Departament d’Estadística Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques Introducción al concepto de verosimilitud Programa de doctorado en Estadística,

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1 Departament d’Estadística Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques Introducción al concepto de verosimilitud Programa de doctorado en Estadística, Análisis de datos y Bioestadística Fundamentos de Inferencia Estadística Jordi Ocaña Rebull

2 Puntos a tratar  Punto de partida y suposición fundamental de la inferencia  Inferencia paramétrica  Parametrizaciones  Espacio muestral  Función de verosimilitud  Log-verosimilitud  El principio de verosimilitud

3 Punto de partida y suposición fundamental de la inferencia  Estudio empírico (experimental u observacional) proporciona un conjunto de valores muestrales (muestra) y  Suposición fundamental: y valor que ha tomado una variable aleatoria Y. El objetivo: determinar (con incertidumbre) una característica de su distribución, F  F pertenece a cierta familia F, el “modelo estadístico”

4 Inferencia paramétrica  Si F son distribuciones con la misma forma matemática, identificadas sólo por valores distintos de parámetro q  F casi siempre discretas o abs. continuas, caracterizadas por f, función de densidad  Identificables: si q 1 ¹ q 2 entonces F(; q 1 ) ¹ F(; q 2 )

5 Parametrizaciones  Especificar el modelo estadístico: posibles distintas parametrizaciones, equivalentes  Si h es función biyectiva entre Q y Y  Conveniente que inferencias invariantes respecto de la parametrización

6 Espacio muestral  Cada opción concreta dentro del espacio paramétrico Q (entre ellas el “verdadero valor” q 0 Î Q) tiene asociado el soporte de f(;q ), Y q.  Espacio muestral estaría formado por todas las muestras posibles:  A menudo Y q la misma para todos los q Î Q.

7 Función de verosimilitud  Si F modelo estadístico con muestra observada y Î Y, se define la función de verosimilitud L como:  En realidad familia de funciones, verosimilitud especificada salvo constante multiplicativa

8 Log-verosimilitud  De nuevo, familia de funciones  Más directamente relacionada con el concepto de información

9 El principio de verosimilitud  Versión débil: para un modelo F, dos puntos muestrales y, z  Y con L(q;y) µ L(q;z) para todo q, deben conducir a las mismas conclusiones inferenciales  Versión fuerte: modelos distintos