@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C. T.1 TEMA 8 * 2º BCT ESPACIO MÉTRICO.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C. T.1 TEMA 8 * 2º BCT ESPACIO MÉTRICO

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C. T.2 8. ESPACIO MÉTRICO Espacio métrico. Distancia entre dos puntos. Distancia de un punto a un plano. Distancia entre planos paralelos. Distancia de un punto a una recta. Distancia de un plano a una recta. Distancia entre dos rectas paralelas y entre dos rectas que se cruzan. Producto vectorial de dos vectores. Producto mixto de tres vectores. Perpendicular común a dos rectas que se cruzan. EJERCICIOS DEL LIBRO PROBLEMAS DEL LIBRO

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C. T.3 TEMA 8.1 * 2º BCT ESPACIO MÉTRICO

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C. T.4 Siempre podemos formar un triángulo rectángulo en el espacio cuyos catetos son: La diferencia de x, de y, de z. El valor de la hipotenusa será la distancia que deseamos saber o el módulo del vector: d(A,B) =|v| = = √ [ (8 – 4) 2 + (5 – 2) 2 + (13 – 1) 2 ] = = √ [4 2 + 3 2 + 12 2 ] = √169 = 13 Hallar la distancia entre dos puntos del plano cuyas coordenadas conocemos, es el mismo problema que hallar el módulo de un vector, Hallar el módulo de un vector será hallar la distancia entre el punto origen, A, y el punto extremo, B. d (A, B) =|v| =√ [ (x 2 – x 1 ) 2 + (y 2 – y 1 ) 2 + (z 2 – z 1 ) 2 ] B(8, 5, 13) DISTANCIA ENTRE PUNTOS A(4, 2, 1)

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C. T.5 EJEMPLO_1 Hallar la distancia del punto P(7, - 5, 0) al punto Q(0, 2, 5). d (P,Q) = √ [ (x 2 – x 1 ) 2 + (y 2 – y 1 ) 2 + (z 2 – z 1 ) 2 ] = = √ [ (0 - 7) 2 + ( 2 - (- 5) 2 + (5 – 0) 2 ] = √ ((- 7) 2 + 7 2 + 5 2 ) = = √ 123 EJEMPLO_2 La distancia del punto P(5, - 10, 0) al punto Q(- 3, a, a) es √ 186. Hallar el valor de a. d (P, Q) = √ [ (x 2 – x 1 ) 2 + (y 2 – y 1 ) 2 + (z 2 – z 1 ) 2 ] = √ 186 √ [ (- 3 - 5) 2 + ( a - (- 10)) 2 + a 2 ] = √ 186 √ [ (- 8) 2 + ( a + 10) 2 + a 2 ] = √ 186 Eliminando la raíz: 64 + a 2 + 20.a + 100 + a 2 = 186 2a 2 + 20.a – 22 = 0  a 2 + 10.a – 11 = 0 Resolviendo la ecuación de segundo grado: - 10 +/- √(100 + 44) - 10 +/- 12 1 a = --------------------------- = ------------------ = 2 2- 11 El punto Q tiene de coordenadas (- 3, 1, 1) y también ( - 3, - 11, - 11). Se puede comprobar que son válidas las dos soluciones.

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C. T.6 Se define como producto vectorial de dos vectores, u y v, otro vector w que es perpendicular a los dos primeros: uxv=w También como: |uxv|=|u|.|v|.sen [u,v] Así, en el espacio euclídeo: ixj=k, jxk=i, kxi=j De igual manera: ixk=-j, jxi=-k, kxj=-i Pues el producto vectorial no presenta la propiedad commutativa. Es obvio que: ixi=jxj=kxk =0, pues sen 90º = 0 PRODUCTO VECTORIAL i j k

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C. T.7 Aplicación geométrica El módulo o norma del producto vectorial de dos vectores es el área del paralelogramo formado por ellos. u v u v u v u v El área de un triángulo será, por consiguiente: S =(1/2).|ABxAC|

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C. T.8 EJEMPLO 1 Hallar el producto vectorial de u(1, 0, -1) y v(-1, 1, 0) y su módulo. w=uxv= (i – k)x(– i + j) = - ixi + ixj + kxi – kxj = = k + j – (– i) = i + j + k | i + j + k | = √(1+1+1) = √3 EJEMPLO 2 Hallar el producto vectorial de u(1, 3, -2) y v(5, 0, 7) y su módulo. w=uxv= (i +3j -2k) x (5i + 0j +7k)= =5.ixi + 0.ixj +7.ixk + 15.jxi + 0.jxj + 21.jxk – 10.kxi + 0.kxj – 14. Kxk= = - 7j – 15k + 21i – 10j = 21.i – 17.j – 15.k | 21.i – 17.j – 15.k | = √(21 2 +(-17) 2 +(-15) 2 ) = √(441+289+225) = √955

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C. T.9 Se define como producto mixto de tres vectores a la expresión: (uxv).w Es decir, el producto vectorial de dos de ellos (que es un vector) multiplicado escalarmente por el otro. El resultado es un número, un escalar. Posee la propiedad asociativa, por lo que tenemos: (uxv).w = u.(vxw) = v.(uxw) INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA El producto mixto de tres vectores se puede considerar como el volumen del prisma cuyos tres lados fueran los vectores factores. PRODUCTO MIXTO u v w

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C. T.10 EJEMPLO 1 Hallar el producto mixto de los vectores: u(1,-1,1), v(0, 1, 1) y w(-1, 0, 1) w1 w2 w3 - 1 0 1 w.(uxv) = v1 v2 v3 = 0 1 1 = |– 1 – 1 – 1| = |– 3| = 3 u 3 u1 u2 u3 1 -1 1 EJEMPLO 1 Hallar el producto mixto de los vectores: u(3,-5,0), v(0, 2, 4) y w(-7, 0, 1) w1 w2 w3 - 7 0 1 w.(uxv) = v1 v2 v3 = 0 2 4 = |– 6 – 140| = |– 146| = 146 u 3 u1 u2 u3 3 -5 0

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C. T.11 PERPENDICULAR COMÚN A DOS RECTAS QUE SE CRUZAN Sean las rectas r: (A, v) y s(B,u) Siendo A(a1, a2, a3), v(v1, v2, v3), B(b1, b2, b3) y u(u1, u2, u3) Las rectas no son coincidentes ni paralelas, o sea los vectores directores u y v no son iguales ni proporcionales. Suponemos pues que no son secantes, sino que se cruzan. Existirá un segmento AB, tal que la distancia de A, perteneciente a r, a B, perteneciente a s, es la mínima posible. Ese segmento AB será perpendicular a r y a s. Ese segmento será perpendicular común a r y a s. Y por tanto el vector director del segmento AB será el producto vectorial de u y v. Sea w el vector director de AB. i j k w = uxv = v1 v2 v3 u1 u2 u3 PERPENDICULAR COMÚN r s A B

12 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C. T.12 EJEMPLO Hallar la perpendicular común a las rectas: r:(A, v) y s:(B,u) Siendo A(1, 0, 0), v(0, 1, 1), B(0, 1, 1) y u(1, 0, 1) Sea w el vector director de la perpendicular común: i j k w = uxv = 0 1 1 = i + j – k 1 0 1 En paramétricas: r: (x,y,z) = (1, 0, 0) + λ.(0, 1, 1)  x = 1,, y = λ,, z = λ s: (x,y,z) = (0, 1, 1) + μ.(1, 0, 1)  x = μ,, y = 1,, z = 1 + μ t: (x,y,z) = (a, b, c) + k. (1, 1, -1)  x = a + k,, y = b + k,, z = c – k La intersección de s y t nos dará el punto común: μ=a+k,, 1=b+k,, 1+ μ=c – k 1 = b + k,, 1 + a + k = c – k k= 1 – b  1 + a + 1 – b = c – 1 + b  a – 2b – c = – 3 Valen los parámetros; a = 0, b= 1, c=1 La perpendicular común será: (x,y,z)=(0, 1, 1) + k(1, 1, -1) r s A B