [y] = . Si [x]  [y]  , entonces sea v  A con v  [x] y v  [y]. Por tanto, v R x, v R y  x R y. Además por el apartado b), x R y  [x] = [y]. Esto contradice la hipótesis de que [x]  [y], por tanto se rechaza la hipótesis de que [x]  [y]  , y de ahí se obtiene el resultado.

65 Capítulo 4. Relaciones 4.4 Relaciones de Equivalencia Obsérvese que si R es una relación de equivalencia en A, entonces, de acuerdo con a) y c) del teorema anterior, las distintas clases de equivalencia determinadas por R constituyen una partición de A. EJEMPLO Si A ={1, 2, 3, 4, 5} y R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5)}, entonces R es una relación de equivalencia en A, [1] = {1}, [2] = {2,3}=[3], [4]={4,5}=[5] y A = [1]  [2]  [4].

66 Capítulo 4. Relaciones 4.4 Relaciones de Equivalencia EJEMPLO 3.31 En FORTRAN ANSI hay una instrucción llamada instrucción EQUIVALENCE, que permite a dos o más variables de un programa dado referirse al mismo lugar en la memoria. Por ejemplo EQUIVALENCE (A, C, P), (ARRIBA, ABAJO). Informa al compilador que las variables A, C, P compartirán un lugar en la memoria y que ARRIBA y ABAJO compartirá otro. Aquí el conjunto de todas las variables del programa se descompone por la relación de equivalencia R, donde V1 R V2 si V1 y V2 son variables de programa que comparten una misma localidad de la memoria.

67 EJEMPLO Después de ver ejemplos de cómo una relación de equivalencia origina una partición de un conjunto, se volverá a ello. Si una relación de equivalencia R en A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} causa la partición A = {1, 2}  {3}  {4, 5, 7}  {6}, ¿Cuál es el valor de R? Considérese el subconjunto {1, 2} de la partición. Este subconjunto implica que [1] = {1, 2} = [2], y así (1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1)  R. (Los primeros dos pares ordenados son necesarios para la propiedad reflexiva de R, en tanto que los otros preservan la simetría). De manera análoga, el subconjunto {4, 5, 7} implica que bajo R, [4] = [5] = [7] = {4, 5, 7} y que, como relación de equivalencia, R debe contener {4, 5, 7}  {4, 5, 7}. De hecho R = ({1, 2}  {1, 2})  ({3}  {3})  ({4, 5, 7}  {4, 5, 7})  ({6}  {6}), y |R| = = 15.

68 Capítulo 4. Relaciones 4.4 Relaciones de Equivalencia
Teorema Si A es un conjunto, entonces: a) Cualquier relación de equivalencia R en A origina una partición de A. b) Cualquier partición de A origina una relación de equivalencia R en A.

69 Capítulo 4. Relaciones 4.4 Relaciones de Equivalencia Demostración:
El apartado a) resulta de los apartados a) y c) del teorema anterior. Para el apartado b), dada una partición de A, defínase la relación R en A por x R y, si x, y están en la misma celda de la partición. Se deja como ejercicio la comprobación de que R es una relación de equivalencia.