Geometría y Grupos de Lie

Presentación del tema: "Geometría y Grupos de Lie"— Transcripción de la presentación:

1 Geometría y Grupos de Lie
Raúl Quiroga Barranco Centro de Investigación en Matemáticas

2 Introducción El objetivo de esta plática es mostrar la relación entre el concepto de Geometría en un espacio y la noción de Grupo de Lie. Veremos que tales nociones son conceptos que están fuertemente relacionados.

3 Variedades En su forma mas elemental, el concepto de Geometría se construye sobre variedades diferenciables. El ejemplo mas simple de una variedad diferenciable es el dado por la gráfica de una función suave.

4 Ejemplos de Variedades
También son variedades aquellos subespacios de Rn que localmente se pueden ver como gráficas de funciones suaves.

5 Ejemplos de Variedades
No toda variedad es el conjunto de ceros de una función suave. No todo conjunto de ceros de una función suave es una variedad.

6 Variedades abstractas
Más generalmente, una variedad es un espacio localmente Euclideano con cambios de coordenadas suaves. Esto permite desarrollar cálculo diferencial e integral en una variedad.

7 Grupos de Lie Un Grupo de Lie G es un espacio que es variedad y grupo a la vez, con estructuras compatibles. Es decir, las operaciones de grupo son mapeos suaves.

8 Ejemplos de Grupos de Lie

9 Grupos de Lie y Geometría
es el grupo de transformaciones que preservan volumen en Rn. es el grupo de movimientos rígidos en Rn. es el grupo de movimientos rígidos en el espacio de Minkowski (R4,I1,3).

10 Geometría Esférica La esfera n-dimensional Sn ½ Rn+1 posee una distancia definida por: Podemos medir ángulos entre curvas en Sn con el producto interno de Rn. Las curvas más cortas son círculos máximos. es el grupo de transformaciones de Sn que preserva tal Geometría.

11 Geometría Hiperbólica
El espacio hiperbólico n-dimensional se puede definir como: Posee una distancia y ángulos entre curvas definidos como antes. Las curvas más cortas son la intersección de Hn con planos en Rn+1 que pasan por el origen. es el grupo de transformaciones de Hn que preserva tal Geometría. Hn es definido por la condición:

12 Geometrías y Grupos Klein observó que en los ejemplos anteriores y en muchos más, la Geometría está codificada en el grupo de transformaciones que preserva sus invariantes. Podemos recuperar la Geometría de un espacio X si sabemos el grupo G de “isometrías” y su acción sobre X.

13 Geometrías de Klein Una Geometría de Klein es un par (G,H) de grupos de Lie con H es subgrupo cerrado de G. El espacio de la Geometría de Klein es X = G/H. Los invariantes geométricos son aquellas estructuras u objetos sobre X que sean invariantes bajo la acción de G.

14 Haz tangente Si X ½ Rn es una variedad, el espacio tangente a X en un punto x0 es el subespacio afín Tx0X que mejor aproxima a X en x0. Para cualquier variedad X, es espacio tangente Tx0X se puede definir mediante clases de equivalencia de los siguientes objetos en X: Curvas. Cartas o sistemas de coordenadas. Operadores de orden 1. El haz tangente de X se define por la unión disjunta: y representa la “linealización” de X. El haz tangente de S1 es difeomorfo al cilindro.

15 Haz lineal de referencias.
Para estudiar las propiedades del haz tangente TX, se introduce el haz lineal de referencias: El grupo Gl(n,R) actúa por la derecha sobre L(X) por composición de mapeos lineales.

16 Haz lineal de referencias.
Las órbitas de Gl(n,R) en L(X) son precisamente las fibras de la proyección natural L(X) ! X. L(X) es una forma alternativa de “linealizar” a la variedad X, cuya ventaja es emplear grupos.

17 Haces Principales Un haz principal sobre X es dado por un esquema como el anterior: Propiedades: H actúa sobre P con cociente X, i.e. X = P/H. P es localmente difeomorfo a X£H bajo difeomorfismos H-equivariantes.

18 Ejemplo básico de haz principal
Si H es subgrupo cerrado de un grupo de Lie G, entonces el esquema: define un haz principal. Dadas las Geometrías de Klein, esto sugiere usar haces principales para definir Geometrías en espacios más generales que los homogéneos.

19 Estructuras Geométricas
Una H-Estructura Geométrica en X es una reducción suave del haz a un subgrupo cerrado H de Gl(n,R).

20 Ejemplos de Estructuras Geométricas
Las siguientes valores de H definen las estructuras geométricas indicadas:

21 Ejemplo: Métricas Riemannianas
Sea P una reducción de L(X) al subgrupo O(n). Dado L1 en la fibra de P sobre x0 el isomorfismo L1 : Rn ! Tx0X define un producto interno en Tx0X. Para cualquier otra elección L2 en la fibra sobre x0 existe A 2 O(n) tal que el siguiente diagrama conmuta. Por tanto, el producto interno en Tx0X no depende de la elección de L.

22 Isometrías Todo difeomorfismo  : X ! X define un difeomorfismo:
donde L esta en la fibra sobre x0. La acción de (1) desciende a la de . Las acciones de (1) y Gl(n, R) conmutan.

23 Isometrías Dada una H-estructura P½L(X), el difeomorfismo  : X ! X es una isometría si (1)(P) = P. En tal caso, el siguiente diagrama conmuta, para cualesquiera L1,L22P en las fibras correspondientes. También tenemos el siguiente diagrama conmutativo:

24 Grupos y H-Estructuras
Algunos problemas generales: Condiciones para la existencia de una H-estructura. Estudiar las propiedades del grupo de isometrías de una H-estructura. Dada una G-acción sobre X, determinar las H-estructuras invariantes. Clasificar las H-estructuras por sus propiedades. Determinar las H-estructuras que admiten una conexión o invariantes similares a una conexión. En tales problemas hay dos enfoques: Fijar H y estudiar las H-estructuras. Considerar diferentes posibles grupos H. En este caso, podemos fijar una G-acción sobre X.

25 Geometría y Sistemas Dinámicos
Dado un grupo G, nos interesa estudiar las G-acciones (la dinámica de G) empleando estructuras geométricas. Opciones para G: G compacto. Topología de G es interesante, pero la dinámica de G-acciones es “trivial”. G soluble. Dinámica interesante pero “relajada” en exceso. G semisimple sin factores compactos. Dinámica interesante y con propiedades rígidas.

26 Programa de Zimmer Clasificar las variedades compactas X que admiten una acción de un grupo de Lie G simple no compacto. Conjetura: Todas las acciones son de tipo algebraico: X = K\H/, G subgrupo de H, K½CH(G). X = G/P, P parabólico. Construcciones algebraicas o topológicas (cirugía) de los ejemplos anteriores.

27 Grupos Simples y Superrigidez
Enunciaremos algunos resultados que muestran que la dinámica de los grupos semisimples sin factores compactos es rígida. Algunas de la herramientas empleadas: Teoría ergódica. Geometría algebraica. Estructuras geométricas con (algún tipo de) conexión. Teoría de grupos algebraicos. Teoría de representación de álgebras de Lie. Flujo de calor y mapeos armónicos. Geometría de foliaciones. Geometrías de grupos discretos (gráficas de Cayley).

28 Grupos Simples y Superrigidez
Teorema (Zimmer): Sea G un grupo de Lie semisimple conexo y sin factores compactos. Si G preserva una medida finita suave sobre una variedad X, entonces G actúa localmente libre sobre X. En particular las G-órbitas en X definen una foliación. Teorema (Zimmer): Sea G un grupo de Lie semisimple conexo y sin factores compactos. Si G preserva una H-estructura (H algebraico) y una medida finita sobre una variedad X, entonces existe un encaje local G ! H

29 Grupos Simples y Superrigidez
Teorema (Zimmer): Sea G un grupo de Lie simple conexo y no compacto. Si G preserva una métrica de Lorentz sobre una variedad compacta X, entonces G es localmente isomorfo a Sl(2,R).

30 Grupos Simples y Superrigidez
Teorema del Centralizador (Gromov, Candel-Quiroga): Sea G un grupo simple conexo no compacto que actúa analíticamente sobre una variedad X preservando (algún tipo de) conexión y un volumen finito. Entonces en el recubrimiento universal de X existe un grupo local G de isometrías tal que: El grupo local G es 1(X)-invariante. La acción de G centraliza a la acción de G. Las G-órbitas contienen a las G-órbitas. Teorema (Gromov, Candel-Quiroga): Con G y X como antes, existe una representación  : 1(X) ! Gl(m,R) cuya imagen posee una cerradura de Zariski que contiene un grupo localmente isomorfo a G. En particular, 1(X) no es “amenable”.

31 Grupos Simples y Superrigidez
Teorema (Quiroga): Con las hipótesis anteriores, supongamos además que n0=m0, donde n0, m0 son las dimensiones de los conos nulos de X y G, resp. Entonces existe una fibración principal: donde H es un grupo de Lie, K es compacto y  es un subgrupo discreto. Es decir, hasta un recubrimiento finito tenemos X = K\(G £ H)/.

32 Grupos Simples y Superrigidez
Teorema (Quiroga): Con las hipótesis anteriores, supongamos ahora que X es irreducible. Entonces: dim X ¸ dim G + dim V, donde V es un G-módulo irreducible no trivial de dimensión minimal. Si dim X = dim G + dim V, entonces G = SO(p,q) (hasta recubrimiento finito) y el recubrimiento universal de X es Spin(p,q+1) o Spin(p+1,q). Este resultado concluye que la variedad X misma es esencialmente un grupo de Lie.