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Tema 1. Campos y EDPs. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC Conceptos básicos de teoría de campos y ecuaciones en derivadas parciales.

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1 Tema 1. Campos y EDPs. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC Conceptos básicos de teoría de campos y ecuaciones en derivadas parciales (repaso) Jesús Carrera ETSI Caminos UPC

2 Tema 1. Campos y EDPs. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC Contenido Campos: definiciones y conceptos básicos Operadores diferenciales: gradiente y tal Teoremas integrales: Gauss, Stokes, etc Ecuaciones diferenciales de balance: conceptos y soluciones

3 Tema 1. Campos y EDPs. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC Para las variables que no tienen sentido físico a nivel puntual, entenderemos como valor puntual el límite para volúmenes decrecientes de nuestra: Un campo es una función definida sobre el Espacio Geométrico Ordinario (EGO): d = 1 para campos escalares (ej. temperatura), 3 para campos vectoriales (ej. velocidad), 9 para campos tensoriales (ej. deformación). Definiciones: Campo, VER VER: Volumen elemental representativo, V mínimo para que adopte valor estable

4 Tema 1. Campos y EDPs. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC Coordenadas cartesianas. P es una matriz de rotación Cambio de coordenadas x representa un punto del espacio. Pero puede visualizarse como un vector que va desde el origen de coordenadas hasta el punto. Está definido por sus componentes o, que son las del vector de posición:

5 Tema 1. Campos y EDPs. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC Tensores Las variables que tienen sentido físico como tales (p. ej., velocidad) son independientes del sistema de coordenadas y sus componentes cambian de manera que no se altera la variable al cambiar el sistema de coordenadas. Este tipo de magnitudes se llaman tensores. Definición Mostrar que si v es un vector físico, sus componentes cambian como: Ejercicio Supongase en el sistema y en Sustituyendo Resuta Analogamente Cambio de coordenadas en matrices

6 Tema 1. Campos y EDPs. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC Valores principales. Círculo de Mohr Las del sistema de coordenadas que hace que la matriz sea diagonal. Se obtienen anulando K 12. Ello conduce a una rotación Direcciones principales Los valores de la diagonal del tensor en los ejes principales: Valores principales Método gráfico de cálculo de direcciones y valores principales Círculo de Mohr

7 Tema 1. Campos y EDPs. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC Campo escalar Función escalar definida sobre el EGO: Definición Depende de la dimensión del EGO. 1-D: f vs x 2 ó 3-D curvas o superficies de igual valor del campo: curvas de nivel, isopiezas, isotermas, isobaras, etc. Visualización Temperatura, presiones, viscosidad, etc Ejemplos

8 Tema 1. Campos y EDPs. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC Campos de flujo, velocidad, fuerza, etc Campo Vectorial Función vectorial definida sobre el EGO: Definición Casi solo en 2D. mediante flechas de longitud (grosor, color) proporcional al módulo del vector y orientadas según su dirección mediante las líneas de corriente, tangentes al campo en cada punto. En fluidos se emplean también las trayectorias y líneas de traza. Visualización Ejemplos

9 Tema 1. Campos y EDPs. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC conductividad hidráulica, dispersión, tensiones o deformaciones Campo Tensorial Función tensorial definida sobre el EGO: Definición Difícil Mediante elipses orientadas según las direcciones principales y de semiejes iguales a la raíz de los valores principales Visualización Ejemplos

10 Tema 1. Campos y EDPs. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC Gradiente Su dirección es la de máxima pendiente (la de máxima variación del campo), su módulo es la variación de por unidad de longitud. Cumple: Perpendicular a las isolineas de h Orientado en el sentido creciente de las isolineas Tanto mayor cuanto mayor cuanto más juntas estén las isolineas. Propiedades Operador vectorial que actúa sobre un campo escalar (un operador vectorial es aquel cuyo resultado es un campo vectorial) y viene dado por: Definición Ejemplo

11 Tema 1. Campos y EDPs. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC Operador escalar que actúa sobre un campo vectorial, dado por: Divergencia Si f representa un flujo de materia, sus derivadas indican cómo varía el flujo de materia por unidad de longitud en cada dirección coordenada. Por ello, la divergencia es la variación de materia almacenada (o diferencia entre salidas y entradas) por unidad de volumen. Propiedades Definición Ejemplo 123 x1x1 1 2 x2x2

12 Tema 1. Campos y EDPs. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC El rotacional es un operador vectorial definido sobre campos vectoriales. Viene definido por el producto vectorial entre el operador nabla y el campo vectorial: Rotacional Indica la tendencia (local) a rotar del campo. Es decir, es un campo igual al aumento lateral del campo original por unidad de longitud. Se orienta, según la regla de la mano derecha. El gradiente de un campo es irrotacional: Propiedades Definición Ejemplo 123 x1x1 1 2 x2x2

13 Tema 1. Campos y EDPs. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC Es un operador escalar definido sobre un campo escalar. Viene dado por la divergencia del gradiente Laplaciano Da una idea de la curvatura del campo. También existe el Laplaciano de un campo vectorial, definido como el gradiente de la divergencia. Propiedades Definición

14 Tema 1. Campos y EDPs. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC Operadores tensoriales: Jacobiano, Hessiano

15 Tema 1. Campos y EDPs. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC Flujo. Teorema de la divergencia n f f cantidad por unidad de superficie f·n cantidad por unidad de superficie de Flujo de f a través de : Cantidad total que pasa (entradas-salidas) Flujo Teorema de la divergencia Da sentido a la divergencia Se emplea mucho para establecer balances

16 Tema 1. Campos y EDPs. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC Se toma un campo escalar tal que entonces la primera identidad quedaría como: Si se intercambian y y el resultado se resta de la anterior, resulta la segunda identidad de Green: Segunda Identidad de Green Identidades de Green Es la versión vectorial de la fórmula de integración por partes. Se deduce del teorema de la divergencia tomando. Hay que tener en cuenta, además, que:, con ello resulta: Primera Identidad de Green

17 Tema 1. Campos y EDPs. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC Circulación. Teoremas de Stokes y de Green t f L circulación de un campo vectorial a lo largo de una curva es la integral del mismo sobre dicha curva Circulación Dada una superficie de borde L, la circulación de un campo a lo largo del borde es igual al flujo del rotacional del campo a traves de la superficie Teorema de Stokes Versión 2-D del Teorema de Stokes Teorema de Green

18 Tema 1. Campos y EDPs. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC La integración es trivial por separación Si a y f son constantes queda: EDPs de primer orden: Acumulación El balance de u en un volumen a con un término de acumulación f viene dado por: EDP Integración

19 Tema 1. Campos y EDPs. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC La degradación de materia orgánica (u) puede estar limitada por la propia concentración, u, o por la disponibilidad de aceptadores de electrones. En el primer caso, el balance de materia orgánica en un volumen a es =b/a): La integración es trivial por separación: Integrando, queda: Imponiendo condiciones iniciales: Si es constante (1/ es la vida media): EDPs de primer orden: Degradación EDP Integración u b 1 Vel. degrad.

20 Tema 1. Campos y EDPs. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC Si las entradas netas (entradas menos salidas) por unidad de volumen son a y existe degradación con constante, el balance es: EDOs de primer orden lineales EDO Se integra primero la homogénea (f=0), tomando la constante de integración como variable Sustituyendo en la ecuación original y simplificando: Integrando de nuevo: Imponiendo condiciones iniciales para determinar D: donde es la solución estacionaria. Integración t u

21 Tema 1. Campos y EDPs. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC El término advectivo. Ecuaciones hiperbólicas EDP Si q y a son constantes y hacemos v=q/a, y desarrollamos la derivada, queda: Con Si esta ecuación define la trayectoria ( ) La ecuación queda: Cuya solución es: O Coefs. ctes. vt conduce a Coefs. variables

22 Tema 1. Campos y EDPs. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC El término difusivo. Ecuaciones parabólicas Gobierna la difusión de solutos y gases, la conducción de calor, etc: Ecuación de difusión Donde L es una long. característica. Sustituyendo, queda: Esto es importante, porque pone de manifiesto que la solución solo depende de x D y t D. En particular, el estacionario, si lo hay, suele alcanzarse para tiempos del orden de t D =1 (t = aL 2 /D es el tiempo característico del fenómeno modelado). Ver siguiente transp. Adimensionalización Haciendo el cambio: la ecuación queda Es decir, la EDP se transforma en EDO, lo cual es útil para resolverla (es un truco habitual) Transf de Boltzman

23 Tema 1. Campos y EDPs. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC t D =.01 t D =0.1 t D =0.3 esfera Ec. parabólicas. Cambio instant en contorno Conducción de calor entre dos placas paralelas separadas una distancia 2L. Inicialmente la concentración es 0 y los extremos se ponen a temp. u 0. Problema t D =.01 t D =0.1 t D =0.4 cilindro t D =.01 t D =0.1 t D =0.8 placa Por separación de variables Solución x/L u/ u 0

24 Tema 1. Campos y EDPs. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC Ec. parabólicas. Solución para pulso instant. Difusión, en medio infinito de una masa M. Problema Campana de Gauss de área M/a y desviación tipo Para dimensiones n=1, 2 ó 3 La conc. max. Se reduce propordinalmente a Solución Si, Es decir, Empieza a enterarse para t D >0.5

25 Tema 1. Campos y EDPs. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC Tras degradación Condición inicial Tras dispersión Tras advección tras acumulación Transporte

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