Colegio Colombo Hebreo

Presentación del tema: "Colegio Colombo Hebreo"— Transcripción de la presentación:

1 Colegio Colombo Hebreo
S 1 2 3 FuNcIoNeS Por: Melissa Rascovsky, Melissa Sasson y Sergio Garrido Presentado a: Patricia Cáceres Colegio Colombo Hebreo Àrea De Matemàticas Dècimo grado Bogota d.c

2 Funciones crecientes, decrecientes y tasa de cambio
¿Qué es una función? Gráficas Funciones crecientes, decrecientes y tasa de cambio Transformaciones Elementos F(x)=3x+2 F(x)=5

3 Es el conjunto de elementos que tienen imagen.
¿Qué es una función? Una función es una regla que asigna a cada elemento x en un conjunto A exactamente un elemento llamado y, en un conjunto B. El símbolo f(x) es el valor de y en x. El conjunto A, es el conjunto de salida y es el dominio de la función. El conjunto B, es el conjunto de llegada o de variables dependientes. El rango de la función es el conjunto de valores que se relacionan con la variable x y toma Y. La variable independiente (x) es la que no varia dependiendo de la otra. La variable dependiente (y), pertenece al conjunto B que varia dependiendo de lo que varia x. Dominio Representación para hallar la intercepción con Y se debe reemplazar x con cero, y para hallar la intercepción con X, se debe reemplazar Y con cero. Es el conjunto de elementos que tienen imagen. Verbal Algebraica Visual Numérica

4 Elementos de una función
Conjunto de salida Conjunto de llegada dominio rango Función Inyectiva Función Sobreyectiva Función Biyectiva

5 Graficación de funciones definidas por partes Ecuaciones de funciones
Gráficas de funciones Graficación Graficación de funciones definidas por partes Ecuaciones de funciones f(x)= mx + b (función lineal) f(x)= b (función constante) varían las formulas dependiendo de la función, distintas en su dominio, dependiendo de la variable independiente,(x). Funciones lineales f(x) = mx + b Funciones exponenciales f(x) = x^n Funciones recíprocas f(x) = 1/x^n Función valor absoluto f(x) = IxI

6 Funciones crecientes y decrecientes, tasa de promedio
Tasa de cambio promedio Funciones decrecientes La tasa de cambio hace alusión a la pendiente, entre x=a y x=b, es decir: Se dice que es creciente cuando la grafica sube, asciende desde (-00, 00) en Y. Se dice que es decreciente Cuando la grafica baja, desciende de (00, -00) Es decir con respecto a Y. Tasa de cambio promedio = cambio en y / cambio en x

7 Transformaciones de funciones
Desplazamiento vertical Desplazamiento horizontal Desplazamiento(acortar, alargar) vertical Desplazamiento( alargar o acortar) horizontal Sumar una constante a la función vertical: se desplaza hacia arriba si la constante es positiva y hacia abajo si es negativa. y= f(x + c) desplaza la grafica c unidades a la izquierda y si se resta desplaza hacia la derecha. y= f (x - c) Para alargar verticalmente una grafica se multiplica por un numero c mayor que 1. Para acortar la grafica se multiplica por un numero a menor que uno pero positivo, entre 1 y 0. Para alargar una grafica se divide por un numero 1/a, a es mayor que 1. Para acortar la grafica se divide por un numero 1/a, cuando a es menor 1, pero positivo.

8 Conjunto de salida Es el conjunto de elementos que pertenecen al conjunto A y son las pre imágenes, cada elemento debe estar relacionado una vez con un elemento del conjunto de llegada B y posee una imagen. B A 1 2 3 4 5 A B C D E

9 Conjunto de llegada Es el conjunto de elementos del conjunto B, llamados imágenes, y si están relacionados con los elementos del conjunto A, son el conjunto de imágenes. B A 1 2 3 4 5 A B C D E

10 rango Es el conjunto de imágenes. 2 3 4 5 w V D S C d

11 dominio Es el conjunto de pre imágenes, el conjunto de elementos que del conjunto A están relacionados una vez con un solo elemento del conjunto B. B A 1 2 3 4 5 A B C D E

12 Función inyectiva No puede haber dos o mas elementos del dominio con la misma imagen. cuando f(x) = f(y), x = y. Ejemplo: f(x) = x+5 del conjunto de los números reales es una función Inyectiva A B C D 1 2 3 4 5

13 Función sobreyectiva si a todos y a cada uno de los elementos del rango les corresponde por lo menos un elementos del dominio. F(x)=B Ejemplo: la función f(x) = 6x del conjunto de los números naturales al de los números pares es Sobreyectiva. 1 2 3 4 5 D F G H i

14 Función biyectiva 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 Todos los elementos del conjunto A tienen una imagen distinta en el conjunto B (Inyectiva), cada elemento del conjunto B le corresponde un elemento del conjunto A (Sobreyectiva). Es Inyectiva y Sobreyectiva a la vez. Ejemplo: La función f(x) = 3x del conjunto de números reales es Inyectiva y Sobreyectiva. Por lo tanto es Biyectiva.

15 Funciones Polinómicas Constante Grado par Otras Grado impar Lineal
Afín Identidad Cuadrática Cúbica Trigonométrica Exponencial Racional Logarítmica Valor absoluto

16 Polinómicas Son aquellas funciones que surgen de evaluar los polinomios sobre las variables en las que están definidos. Dominio= Conjunto de Salida= IR Conjunto de llegada= IR donde es un polinomio en , , es decir, una suma finita de potencias de multiplicados por coeficientes reales.

17 Ejemplo:

18 Funciones de grado par Son funciones que como máximo grado de un término es un número par. Está dada por la ecuación: Conjunto de salida=Dominio=IR Conjunto de llegada=IR Rango = (-oo,máximo] o [máximo,oo) Punto de corte con y= igualando x a 0 Puntos de corte con x= igualando y a 0 Vértice= +-b/2a Conjunto de salida=Dominio=IR Conjunto de llegada =IR Rango=(-oo,máximo] o [máximo,oo) F(x) ≥0 en x IR positivos. F(x) ≤0 en x IR negativos Por lo general es la función cuadrática.

19 Funciones de grado impar
Son funciones en las cuales el máximo grado de un término es un número impar . Está dada por la ecuación: Conjunto de salida=Dominio=IR Conjunto de llegada=IR Rango =IR en la función constante el rango es la variable f(x)=a Función cúbica Punto de corte con y= igualando x a 0 Punto de corte con x= igualando y a 0 Conjunto de salida=Dominio=IR Conjunto de llegada =IR Rango= IR F(x) ≥0 en x IR positivos F(x) ≤ 0 en x IR negativos Se divide en función cúbica y lineal.

20 Lineal Un polinomio de primer grado de una variable real es una función matemática de la forma: F(x)= mx donde m y b son constantes. La función lineal , pasa por el punto (0,0) como origen a diferencia de la función lineal afín. Una función lineal de una única variable independiente x suele escribirse en la forma siguiente m es denominada la pendiente de la recta. b es la ordenada en el origen, el valor de y para x= 0, es el punto (0,b). Dominio= IR= conjunto de salida Rango= IR= conjunto de llegada Punto de corte con Y= 0 Punto de corte con X= 0

21 Ejemplo: Dominio= IR= conjunto de salida Rango= IR= conjunto de llegada Punto de corte con Y= 0 Punto de corte con X= 0 Y = 5x

22 Afín Una función lineal afín es aquella cuya expresión matemática viene dada por: Y= mx + n donde x e y son variables, m una constante que se denomina pendiente y n otra constante denominada ordenada en el origen. Su gráfica es una recta que corta al eje de ordenadas en n. La pendiente m de una recta mide la inclinación de la siguiente manera: Si M>0 la función es creciente. Si M=0 la función constante. Si M<0 la función es decreciente. La pendiente de una recta se puede hallar de la siguiente manera: para lo cual es necesario disponer de dos puntos de la recta y hallar las variaciones restando sus coordenadas x e  y   respectivamente.

23 Ejemplo: Dominio= IR= conjunto de salida Rango= IR= conjunto de llegada Punto de corte con y= 2 Punto de corte con x= -2/4 Y=4x+2

24 Identidad Una función identidad es una función matemática, de un conjunto M a sí mismo, que devuelve su propio argumento. f(x)=x / f(x)=y Dominio= IR= conjunto de salida Conjunto de Salida= IR= conjunto de llegada Punto de corte con X= 0 Punto de corte con y= 0

25 x 1 2 3 4 y Dominio= IR= conjunto de salida Conjunto de Salida= IR= conjunto de llegada Punto de corte con X= 0 Punto de corte con y= 0

26 Constante Se llama función Polinómicas de grado cero o función matemática constante a la que no depende de ninguna variable, se la representa de la forma: F(x)= a donde a es la constante. Dominio= IR= conjunto de salida Rango= {a} Conjunto de Llegada= IR Punto de corte con x= no hay Punto de corte con y= a Punto de corte con x no hay si a# de cero.

27 Ejemplo: Dominio= IR= conjunto de salida Rango= 5 Conjunto de Llegada= IR Punto de corte con x= no hay Punto de corte con y= 5 Y= 5

28 Función cuadrática Una función cuadrática, es una función polinómica de grado par, que tiene como máximo grado el numero 2. se define por la siguiente ecuación: Para hallar el mínimo y máximo relativos, se usa la ecuación: x= -b 2a Conjunto de salida: IR= dominio Conjunto de llegada= IR Rango= {(-oo,máximo] o [máximo,00)} Punto de corte con y= c Punto de corte con x= Conjunto de Salida= IR Conjunto de Llegada= IR Dominio= IR Rango= IR Punto de corte con y= C

29 Conjunto de Salida= IR Conjunto de Llegada= IR Dominio= IR Rango= {[0,oo)} Punto de corte con y= 2 Punto de corte con x= (x+2)(x+2)=0 x=-2 Eje de simetría: x=-2 Mínimo en x= -2 Función:

30 Función cúbica Es una función polinómica de grado impar, cuyo grado mayor en el termino de la ecuación es de 3. Se da por la siguiente ecuación: Conjunto de salida= IR=dominio Conjunto de llegada= IR= rango Punto de corte con y= d Punto de corte con x= factorización de la ecuación por medio del ( teorema del factor) Dominio= IR Rango= IR Conjunto de Llegada= IR Conjunto de Salida= IR Punto de corte con y= D

31 Función= Dominio= IR Rango= IR Conjunto de Llegada= IR Conjunto de Salida= IR Punto de corte con y= 2 Punto de corte con x= -5,2

32 Función de valor absoluto
La gráfica de la función del valor absoluto consiste en dos rayos que forman la letra V, con su punto inferior en el origen se define por la siguiente ecuación: f(x) = |x| Conjunto de salida: IR = dominio Conjunto de llegada= IR Rango= IR positivos{[0,oo)} Punto de corte con y= 0 Punto de corte con x= 0

33 Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, para un mejor análisis.
La función se debe igualar a cero, se excluye el valor absoluto y se calculan las raíces. F(x)= /x-3/ ej: (x-3)=0 x=3 2.Con las raíces se forman intervalos y se evalúa la variable dependiendo el signo del intervalo. F(x)={ -(x-3) si x<3} F(x)={x-3 si x> 3} 3. En los intervalos en los que x es negativa se le cambia el signo a la función.

34 Función: F(x)= /x-3/ Conjunto de salida=dominio= IR
Conjunto de llegada= rango= {`0,oo)} Punto de corte con y= 3 Punto de corte con x= 3 Debido a un desplazamiento horizontal. Función: F(x)= /x-3/

35 Función logarítmica La función logarítmica es aquella función que va de reales positivos en reales, ya que los números negativos y el cero no tiene logaritmo. propiedades Dominio=(o,oo)IR+=conjunto de salida Conjunto de llegada=rango=IR Punto de corte con x=1 Punto de corte con y= no hay Asíntota vertical= x=0

36 Clases de logaritmos: Cambio de base: Logaritmos Decimales:
Son los logaritmos que tienen por base el número 10. normalmente no se escribe la base. Logaritmos naturales: Se llaman logaritmos naturales a los logaritmos que tienen por base el número e. Cambio de base:

37 Desplazamientos: Si a la función logarítmica se le suma en un paréntesis una número este realiza un desplazamiento horizontal hacia la izquierda, mientras que si se le resta a la variable x dentro del paréntesis hará un desplazamiento horizontal hacia la derecha. Ej: Si a la función se le suma un número, se desplaza verticalmente hacia arriba y si se le resta a la función un numero esta se desplaza verticalmente hacia abajo. Ej: f(x)= log x+2

38 Conjunto de salida=D=[-3,00)
Conjunto de llegada=R=IR Punto de Corte con x=-2 Punto de corte Corte con y= 1,3 F(x)>0 x€(-2,00) F(x)<0 x €(-3,00) Asíntota en x= -4

39 Función exponencial la función exponencial, es la funcion real y=ax donde a pertenece a IR, Esta función tiene por dominio  el conjunto de los números reales,  f(x)=ax . Conjunto de salida=IR=dominio Conjunto de llegada= IR Rango= {[0,00)} Punto de corte con x= no hay en este caso Punto de corte con Y= 1 Decreciente si 0<a<1

40 Propiedades: Si se le suma a la función un número, este realiza un desplazamiento vertical hacia arriba, si se le resta un número a la función este se desplaza verticalmente hacia abajo. Solo cambia el rango. Ej: Dominio: IR Rango : IR positivos Es continua Los puntos (0, 1) y (1, a) son fijos. Creciente si a >1. Decreciente si a < 1. Si se le suma a la variable x un número este se desplaza horizontalmente hacia la izquierda, si se le resta un número este se desplaza hacia la derecha. Cambiaría el punto de corte con y. Ej :

41 Conjunto de salida=D=IR
Conjunto de LLegada=IR R={[3,00)} Punto de corte con x no hay Punto de corte con y= 4 F(x)>0 xE(IR) F(x)<0 no hay Asintota horizontal en y= 3

42 Función racional Y=P(X) Q(X)
La función racional es una función expresada de la forma: en que P(x) y Q(x) son polinomios con una variable desconocida. Es una fracción, Por este motivo están definidas y tienen su dominio en todos los números que no anulan el polinomio denominador, que no hacen que el denominador sea 0. Propiedades: 1.Tiene dominio que no incluya las raíces del polinómio Q(x).que sería una asíntota horizontal. 2. tienen una asíntota vertical y horizontal,

43 Propiedades: Raíces: estas se hallan factorizando dependiendo de la ecuación de la función, se iguala y a cero y con ello se hallan las raíces, tanto del denominador como la del nominador. Las raíces que hacen del denominador cero, se convierten en asíntotas verticales. F(x)= (x+2) (x−2) (2x+3) (x−1) Raíces numerador: x=2,x=-2 Denominador= x=-3/2,x=1(asíntotas)

44 Dominio: {IR - ( asíntotas)} Se puede definir como un numero x no igual a 1 o negativo 3.
D={x/x ∈ A IR ; x≠-3 ∧ x≠1} características: 1.El dominio está formado por los valores de R excepto los que anulan el denominador. 2. Para cada valor de x que anula el denominador tenemos una asíntota vertical: Q(a)=0 « x=a es una asíntota vertical de f(x). 3. Si x=a es una raíz simple de Q(x)=0, la asíntota x=a tienen sentidos distintos, una hacia +00 y la otra a  -00. 4. Si el grado de P(x) es una unidad mayor que el grado de Q(x) existe una asíntota oblicua. 5. Si P(x) y Q(x) tienen el mismo grado, hay una asíntota horizontal en y=m/n siendo m y n los coeficientes  respectivamente. 6. Si el grado de P(x) es menor que el de Q(x), hay una asíntota horizontal en y=0.

45 1) Para m < n,  la recta y = 0 (el eje x) es una asíntota horizontal.
2) Para m = n, la recta  y = am/bn, es una asíntota horizontal. 3) Para m > n,  no hay asíntotas horizontales.

46 Raices(puntos de corte con x
numerador: x=2,x=-2 Denominador= x=-3/2,x=1

47 Función a trozos Dominio= IR Conjunto de salida= IR
Cuando definimos una función con expresiones parciales y se especifica el dominio de cada una de ellas, estamos definiendo una función a trozos. También puede ser la combinación de una o más funciones. Más estas difieren en sus partes por el dominio. Por ejemplo: Se divide principalmente en dos: La función mantisa y la función signo. Dominio= IR Conjunto de salida= IR Rango 1= {[0, -00), Rango 2= {[0,1]}, rango 3={(1,00)} Conjunto de llegada= IR

48 Función mantisa es una función periódica de periodo 1, ya que f (x) = f (x + 1) = f (x + 2) = f (x + 3)... = f (x + n), que hace corresponder a cada número el mismo número menos su parte entera. dominio= (-∞, ∞) rango= [0, 1). Conjunto de salida=IR Conjunto de llegada = IR

49 Desplazamiento horizontal: y=x+1-E(X+1)
Se desplaza 1 unidad a la derecha. Desplazamiento vertical: F(x)=x+0.5-E(x) Dominio= IR Conjunto de salida= IR Rango= [0.5, 1.5] Conjunto de llegada= IR

50 Función signo Dominio= IR Rango= ´{-1,0,1} Conjunto de salida=IR
Conjunto de llegada=IR  es una función matemática que obtiene el signo de cualquier número real que se tome por entrada. Se representa generalmente mediante sgn(x).  *Como parte  de la función valor absoluto posee: dominio=IR-{0}  y Rango ={-1,1}. Propiedades: La función signo es una función impar Todo número real x puede expresarse como producto de su valor absoluto y la función signo evaluada en x.

51 Desplazamiento horizontal: F(x)=sgn(x+2)
Ejemplo: Desplazamiento horizontal: F(x)=sgn(x+2) Dominio= IR Conjunto de salida= IR Rango= {0, 1} Conjunto de llegada= IR F(x){2 si x>2 , -2 si x<2, 0 si x=2

52 Funciones trigonométricas
Generalidades, ¿qué son? seno tangente coseno secante cotangente cosecante

53 Características y generalidades
Las funciones trigonométricas, son relaciones angulares, con relación al triangulo. Dependen del circulo goniométrico: O de un circulo inscrito en el plano, con ángulo inscrito dentro del circulo. Es una circunferencia de radio uno, normalmente con su centro en el origen (0, 0). En el se da un triangulo rectángulo de catetos x y y, cuya hipotenusa tiene longitud 1. la ecuación:

54 Ecuaciones trigonométricas en el triangulo:
Identidades reciprocas y ecuaciones:

55 Características Dominio: Sen θ y cos θ= IR Tan θ y csc θ={2n + } 2
Sec y cot= IR menos n

56 Función seno Máximos en x= (π/2+2n π) Mínimos en x= (3π/2 +2n π)
La gráfica de la función seno consiste una línea curva que tiene una curvatura que se repite por determinado periodo se define por la siguiente ecuación: f(x) = sen x Conjunto de salida: IR = dominio Amplitud: 1 Conjunto de llegada= IR Periodo: 2 π Rango= {-1,1} Máximos en x= (π/2+2n π) Mínimos en x= (3π/2 +2n π) Punto de corte con y= 0 Punto de corte con x= {n π ··. n £Z }

57 DESPLAZAMIENTO Conjunto de salida=dominio= IR Conjunto de llegada=IR
Rango={-1,1} Puntos de corte con x= πn-(π) Punto de corte con y=0 Periodo=2π Amplitud=1

58 DESPLAZAMIENTO VERTICAL
Conjunto de salida=dominio= IR Conjunto de llegada=IR Rango={2,4} Puntos de corte con x no hay Punto de corte con y=3 Periodo=2π Amplitud=1

59 Ampliación del periodo
Si se multiplica por un número natural, el periodo se hace menor, si se multiplica por un número entero se hace mayor. Conjunto de salida=dominio= IR Conjunto de llegada=IR Rango={-1,1} Puntos de corte con x= π/2n Punto de corte con y=0 Periodo=π Amplitud=1

60 Función coseno Para la función coseno consta de las siguientes características: Dominio= IR punto de corte con x en x= Rango ={-1,1} Periodo= 2 π Máximos en x= Mínimos en = Amplitud=1 La gráfica de la función coseno consiste una línea curva que tiene una curvatura que se repite por determinado periodo se define por la siguiente ecuación:

61 Alteraciones de la función coseno
Desplazamiento vertical Cambio de amplitud Desplazamiento horizontal Cambio de periodo Desplazamiento vertical Donde b es un número IR. Dominio= IR Rango= (-4,-2) Periodo=2 Puntos de corte con x en x= Máximos en x = Mínimos= Amplitud= 1 En este caso la onda se desplaza hacia abajo, la cantidad “b”

62 Cambio de amplitud Cambio de periodo
En este caso, si a en mayor que uno, la amplitud aumenta, y si es menor, disminuye. Cambia el rango y la amplitud, en comparación con la función coseno original Ejemplo: Rango= (-2,2) Amplitud= 4 Solo cambio la amplitud y por ende el rango Cambio de periodo En este caso, si a> 1 hay un menor periodo, y si es menor que uno, hay un mayor periodo Ejemplo: Dominio= IR Rango= {-1,1} Periodo= 4 Puntos de corte con x= Amplitud= 1 Máximos en x = Mínimos=

63 Desplazamiento horizontal
En este caso, la onda se desplaza horizontalmente. Si b es positivo, se desplaza a la izquierda, si es negativo se desplaza a la derecha Cambian los puntos de corte con “x” y con “y”, no cambia el periodo, no cambia la amplitud, no cambia el rango, ni dominio, ni conjunto de salida ni llegada. Cambia la ubicación de los máximos y mínimos. Ejemplo: Dominio= IR Rango= (-1,1) Periodo=2 Puntos de corte con x en x= Amplitud= 2 1, es la distancia que se corrió hacia la izquierda Es en la onda no modificada

64 coseno

65 Función tangente La gráfica de la función tangente consiste una serie de líneas curvas en sentido horizontal que tiene una curvatura que se repite por determinado periodo se define por la siguiente ecuación: f(x) = tan x Conjunto de salida: IR - [(2k+1).pi/2, k e Z] = dominio{n π ··. n £Z } Conjunto de llegada= IR Periodo: π rad Rango= IR Punto de corte con y= 0 Punto de corte con x= {n .·. π, n £Z }

66 tangente

67 Función cotangente La gráfica de la función cotangente consiste una serie de líneas curvas en sentido horizontal que tiene una curvatura que se repite por determinado periodo se define por la siguiente ecuación: f(x) = ctg x Conjunto de salida: {IR - [(2n+1). π /2 .·. n E Z]} = dominio Conjunto de llegada= IR Periodo: π rad Rango= IR Punto de corte con y= 0 Punto de corte con x = {π/2+n}

68 cotangente

69 Función secante La gráfica de la función secante consiste una serie de parábolas en sentido vertical que se repite por determinado periodo se define por la siguiente ecuación: f(x) = sec x Conjunto de salida: {IR - [(2n+1). π /2.·. n E Z]} = dominio Conjunto de llegada= IR Periodo: 2 π rad Rango= (− ∞, −1] U [1, ∞) Punto de corte con y= 1 Punto de corte con x= no hay Asíntotas en x= π/2(2n-1) Máximos=(2 πn,-1) Mínimos= (π(2n+1),-1)

70

71 DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL
Conjunto de salida=dominio= IR Conjunto de llegada=IR Rango={IR-[-1,1]} Puntos de corte con x no tiene Punto de corte con y no tiene Periodo=2π

72 DESPLAZAMIENTO VERTICAL
Conjunto de salida=dominio= IR Conjunto de llegada=IR Rango={IR-[1,3]} Asíntotas en x=π/2(2n-1) Punto de corte con y=3 Periodo=2π

73 AMPLIACIÓN Conjunto de salida=dominio= IR Conjunto de llegada=IR
Rango={IR-[-3,3]} Puntos de corte con x no hay Punto de corte con y=3 Periodo=2π Amplitud=3

74 DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL
Conjunto de salida=dominio= IR Conjunto de llegada=IR Rango={IR-[-1,1]} Puntos de corte con x no hay Punto de corte con y no hay Periodo=2π

75 Función cosecante La función cosecante consiste en la razón trigonométrica recíproca del seno, o también su inverso multiplicativo: f(x) = csc x Conjunto de salida: {IR - [n. π.·.n E Z]} = dominio Conjunto de llegada= IR Periodo: 2 π rad Rango={ (− ∞, −1] U [1, ∞)} Punto de corte con y= no hay Punto de corte con x= no hay Asíntotas en x=n π Máximos=(3 π/2+2 πn,-1) Mínimos=(π/2+2 πn,-1)

76 cosecante

77 DESPLAZAMIENTO VERTICAL
Ocurre cuando se lo sumas o restas a la función. Conjunto de salida=dominio= IR Conjunto de llegada=IR Rango={IR-[1,3]} Punto de corte con y no hay Periodo=2π Puntos de corte con x={(2n+1) π/2}

78 Amplitud Conjunto de salida=dominio= IR Conjunto de llegada=IR
Rango={IR-[-3,3]} Puntos de corte con x no hay ni en y. Periodo=2π

79 cambio del periodo Conjunto de salida=dominio= IR
Conjunto de llegada=IR Rango={IR-[-1,1]} Puntos de corte con x no hay ni con y. Periodo=4π

80 Referencias de consulta