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Publicada porMarcio Albarran Modificado hace 9 años
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Departament d’Estadística Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques Estimación de máxima verosimilitud Programa de doctorado en Estadística, Análisis de datos y Bioestadística Fundamentos de Inferencia Estadística Jordi Ocaña Rebull
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Contenido Concepto de estimación de máxima verosimilitud (MLE) Relación con la suficiencia Equivariancia Obtención práctica de MLE. Ecuaciones de verosimilitud Métodos numéricos de obtención de MLE Algoritmo de Newton-Raphson
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Concepto de estimación de máxima verosimilitud MLE Dada una función de verosimilitud L para un parámetro, una estimación de máxima verosimilitud es un valor tal que –“Escoger aquel valor que dé las máximas oportunidades a los hechos observados” –Fisher en su formulación actual, orígenes en el siglo XVIII (Bernouilli, Lambert)
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Comentarios sobre el concepto de estimación MLE Q no tiene por que ser numérico Puede no existir Puede no ser única –Pero en general existe y es única. Entonces se puede hablar con propiedad de “la” MLE Maximización sobre Q, no sobre los valores matemáticamente admisibles A menudo sin expresión cerrada, para y concreto buscar numéricamente max L
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Relación con la suficiencia Supongamos que existe una (o “la”) estimación MLE de q,. Entonces se puede afirmar que es función de cualquier estadístico suficiente: –Consecuencia del teorema de factorización –Maximizar equivale a maximizar
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Equivariancia La MLE es invariante frente a transformaciones biyectivas: Si y no biyectiva lo anterior cierto si se considera verosimilitud inducida:
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Obtención práctica de MLE. Ecuaciones de verosimilitud Maximizar L equivalente a maximizar la log-verosimilitud, l, cosa que suele ser más fácil. El problema se suele reducir a resolver las “ecuaciones de verosimilitud” –Sólo condición necesaria. Estudiar también las segundas derivadas, Si no, estudio detallado de L o l
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Métodos numéricos de obtención de MLE Estos problemas son tema importante de la Estadística computacional Dos situaciones distintas: –Obtención directa del máximo de L o de l –Si es posible derivar analíticamente l: solución numérica de las equaciones de verosimilitud (problema más fácil) Muchas técnicas aplicables: básica es el algoritmo de Newton-Raphson
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Algoritmo de Newton-Raphson (expresión general) Objetivo: solucionar la ecuación g(x)=0 Procedimiento: –valor inicial x 0 propuesto como solución aproximada –iteración con sucesivas soluciones aproximadas x 0, x 1,..., x s,... Mediante –detenida al cumplirse algún criterio de convergencia
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Algoritmo de Newton-Raphson (aplicado a la estimación MLE) Ahora Procedimiento: –inicial (p.e. método de los momentos) –iteración –detenida al cumplirse algún criterio de convergencia, p.e.
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