CAPITULO 13 Análisis de Circuitos mediante Transformada de Laplace

Presentación del tema: "CAPITULO 13 Análisis de Circuitos mediante Transformada de Laplace"— Transcripción de la presentación:

1 CAPITULO 13 Análisis de Circuitos mediante Transformada de Laplace
Teoría de Circuitos I

2 Transformada de Laplace
La transformada (unilateral) de Laplace de la función f(t) definida en [0, ∞) esta dada por: La variable s se denomina variable frecuencia compleja. F(s), es una función en el dominio de la frecuencia compleja, o, más brevemente, en el dominio frecuencial. Para que f(t) sea transformable, debe ser seccionalmente continua y de orden exponencial. Si f(t) contiene solo un número finito de discon-tinuidades finitas aisladas, es seccionalmente continua. La mayoría de las funciones asociadas con los circuitos reales son L-transformables.

3 Algunas Transf. de Laplace Importantes
A continuación calcularemos las transformadas de Laplace de las señales que aparecen con mayor frecuencia en los circuitos electricos. Función escalón Función Impulso Función Exponencial Función Coseno

4 Algunas Transf. de Laplace Importantes (cont)
Función Seno Todos estos pares transformados y otros se encuentran en la Tabla de Transformadas de Laplace. La misma nos permite pasar rápidamente del dominio temporal al dominio frecuencial y viceversa. Como no es objeto del curso el cálculo propio de las trasformadas de señales sino la utilización de la transformada de Laplace como una herramienta, utilizaremos la tabla cuando: a) Debamos transformar las fuentes de tensión o corriente (señales independientes) al dominio transformado. b) Debamos volver una señal al dominio temporal, una vez que la expresemos como una composición de señales conocidas (ubicadas en la columna derecha de la tabla).

5 Propiedades de la Transformada de Laplace
Veremos ahora algunas propiedades de la Transformadas de Laplace: Linealidad Transformada de la derivada de primer orden Transformada de la integral simple Estas 3 propiedades serán las que nos posibiliten extender las LK al dominio transformado y las relaciones V-A en cada uno de los elementos circuitales conocidos ( R, L y C )

6 La Transf. de Laplace y la leyes de Kirchhoff
En el dominio temporal, las leyes de Kirchhoff de tensión y corriente son: Por la propiedad de linealidad anteriormente vista, en el dominio transformado resultan:

7 La Transf. de Laplace y las relaciones VA
a) Resistencia R R b) Inductancia L L s

8 La Transf. de Laplace y las relaciones VA (cont)
c) Capacidad C 1 / C s d) Inductancias acopladas L1 L2 M Ejercicio !!!

9 La Transf. de Laplace para resolver circuitos
Conociendo entonces como transformar las fuentes independientes, como se transforman la relaciones VA de cada elemento y las leyes de Kirchhoff, podemos operar con las diferentes magnitudes en el circuito transformado. La ventaja de realizar esto es que los operadores “integral” y “derivada” desaparecen y vemos a todos los elementos pasivos como “resistencias”. Las resistencias siguen valiendo R, las inductancias tienen un valor Ls y los capacitores tienen un valor 1/Cs, pero no hablaremos de “parte real” o “parte imaginaria”. Por lo tanto los circuitos transformados se resolverán de manera sencilla operando algebraicamente. Una vez despejada la magnitud de interés (una tensión Vi(s) o una corriente Ij(s) ), deberemos llevarla a alguna forma conocida de la tabla (o una combinación lineal) y volver al dominio temporal. A este proceso se lo denomina antitransformación, y para ello resultará muy útil el Método de las Raíces y la Descomposición en Fracciones Simples.

10 La Transf. de Laplace para resolver circuitos
Ejemplo 1: Para el siguiente circuito, se sabe que iS(t) = 10 (t) y que las condiciones inciales son nulas. Calcular IR(s) para valores genéricos de R, L y C.

11 La Transf. de Laplace para resolver circuitos
Otras herramientas que ya conocemos y que podemos seguir utili-zando en el dominio transformado son: Métodos de resolución de circuitos (Mallas, Bucles y Nudos) Las ecuaciones de Mallas serán:

12 La Transf. de Laplace para resolver circuitos
Conexión serie y paralelo de impedancias Divisor de Tensión y Corriente

13 Función Transferencia
Como vimos anteriormente, la función transferencia nos permitirá relacionar la tensión y la corriente en un par de terminales (entrada) con la tensión y la corriente en otro par (salida). Más aún, Vemos así que hay cuatro posibles combinaciones de variables: En cualquier caso, terminara siendo el cociente de dos polinomios en s : donde los ci son las raíces del polinomio N(s) (ceros) y los pj son las raíces del polinomio D(s) (polos). Al grado del polinomio denominador, D(s) se lo llama orden de la función transferencia y generalmente, n  m.

14 Función Transferencia
Ejemplo 2: Hallar la expresión de VC(s) para las diferentes entradas y considerando el capacitor inicialmente descargado.

15 Antitransformada Una vez que hayamos encontrado la expresión de cualquier vble del circuito, calculamos sus polos (raíces del denominador). Suponiendo que sean todos reales y distintos y n  m tendremos: Si revisamos la tabla de pares transformados veremos que cada uno de los sumandos es fácilmente antitransformable (aún si alguno de los pj fuera cero). A esta forma de antitransformar se la conoce como desarrollo en fracciones simples. La mayor dificultad de este método es cómo determinar las constantes K1, K2, … , Kn. a) Método por igualación de polinómios Una vez calculados los polos queremos llegar a esta forma De esta forma puedo igualar con el polin. original (conocido) Sacando factor común

16 Antitransf. por método de igualación de polinomios
Ejemplo 3: Luego de transformar un circuito, aplicar las leyes de Kirchhoff y trabajar se llega a que la tensión en un elemento es: Calcular la evolución v(t). Como primer paso analicemos las raíces del denominador: Lo primero que se ve es que tiene un polo en s =0 por lo que reescribimos: Entonces quisieramos escribir V(s) como: Terminar !!!

17 Antitransf. por método de los residuos
El método anterior es útil cuando las raices son reales distintas y no más de tres o cuatro, ya que genera un sistema de ecuaciones de n x n para determinar las n constantes. A su vez podríamos tener raíces multiples ( s – pj )k y el método se vuelve más complicado. b) Método de los residuos: Este método se basa en el Teorema integral de Cauchy-Riemann y nos permite calcular las constantes según el tipo de polo. Siendo, Para los polos simples: Para los polos múltiples:

18 Antitransformada con polos complejos conjugados
Para el caso en el que tengamos polos complejos conjugados (siempre aparecen de a pares) podemos utilizar cualquiera de los 2 métodos anteriores y las constantes que acompañen a las exponnciales tempo-rales con exponente complejo tambíen serán complejas conjugadas. Luego, habrá que usar la fórmula de Euler y trabajar las expresiones para llegar a una forma real temporal. Esto resulta trabajoso y por lo general es fácil cometer errores por lo cuál cuando aparezcan polos complejos conjugados, haremos los siguiente: 1) Separar la parte de X(s) que tiene polos complejos conjugados de la parte que tiene polos reales, y que queden dos sumandos separados. 2) Trabajamos con la parte que tiene los polos complejos

19 Antitransformada con polos complejos conjugados
Si observamos las filas 10 y 11 de la tabla de pares transformados de Laplace y comparamos con nuestra expresión: vemos que los denominadores son iguales ( b = - y a =  ) y el nume-rador lo podemos acomodar fácilmente sumando y restando lo que necesitemos. Ejemplo 4: Antitransformar

20 Estrategia para resolver un circuito usando Laplace
1) Determinar las condiciones iniciales de los elemento almacenadores de energía. Si sabemos que se alcanzó el régimen estacionario reempla-zamos C por un circuito abierto y L por un corto para calcularlas. 2) Dibujar el circuito L-transformado reemplazando y las fuentes transformadas de acuerdo a su ley temporal específica. 3) Resolver utilizando todas la herramientas conocidas para hallar la variable de interes X(s) (ya sea una tensión o una corriente). 4) Antitransformar X(s) para hallar la evolución temporal x(t) R 1 / C s L s

21 4) Estando el circuito de la figura en régimen permanente, en t = 0 se cierra el interruptor. Reducir el circuito a una sola malla y determinar la evolución temporal de vC(t).

22 15) En el circuito de la figura obtener la tensión v0(t), conociendo las condiciones iniciales: iA(0) = iB(0) = 0,5 A ; vC(0) = 2 V. Utilizar algún teorema para simplificar el cálculo

23 12) Hallar v(t) si la llave se abre en t = 0, luego de haber alcanzado el régimen permanente.

24 11) En el siguiente circuito, la llave ha estado en la posición A por un largo tiempo. En t=0 conmuta instantáneamente a la posición B. Obtener la evolución de i0(t) para t≥0 seg. . la llave ha estado en la posición la llave ha estado en la posición En el siguiente circuito, En el siguiente circuito, A A por un largo tiempo. En por un largo tiempo. En t t = 0 = 0

25 1) Estando el circuito en régimen permanente, en t = 0 la llave conmuta de la posición 1 a la 2. Hallar los valores de R, L, C y E que hacen que

26 Se desea obtener iR1(t) e iVS(t) para t > 0
mucho tiempo sin cambios antes El circuito de la figura ha permanecido ya no experimenta más cambios. El circuito de la figura ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes de que se cierren ambos interruptores en t = 0 seg. Se desea obtener iR1(t) e iVS(t) para t > 0 Una vez producido éste,

27 6) Dibujar el circuito L-transformado que permita hallar i1(t) si la llave se cierra en t = 0.