RECTA EN R3 INTEGRANTES : YENDERSON LOPEZ DAYANA VARGAS JOSE COLMENAREZ FELIPECASTILLO DAVID DAVILA SECCION: 1T2IS BARQUISIMETO 3/7/2012.

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1 RECTA EN R3 INTEGRANTES : YENDERSON LOPEZ DAYANA VARGAS JOSE COLMENAREZ FELIPECASTILLO DAVID DAVILA SECCION: 1T2IS BARQUISIMETO 3/7/2012

2 RECTA EN R3 Sea P0(x0,y0,z 0) un punto que pertenece a la recta L, con vector director d diferente del vector cero dado por (a,b, c). Se define a L como el conjunto de puntos P(x,y,z ) tales que la dirección del vector P0P es paralela a d Esto es P0P = (x− x0, y− y0,z − z 0)=t (a,b,c) ;t ∈ R −{0} A partir de la ecuación (1) se obtiene x=x0 + at y= y0 + bt z =z0 + ct Que se denominan las ecuaciones paramétricas de L con parámetro t. Como t satisface a las tres coordenadas simultáneamente para un punto dado, se puede despejar e igualar t, obteniendo de esta forma las ecuaciones simétricas : x –x0/a =y-y0/=z-z0/c ; a, b, c ∈ R - {0}

3 ECUACIONES EN RECTA R3 Sea A un punto y B un vector en R3. __, __, Sea L la recta de ecuación OX = OA + tB,com t ∈ R Sean X = ( x, y, z ), A =( a1, a 2, a3 ) y B ( b1, b2, b3 ) entonces se tiene : Ecuaciones Paramétricas de una Recta : OX =OA +tB= ⇒ ( x,y,z) = (a1,a2,a3) + t(b1,b2,b3), de donde realizando las correspondientes operaciones se tiene que x = a2 + tb2 y = a2 + tb2 con t ∈ R z = a3 + tb3 Las ecuaciones anteriores reciben el nombre de ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por ( a1, a2,a3 ) y cuyo vector director es ( b1, b2, b3 ). Ecuaciones simétricas de una recta : Con respecto a las ecuaciones paramétricas obtenidas en (2), si suponemos queb1= 0, b2= 0 y b3= 0 entonces se tiene que X = a1 + tb1 = x – a1 = tb1 : o sea que y – a1/b1 = t (3) Y= a2 + tb2 = x – a2 = tb2, o sea que y – a2 / b2 = t (4) X = a3 + tb3 = x – a3 = tb3 ; o sea que z – a3 / b3 = t (5) Como las ecuaciones (3),(4),y (5) el lado izquierdo esta igualado a T, entonces se cumple que x-a1/b1 =y – a2 /b2 = z – a3 /b3 hay simetría

4 Angulo entre una recta y un plano : Se define el ángulo que forman dos rectas como el ángulo que determinan sus vectores directores. Sea N un vector en R 3 diferente de ceo. Sea T un punto en R3. Se dice que el conjunto de puntos X generan un plano que contiene al punto T, si cumplen que : __ __ (0X - 0T). N = 0 Si se denota por π el plano que contiene a T y los puntos X En R 3 que satisfacen ( ∗ ), entonces se dice que N es el vector normal de π.

5 Números Directores de la Intersección de los Planos : Para determinar un plano se necesitan un punto P o (x o,y o,z o ) y un vector Ñ(A, B,C)normal al plano. La ecuación del plano viene entonces dada por la relación: A(x - x o ) + B(y - y o ) + C(z - z o ) = 0 ⇒ A.x + B.y + C.z + D = 0 (1) Donde D = -A.x o - B.y o - C.z o Se pueden considerar varios casos particulares según que uno o dos de los coeficientes de la ecuación (1) sean nulos. a) Plano paralelo al eje OX. Se tiene A = 0 y la ecuación toma la forma: B.y + C.z + D = 0 Siendo el vector director normal al plano de la forma:

6 b) Plano paralelo al eje OY. Se tiene B = 0 y la ecuación general toma la forma: A.x + C.z + D = 0 Siendo el vector director normal al plano de la forma: C ) Plano paralelo al eje OZ. Se tiene C = 0 y la ecuación general toma la forma: A.x + B.y + D = 0 Siendo el vector director normal al plano de la forma: d) Plano que pasa por el origen. Se tiene D = 0 y la ecuación general toma la forma: A.x + B.y + C.z = 0

7 Plano que pasa por dos Puntos: Siendo P o, P 1 y P 2 tres puntos no consecutivos pertenecientes a un plano, podemos considerar un punto genérico P de dicho plano y determinar entonces tres vectores dados por las siguientes coordenadas : Como sabemos que la condición necesaria y suficiente para que tres vectores sean coplanarios, es que su producto mixto sea nulo, podemos hacer: Como caso particular de esta ecuación se puede calcular la ecuación segmentaria del plano. Se trata de saber la ecuación del plano que corta a los ejes de coordenadas en los puntos x = a ; y = b ; z = c.