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GEOMETRÍA ESPACIO MÉTRICA
TEMAS 6 y 7 Pág: , Pág: ,
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En esta parte de la geometría vamos a ver situaciones relacionadas con la medida de ángulos y distancias. Son aplicaciones de lo visto en temas anteriores de geometría; en particular, del producto escalar, vectorial y mixto de vectores y de las posiciones relativas entre rectas y planos. Aunque veremos alguna fórmula, no sería necesario añadir nada nuevo a lo que ya se ha visto.
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ÁNGULOS
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ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS
Es el menor de los dos ángulos que forman sus vectores directores
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ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS
El ángulo entre dos planos que se cortan es el menor de los ángulos que forman. Coincide con el que forman sus vectores normales.
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ÁNGULO ENTRE RECTA y PLANO
Es el ángulo que forma la recta con la proyección ortogonal de ésta sobre el plano. Coincide con el complementario del que forman un vector director de la recta y uno normal del plano.
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PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
Entre dos rectas r y s: Entre dos planos α y β: Entre una recta r y un plano α:
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Ejemplos: Ángulo entre rectas: pág 137: 6 Ángulo entre planos: pág 137: 7 Ángulo entre recta y plano: pág 150:7
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PROYECCIONES
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PUNTO SOBRE PLANO
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PUNTO SOBRE RECTA
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RECTA SOBRE PLANO También puedes calcular la proyección de dos puntos de la recta sobre el plano y calcular la recta que pasa por los dos puntos proyectados
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Ejemplos: Proyección P sobre plano: pág 139: 8 Proyección recta sobre plano: pág 139: 10 Proyección P sobre recta: pág 139: 9
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SIMETRÍAS
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PUNTO SOBRE PUNTO
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PUNTO SOBRE PLANO
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RECTA SOBRE PLANO
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PUNTO SOBRE RECTA
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Ejemplos: Punto simétrico sobre plano: pág 154: 52 a Recta simétrica sobre plano: pág 154: 52 b Punto simétrico sobre r: pág 140: 11
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DISTANCIAS
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Ejemplos distancias entre dos puntos:
d(A,B) = |AB| - Pág 151: 11 (punto recta cuya distancia a un punto es conocida)
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DISTANCIA ENTRE PUNTO y PLANO
Distancia entre A y Esta manera de proceder es muy intuitiva, pero es necesario aprenderse la fórmula
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De lo anterior, se deduce:
DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN
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Ejemplos: Distancia de un punto a plano: pág 143: 13 Distancia entre planos paralelos: pág 143: 14 Distancia entre recta y plano paralelos: pág 143: 15 Distancia entre dos rectas que se cruzan: pág 163: 6 Aplicaciones: Pág 153: 41, 43 (con parámetros) - Determina un punto de la recta s: que diste 2 unidades del plano β: 3x – 4y + 12z = 0. Plano paralelo a otro conocida su distancia: pág 143: 16
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DISTANCIA ENTRE PUNTO y RECTA
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De lo anterior, se deduce:
DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS
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Ejercicios: Distancia punto recta: pág 162: 5 Distancia entre rectas paralelas: pág 127: 21(para b = -1) distancia entre r y s Aplicaciones: Áreas por distancias: pág 177: 4
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EQUIDISTANCIAS
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PLANO MEDIADOR Plano mediador de un segmento es:
El plano perpendicular al mismo por su punto medio. También se define como el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de los extremos del segmento.
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PLANO BISECTOR Un plano bisector es el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de dos planos dados. Hay dos.
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PUNTOS DE UNA RECTA QUE EQUIDISTAN DE OTROS DOS
También se puede calcular el plano mediador entre B y C y hallar el punto de corte entre el plano y la recta r
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Ejemplos: Mediatriz: pág 152: 24 Halla los planos bisectores de los planos α: 2x + 3y – 4z = 6 y β: -3x + 4y -2z = -2 Punto de una recta que equidista de dos puntos: pág 149: 3 Puntos de una recta que equidistan de dos planos: pág 179: 16
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Ejercicios: - Ángulos: pág 150: 6, 8, pág 152: 27, pág 154: 46 Proyecciones y simetrías: pág 151: 14, pág 180: 33 Distancias: pág 151: 12, 17, pág 153: 33, 43, pág 179: 19, pág 151: 21 Equidistancias: pág 151: 22, 23, pág 152: 24, pág 179: 16 Áreas: pág 178: 9, 13
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Más ejercicios: Pág 153: 38 - Dos vértices consecutivos de un paralelogramo son A(1,1,1) y B(0,2,0). El centro está en el punto O(0,0,1). a- Calcula las coordenadas de los otros vértices b- Halla el plano que contiene al paralelogramo c- Calcula el área del paralelogramo d- Obtén los ángulos interiores del paralelogramos
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El triángulo ABC es rectángulo en A, siendo A(3,0,-1), B(6,-4,5) y C(5,3 z). Calcula el valor de z y halla el área del triángulo. - De un triángulo isósceles ABC, cuyo ángulo desigual es A, tiene por vértices B(1,-1,0) y C(3,1,0), mientras que el vértice A pertenece a la recta r: Calcula: a- El vértice A b- El área del triángulo c- El ángulo A Estudia la posición relativa de las rectas r: y s: Si r y s se cortan, calcula el punto de corte, y si se cruzan o son paralelas, calcula la distancia.
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