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Departamento de Geometría y Topología Facultad de Ciencias Matemáticas Universidad Complutense de Madrid APLICACIONES DE LA TEORIA DE MORSE Y DE LA CIRUGIA.

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1 Departamento de Geometría y Topología Facultad de Ciencias Matemáticas Universidad Complutense de Madrid APLICACIONES DE LA TEORIA DE MORSE Y DE LA CIRUGIA AL ESTUDIO DE DE LA CIRUGIA AL ESTUDIO DE HIPERSUPERFICIES Y VARIEDADES DE HIPERSUPERFICIES Y VARIEDADES DE DIMENSION BAJA Memoria presentada por Pedro María González Manchón para optar al grado de Doctor en Ciencias Matemáticas Dirigida por el Profesor D. Enrique Outerelo Domínguez Departamento de Geometría y Topología Facultad de Ciencias Matemáticas Universidad Complutense de Madrid Madrid, Junio de 1.996

2 FUNDAMENTOS SOBRE LA ESTRUCTURA DIFERENCIABLE EN LA ASOCIACIÓN DE ASAS SOBRE EL CONCEPTO DE SUBVARIEDAD EN EL CONTEXTO DE LAS VARIEDADES BANÁSICAS CON BORDE ANGULOSO APLICACIONES HIPERSUPERFICIES DE R n CAP. III CAP. II Sec. 1 CAP. I TOPOLOGÍA EN DIMENSIONES BAJAS 4-ESFERAS EXÓTICAS (dim 4) PROBLEMA DE KIRBY DE SIMPLIFICACIÓN DE ENLACES REFERENCIADOS (dim 3) CAP. IV CAP. II Sec. 2 CIRUGÍA DE MILNOR- THOM PUNTOS CRÍTICOS DE FUNCIONES DE MORSE ASOCIACIÓN DE ASAS Aplicaciones de la teoría de Morse y de la cirugía al estudio de hipersuperficies y variedades de dimensión baja 2/19

3 SOBRE EL CONCEPTO DE SUBVARIEDAD EN EL CONTEXTO DE LAS VARIEDADES BANÁSICAS CON BORDE ANGULOSO LEMA ( de [M.O.]) Capítulo I Aplicaciones de la teoría de Morse y de la cirugía al estudio de hipersuperficies y variedades de dimensión baja 3/19

4 CONCEPTO DE SUBVARIEDAD POR CARTAS ADAPTADAS T.B.S. así que B.S. B.S. pero no T.B.S. No B.S. Aplicaciones de la teoría de Morse y de la cirugía al estudio de hipersuperficies y variedades de dimensión baja 4/19

5 OBJECIONES A LA DEFINICIÓN - EL PROBLEMA DE LA TRANSITIVIDAD: - EL PROBLEMA DE LA BUENA INMERSIÓN: Sumergir en cuadrantes de Espacios de Banach como subvariedad bien situada. - EL PROBLEMA DE LA TRANSVERSALIDAD: Z ½ Y subvariedad. f : X ! Y transversal a Z. Pero f -1 (Z) no es, en general, subvariedad de X. - LA INTERSECCIÓN DE SUBVARIEDADES TRANSVERSALES NO SIEMPRE ES UNA SUBVARIEDAD. - EL PROBLEMA DE LA GRÁFICA: Para asegurar que la gráfica de f : X ! Y diferenciable sea subvariedad de X £ Y es necesario exigir Y = ;. Aplicaciones de la teoría de Morse y de la cirugía al estudio de hipersuperficies y variedades de dimensión baja 5/19

6 NUEVO CONCEPTO: F-SUBVARIEDAD X variedad diferenciable. Y ½ X es F-subvariedad de X si existe e.d. en Y tal que: 1) La topología inducida por es la de subespacio. 2) 8 variedad Z, 8 f : Y ! Z difer. y 8 y 2 Y existen V entorno abierto de y en X y h : V ! Z aplicación diferenciable tales que /// F-subvariedad que no es subvariedad Subvariedad que no es F-subvariedad Aplicaciones de la teoría de Morse y de la cirugía al estudio de hipersuperficies y variedades de dimensión baja 6/19

7 VENTAJAS-NATURALIDAD DE LA NUEVA DEFINICIÓN - NO REQUIERE CARTAS: Produce enunciados de sencilla formulación. - ES EL CONCEPTO DUAL DEL DE SUMERSIÓN: Una F-inmersión es localmente la sección de una sumersión. - NOCIÓN DOTADA DE SENTIDO FÍSICO: - SE HAN OBTENIDO LOS RESULTADOS ESPERADOS Y CON LA ANTIGUA DEFINICIÓN NO CONSEGUIDOS: Se resuelven positivamente los problemas de transitividad, transversalidad e intersección de subvariedades transversales, gráfica de la función e inmersión bien situada. Aplicaciones de la teoría de Morse y de la cirugía al estudio de hipersuperficies y variedades de dimensión baja 7/19 es exacta.

8 LA CARENCIA DE CARTAS ADAPTADAS CONDUCE A PRUEBAS DISTINTAS Teorema 1.9 f : X ! Y diferenciable y x 2 X. Suponemos: 1) f preserva el borde localmente en x. 2) f preserva el índice de los vectores interiores en x. Entonces f es inmersión en x si y sólo si f es F-inmersión en x. Teorema 2.17 Sub. T.B.S., F-sub. T.B.S. Teorema 2.18 Sub. B.S. ) F-sub. Teorema 2.23 Localmente toda F-subvariedad es a la vez subvariedad y F-subvariedad si agrandamos la variedad ambiente adecuadamente. Teorema 4.7 La imagen inversa de una F-subvariedad por una aplicación transversal a ésta es siempre una F-subvariedad. Ejemplo 3.3 La imagen inversa de una F-subvariedad por una aplicación que es sumersión en todo punto de la imagen inversa no es necesariamente una F-subvariedad. Aplicaciones de la teoría de Morse y de la cirugía al estudio de hipersuperficies y variedades de dimensión baja 8/19

9 SOBRE LA ASOCIACIÓN DE ASAS Capítulo II. Sección 1. Un análisis cuidadoso de la e.d. en la variedad topológica obtenida por asociación de asas nos permite concluir: 1) Se puede dotar de estructura con borde anguloso a esta construcción (Lema 1.5). 2) El contexto natural de las variedades diferenciables construidas por asociación de asas es el del borde anguloso generalizado (dominios locales no convexos). es convexo Aplicaciones de la teoría de Morse y de la cirugía al estudio de hipersuperficies y variedades de dimensión baja 9/19 variedad M n asa D s £ D n-s no es convexo

10 ASAS Y 4-ESFERAS EXÓTICAS Capítulo II. Sección 2. Teorema 2.1 Si M es una esfera exótica de dimensión cuatro, existe un número natural k tal que M se obtiene de la suma conexa de k copias de S 2 £ S 2 mediante k cirugías de tipo (3,2). Aplicaciones de la teoría de Morse y de la cirugía al estudio de hipersuperficies y variedades de dimensión baja 10/19

11 SOBRE HIPERSUPERFICIES DE R n DADAS COMO CEROS DE FUNCIONES Capítulo III Sea f : R n+1 ! R una aplicación diferenciable y M n un nivel regular conexo y compacto de f. Por el Teorema de Separación de Jordan-Brouwer M n acota un cobordismo compacto, y si f es una función de Morse, podemos estudiar la hipersuperficie M n a través de los puntos críticos de f en este cobordismo. Pero, ¿qué ocurre si f tiene puntos críticos degenerados en el cobordismo acotado y en cambio tiene un número finito de puntos críticos en la región externa de R n+1 - M n y todos son no degenerados? (hay sencillos ejemplos de esto). En este caso la Teoría Clásica de Deformación de Morse no funciona en la región externa: este cobordismo no es compacto y no tiene un primer nivel conocido. Aquí críticos degenerados M n = f -1 (0) Fuera finitos críticos y todos no degenerados Aplicaciones de la teoría de Morse y de la cirugía al estudio de hipersuperficies y variedades de dimensión baja 11/19

12 Proposición 1.12 (Aplicaciones Propias) f : R n+1 ! R continua de fibras compactas y no acotada superiormente (n 2 N). Entonces f es propia. Teorema 1.13 Para toda M n hipersuperficie compacta de R n+1 existe f: R n+1 ! R de clase infinita, propia y de Morse con C(f) finito, M n = f -1 (0) y 0 valor regular de f. Teorema 2.1 M n = f -1 (0) hipersuperficie compacta y conexa de R n+1. f : R n+1 ! R de Morse con 0 valor regular de f. Suponemos f de fibras compactas o Palais-Smale. Entonces, si f no tiene puntos críticos en la componente conexa no acotada de R n+1 - M n, se verifica que: i) M n es una 3-esfera de homotopía si n = 3. ii) M n es homeomorfa a S 4 si n = 4. iii) M n es difeomorfa a S n si n ¸ 5 ó n = 2. Lema 2.4 (Conexión de fibras) f : R n+1 ! R diferenciable de fibras compactas (n 2 N). 2 R valor regular de f y cota superior de f(C(f)). Entonces f -1 ( ) es conexo (tal vez vacío). Aplicaciones de la teoría de Morse y de la cirugía al estudio de hipersuperficies y variedades de dimensión baja 12/19

13 Corolario 2.5 S superficie conexa de R 3 nivel regular de una función f: R 3 ! R propia. Entonces, si f tiene un único punto crítico afuera y es no degenerado, S es un toro. Ejemplo 2.6 Sea g : R 3 ! R la aplicación polinómica dada por Entonces g -1 (0) es un toro. Corolario 2.8 M n hipersuperficie compacta conexa de R n+1 con n ¸ 5. Entonces M n S n si y sólo si existe f : R n+1 ! R C 1 de fibras compactas, M n = f -1 (0), 0 es valor regular de f y f no tiene puntos críticos en la región no acotada. Lema Teorema 2.1 ) INFORMACIÓN DE LA HIPERSUPERFICIE A PARTIOR DE LOS PUNTOS CRÍTICOS EN LA REGIÓN EXTERIOR Aplicaciones de la teoría de Morse y de la cirugía al estudio de hipersuperficies y variedades de dimensión baja 13/19

14 SOBRE EL PROBLEMA DE KIRBY: SIMPLIFICANDO ENLACES REFERENCIADOS Capítulo IV L enlace referenciado en S 3 M 3 L 3-variedad obtenida por cirugía en S 3 de acuerdo con L M g toro sólido de género g canónicamente incluido en R 3 S g = M g c g collar de S g en M g Curvas canónicas de S g Enlace referenciado de Lickorish: L = {c g (C 1 £ {s 1 }),…,c g (C r £ {s r })} s i s j si i j C i son curvas canónicas de S g Todas las referencias son +1 ó -1 Cálculo de Kirby: Operaciones 1 y 2 sobre los enlaces referenciados que no modifican el tipo diferenciable de la 3-variedad que definen. Aplicaciones de la teoría de Morse y de la cirugía al estudio de hipersuperficies y variedades de dimensión baja 14/19

15 Teorema Fundamental de la Cirugía en 3-variedades (R. W. B. Lickorish, ) Toda 3-variedad es M 3 L para algún enlace referenciado L de Lickorish. Teorema del Cálculo (R. C. Kirby, 1978) M L 3 ¼ M 3 L si y sólo si L se obtiene de L mediante las operaciones 1 y 2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA (Kirby, ) - ¿Qué debemos entender por enlace canónico o minimal para una 3-variedad? - Construir un algoritmo para pasar de un enlace referenciado arbitrario a uno canónico que defina la misma 3-variedad. Aplicaciones de la teoría de Morse y de la cirugía al estudio de hipersuperficies y variedades de dimensión baja 15/19

16 - AUTORREFERENCIA DE UN 1-NUDO C EN S g c = lk(C, C £ 1) - ENLACES TOTALMENTE INCLUIDOS EN M g x1xrx1xr C1…C r L = donde x i = lk(C i, C i £ 1) § 1. - ORIENTACIÓN DEL HOMEOMORFISMO DE TORSIÓN: Distinguimos h + C de su inverso h - C : c = -1 Aplicaciones de la teoría de Morse y de la cirugía al estudio de hipersuperficies y variedades de dimensión baja 16/19

17 Lema 2.12 Sean B un 1-nudo en S g, un signo, y e : A = { re i 2 C / 1 · r · 2, 2 R } ! S g una inmersión topológica preservando la orientación con e(S 1 3/2 ) = B. Sea W = c g (im(e) £ [n, n+1]) para cierto n 2 N. Entonces W es un toro sólido incluido en Int Mg, la aplicación : M g - Int W ! M g – Int W definida por está bien definida, es homeomorfismo, ( W) = W y | Sg = h B. Además si ( ) es el meridiano de W, entonces es una longitud de W tal que lk(, W ) = lk(B,B £ 1) + donde W = c g (B £ {n + 1/2}) es el ánima de W. EL CONCEPTO DE AUTORREFERENCIA EN EL TEOREMA DE LICKORISH Aplicaciones de la teoría de Morse y de la cirugía al estudio de hipersuperficies y variedades de dimensión baja 17/19

18 Corolario 2.13 C 1, …,C r 1-nudos en S g. 1, …, r signos. Entonces Mg [h Mg ¼ ML3Mg [h Mg ¼ ML3 donde y L es el enlace referenciado totalmente incluido en M g c c r - r m 1 l 1 … m g l g C 1 … C r L =L = siendo c i = lk(C i, C i £ 1) la autorreferencia de cada C i. Ejemplo 2.14 Los siguientes enlaces referenciados definen la misma 3-variedad: Corolario 2.15 Existe un algoritmo que transforma en enlace de Lickorish cualquier enlace totalmente incluido en M g. Aplicaciones de la teoría de Morse y de la cirugía al estudio de hipersuperficies y variedades de dimensión baja 18/19

19 Cadena simple con r componentes y referencias arbitrarias: Incluyen los recubridores cíclicos de S 3 ramificados sobre el nudo trébol. Teorema 3.9 (Corolario Paso 1 + Paso 2) Existe un algoritmo que transforma en enlace de Lickorish cualquier cadena simple. APLICACIÓN A LAS CADENAS SIMPLES Aplicaciones de la teoría de Morse y de la cirugía al estudio de hipersuperficies y variedades de dimensión baja 19/19


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