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Publicada porAna Belén Benítez Ferreyra Modificado hace 9 años
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Secciones Cónicas Shirley Bromberg Raquel Valdés Versión Preliminar
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Secciones Cónicas El tema de las secciones cónicas no pertenece a la geometría elemental. El tratamiento más antiguo que ha llegado hasta nosotros es el que aparece en las Cónicas escrito por Apolonio de Perga, en el siglo II a.C.
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Secciones Cónicas Una SECCION CONICA es la curva que se traza
sobre un cono, al ser intersectado por un plano.
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Dentro de la Geometría Analítica, las cónicas están
dadas por ecuaciones, que corresponden a la traducción analítica de un lugar geométrico descrito sintéticamente. Dada una recta D (directriz) y un punto F (foco) que no está en D, una cónica es el lugar geométrico de todos los puntos P tales que su distancia al foco entre su distancia a la directriz es constante. Esta constante se llama excentricidad.
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Dada la directriz y el foco , la relación
define la cónica de excentricidad La recta , perpendicular a la directriz y que pasa por el foco es eje de simetría
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Cuando es decir, la distancia al foco es justamente igual a la
distancia la directriz, la cónica se llama parábola.
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PARABOLAS En la figura de la izquierda se trazaron parábolas con
foco en el origen y directrices x = 1 x = 2 x = 3 Notemos que, a medida que la directriz se aleja del foco, la parábola se “abre”
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Ecuación de una parábola con foco y directriz
Como PF = PQ, Por lo tanto, Simplificamos,
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Dada la directriz y el foco F
y la relación con e < 1, describe la cónica que se llama elipse, pues la distancia al foco se queda corta con respecto a la distancia a la directriz.
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Ecuación de una elipse con foco F(0,0) , excentricidad e = 1/2 y directriz x = 1
Como 2PF = PQ, Por lo tanto, Simplificamos,
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ELIPSES En la figura de la izquierda se trazaron elipses con
excentricidad .6, foco en el origen y con directrices x = 1 x = 2 x = 3 x = 4 Notemos ahora que a medida que la directriz se aleja del foco la elipse se agranda sin cambiar de forma
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Dada la directriz y el foco F
y la relación cuando e > 1, es decir la distancia al foco excede la distancia a la directriz, la cónica se llama hipérbola.
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En la gráfica que está a la izquierda aparecen las cónicas con directriz con foco y con excentricidades
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Algunas consideraciones sobre cónicas con excentricidad distinta de 1.
Una cónica con e 1, tiene dos puntos sobre el eje de simetría. Para obtenerlos, debemos resolver el sistema de ecuaciones
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Algunas consideraciones sobre cónicas con excentricidad distinta de 1.
obtenemos es decir,
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Algunas consideraciones sobre cónicas con excentricidad distinta de 1.
Las expresiones: producen dos puntos si
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Algunas consideraciones sobre la elipse.
los puntos Cuando están del mismo lado de la directriz. El punto medio es un centro. La recta es un eje de simetría
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Algunas consideraciones sobre la elipse.
Obtenemos un nuevo foco y una nueva directriz: simétricos, respectivamente, de y de con respecto al eje de simetría
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Algunas consideraciones sobre la elipse.
Un punto P sobre la elipse satisface, por una parte y por la otra Por lo tanto:
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Algunas consideraciones sobre la elipse.
La relación es decir, da una definición alternativa de elipse:
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Algunas consideraciones sobre la elipse.
Una elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de las distancias a dos puntos dados, llamados focos, es constante.
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Algunas consideraciones sobre cónicas con excentricidad .
En este caso : están en lados opuestos de la directriz. Por simetría aparece otro foco y se obtiene, esta vez, que la diferencia de las distancias a los focos es constante.
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