ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) Problemas de Mecánica de Medios Continuos TEMA 5 ECUACIONES DE CONSERVACIÓN-BALANCE.

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1 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) Problemas de Mecánica de Medios Continuos TEMA 5 ECUACIONES DE CONSERVACIÓN-BALANCE X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos - ETSECCPB UPC

2 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)... En la figura se presenta la sección longitudinal de una tubería de sección cuadrada de lado h por la que circula agua. El agua entra por la sección AE con una velocidad uniforme v 1... y sale por la sección CD con velocidad uniforme v 2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA B C E D A h/2 v1v1 v2v2 p1p1 p2p2 X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

3 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) Planteamiento de problema FALTA DEFINIR LAS PRESIONES X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

4 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)... En la sección de salida se dispone una compuerta que puede bascular alrededor de la rótula situada en B...y que se mantiene en posición vertical mediante la aplicación de una fuerza horizontal F en el extremo de la compuerta. Planteamiento de problema F B C E D A v1v1 v2v2 X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

5 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) Para la resolución del problema se considerarán las siguientes hipótesis: Planteamiento de problema H4 Régimen estacionario. Se desprecia el peso del fluido. Fluido incompresible. Las presiones sobre las paredes laterales de la tubería se suponen constantes e iguales a la presión de entrada p. Fluido perfecto (  ij = - p  ij ). Se desprecia el peso de la compuerta. H1 H5 H3 H2 H6 X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

6 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) Se pide : La velocidad de salida v 2 en función de la de entrada v 1, [v 1 = v 2 (v 1 )] justificando la fórmula empleada. Planteamiento de problema 1)1) B C E D A v1v1 V2(V1)V2(V1) X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

7 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) La resultante en el punto B (fuerzas y momentos) de las acciones ejercidas sobre el fluido del interior de la tubería. Se pide : Planteamiento de problema 2)2) B X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

8 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) La resultante en el punto B (fuerzas y momentos) de las acciones ejercidas por el fluido sobre la compuerta BC. Se pide : 3)3) C B Planteamiento de problema X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

9 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) El valor de la fuerza horizontal F que mantiene la compuerta en posición vertical... Se pide : 4)4) B E D A F C Planteamiento de problema... y las reacciones que ejerce la tubería sobre la compuerta en B. X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

10 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) La potencia (W) de la bomba necesaria para mantener el flujo. Se pide : 5)5) Planteamiento de problema B C A v2v2 E v1v1 D W X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

11 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) Se pide la velocidad de salida v 2 en función de la velocidad de entrada v 1. conservación de la masa Imponemos el principio de conservación de la masa, que en su forma local espacial corresponde a la ecuación de continuidad: Imponiendo entonces la condición de incompresibilidad, se obtiene: 1)1) RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA 0 Fluido incompresible Puesto que la densidad es no nula queda: Régimen estacionario. Se desprecia el peso del fluido. Fluido incompresible. Las presiones sobre las paredes laterales de la tubería se suponen constantes e iguales a la presión de entrada p. Fluido perfecto (  ij = - p  ij ). Se desprecia el peso de la compuerta. H1 H3 H4 H5 H6 H2 Las hipótesis del problema son: Régimen estacionario. Se desprecia el peso del fluido. Fluido incompresible. Las presiones sobre las paredes laterales de la tubería se suponen constantes e iguales a la presión de entrada p. Fluido perfecto (  ij = - p  ij ). Se desprecia el peso de la compuerta. H1 H3 H4 H5 H6 H2 Las hipótesis del problema son: El fluido es incompresible y por tanto la densidad de las partículas no varía con el tiempo, por lo que: X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

12 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) Esta condición se debe cumplir para cualquier punto del medio y por lo tanto, se cumplirá también para cualquier volumen de control que se escoja. volumen de control Se escoge un volumen de control delimitado por: la compuerta BC la sección de salida CD la sección de entrada AE las paredes de la tubería Se impone ahora la condición Volumen de control V A E C D B Resolución del problema X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

13 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) V Al ser un volumen cerrado, se puede aplicar el:  V es el contorno del volumen de control V... Resolución del problema Teorema de la Divergencia Donde:... y n la normal unitaria exterior del contorno. n n n X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

14 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) ê1ê1 ê2ê2 Por la CONDICIÓN DE IMPENETRABILIDAD, en el contorno S el vector velocidad es perpendicular al vector normal n, luego su producto escalar es cero Entonces se tiene: El desarrollo de la expresión integral es: S 1 es la sección de entrada S 2 es la sección de salida S es el contorno lateral y compuerta (Contorno impenetrable por el fluido) 0 Contorno impenetrable Así queda: Resolución del problema B C E D A v1v1 v2v2 n1n1 n2n2 n S1S1 S S2S2 S n X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

15 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) Empezamos calculando el caudal que entra por la sección de entrada AE : Resolución del problema n1n1 B C E D A v1v1 v2v2 La velocidad es uniforme en toda la sección, por tanto la integral es directa S1S1 X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

16 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) Se calcula ahora el caudal que entra por la sección de salida CD : Resolución del problema B C E D A v1v1 v2v2 n2n2 La velocidad es uniforme en toda la sección, por tanto la integral es directa S2S2 X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

17 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) Reagrupando términos se obtiene la siguiente expresión: Despejando se obtiene v 2 en función de v 1 : Resolución del problema La solución es: X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

18 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) Se pide la resultante en el punto B (fuerzas y momentos) de las acciones ejercidas sobre el fluido del interior de la tubería. balance de la cantidad de movimiento Imponiendo balance de la cantidad de movimiento se obtiene la resultante de fuerzas. balance del momento de la cantidad de movimiento Imponiendo balance del momento de la cantidad de movimiento se obtiene la resultante de momentos. Resultante de fuerzas sobre el fluido Resultante de momentos sobre el fluido en B Resolución del problema 2)2) X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

19 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) es el contorno del volumen de control V. Donde: Así queda: Régimen estacionario. Se desprecia el peso del fluido. Fluido incompresible. Las presiones sobre las paredes laterales de la tubería se suponen constantes e iguales a la presión de entrada p. Fluido perfecto (  ij = - p  ij ). Se desprecia el peso de la compuerta. H1 H3 H4 H5 H6 H2 Las hipótesis del problema son: Teorema del Transporte de Reynolds Se aplicará el Teorema del Transporte de Reynolds para resolver la integral: resultante de fuerzas Cálculo de la resultante de fuerzas sobre el fluido en el punto B: 0 Régimen estacionario Resolución del problema A E B D C Régimen estacionario. Se desprecia el peso del fluido. Fluido incompresible. Las presiones sobre las paredes laterales de la tubería se suponen constantes e iguales a la presión de entrada p. Fluido perfecto (  ij = - p  ij ). Se desprecia el peso de la compuerta. H1 H3 H4 H5 H6 H2 Las hipótesis del problema son: El régimen es estacionario y por tanto: X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

20 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) ê1ê1 ê2ê2 B C E D A v1v1 v2v2 Se desarrolla la expresión integral: 0 Contorno impenetrable Resolución del problema Por la CONDICIÓN DE IMPENETRABILIDAD, en el contorno S el vector velocidad es perpendicular al vector normal n, luego su producto escalar es cero (v·n=0) S 1 es la sección de entrada S 2 es la sección de salida S es el contorno lateral y compuerta (Contorno impenetrable por el fluido) Así queda: n1n1 n2n2 n S1S1 S S2S2 S n X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

21 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) S1S1 B C E D A v1v1 v2v2 En la sección de entrada AE: La velocidad es uniforme en toda la sección, por tanto la integral es directa Resolución del problema n1n1 Régimen estacionario. Se desprecia el peso del fluido. Fluido incompresible. Las presiones sobre las paredes laterales de la tubería se suponen constantes e iguales a la presión de entrada p. Fluido perfecto (  ij = - p  ij ). Se desprecia el peso de la compuerta. H1 H3 H4 H5 H6 H2 Las hipótesis del problema son: Régimen estacionario. Se desprecia el peso del fluido. Fluido incompresible. Las presiones sobre las paredes laterales de la tubería se suponen constantes e iguales a la presión de entrada p. Fluido perfecto (  ij = - p  ij ). Se desprecia el peso de la compuerta. H1 H3 H4 H5 H6 H2 Las hipótesis del problema son: El fluido es incompresible, luego su densidad es constante X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

22 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) En la sección de salida CD: La velocidad es uniforme en toda la sección, por tanto la integral es directa Resolución del problema B C E D A v1v1 v2v2 n2n2 S2S2 X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

23 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) Reagrupando términos: Substituyendo los valores de S 1 y S 2 : Y aprovechando el resultado del apartado 1): Resolución del problema 0 Contorno impenetrable La solución es: X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

24 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) Donde:  V es el contorno del volumen de control V... Así queda: Régimen estacionario. Se desprecia el peso del fluido. Fluido incompresible. Las presiones sobre las paredes laterales de la tubería se suponen constantes e iguales a la presión de entrada p. Fluido perfecto (  ij = - p  ij ). Se desprecia el peso de la compuerta. H1 H3 H4 H5 H6 H2 Las hipótesis del problema son: Teorema del Transporte de Reynolds Se aplicará el Teorema del Transporte de Reynolds para resolver la integral: 0 Régimen estacionario Resolución del problema resultante de momentos Cálculo de la resultante de momentos sobre el fluido en el punto B: A E B D C Régimen estacionario. Se desprecia el peso del fluido. Fluido incompresible. Las presiones sobre las paredes laterales de la tubería se suponen constantes e iguales a la presión de entrada p. Fluido perfecto (  ij = - p  ij ). Se desprecia el peso de la compuerta. H1 H3 H4 H5 H6 H2 Las hipótesis del problema son: El régimen es estacionario y por tanto: X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

25 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) Por la CONDICIÓN DE IMPENETRABILIDAD, en el contorno S el vector velocidad es perpendicular al vector normal n, luego su producto escalar es cero (v·n=0) B C E D A v1v1 v2v2 Se desarrolla la expresión integral: Resolución del problema S 1 es la sección de entrada S 2 es la sección de salida S es el contorno lateral y compuerta (Contorno impenetrable por el fluido) Contorno impenetrable Así queda: n1n1 n2n2 n S1S1 S S2S2 S n 0 X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

26 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) r: es el vector de posición de las partículas respecto al punto B. h/2 En la sección de entrada S 1 respecto al punto B: Resolución del problema v1v1 n1n1 r B r*r* El momento de un sistema de vectores respecto de un punto es igual al momento de su resultante, en el centro de gravedad, respecto al mismo punto. M es igual a la resultante (R) por su brazo mecánico (h/2) respecto al punto B X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

27 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) En la sección de salida S 2 respecto al punto B: Resolución del problema n2n2 3h/4 r: es el vector de posición de las partículas respecto al punto B. El momento de un sistema de vectores respecto de un punto es igual al momento de su resultante, en el centro de gravedad, respecto al mismo punto. M es igual a la resultante (R) por su brazo mecánico respecto al punto B (3h/2) r r*r* v2v2 B X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

28 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) Reagrupando términos nos queda la siguiente expresión: Resolución del problema Y aprovechando el resultado del apartado 1): La solución es: X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

29 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) C Resolución del problema 3)3) Se pide el valor de la resultante (fuerza y momento en el punto B) de las acciones que el fluido ejerce sobre la compuerta BC. Fuerza resultante en el punto B ejercida por el fluido sobre la compuerta: Momento resultante en el punto B ejercido por el fluido sobre la compuerta: B X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

30 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) fuerza resultante Cálculo de la fuerza resultante ejercida por el fluido sobre la compuerta: principio de acción-reacción Por el principio de acción-reacción la fuerza del fluido sobre la compuerta es igual y de signo contrario que la de la compuerta sobre el fluido: Donde: es la componente de las fuerzas másicas......y la componente de las fuerzas de superficie. Resolución del problema Se parte de la expresión de la fuerza resultante total sobre el medio continuo (fluido): X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

31 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) es la resultante de las fuerzas de superficie que actúan sobre el fluido en la sección de entrada (S 1 ). Se descompone la resultante de fuerzas en: Peso del fluido despreciable es la resultante de las fuerzas de superficie que actúan sobre el fluido en la sección de salida (S 2 ). es la resultante de las fuerzas de superficie que actúan sobre el fluido en el contorno lateral (C.L.). Resolución del problema C E D B A S1S1 C.L. Comp. S2S2 C.L. es la resultante de las fuerzas de superficie que la compuerta (Comp.) ejerce sobre el fluido. Régimen estacionario. Se desprecia el peso del fluido. Fluido incompresible. Las presiones sobre las paredes laterales de la tubería se suponen constantes e iguales a la presión de entrada p. Fluido perfecto (  ij = - p  ij ). Se desprecia el peso de la compuerta. H1 H3 H4 H5 H6 H2 Las hipótesis del problema son: Se desprecian el peso del fluido, luego el valor de las fuerzas másicas es nulo. Régimen estacionario. Se desprecia el peso del fluido. Fluido incompresible. Las presiones sobre las paredes laterales de la tubería se suponen constantes e iguales a la presión de entrada p. Fluido perfecto (  ij = - p  ij ). Se desprecia el peso de la compuerta. H1 H3 H4 H5 H6 H2 Las hipótesis del problema son: X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

32 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) Vamos a identificar cada uno de los términos: Resultado obtenido en el apartado anterior. Resolución del problema X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

33 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) Vamos a identificar cada uno de los términos: Resolución del problema La presión es uniforme en toda la sección, por tanto, la integral es directa p1p1 S1S1 X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

34 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) Vamos a identificar cada uno de los términos: Resolución del problema p2p2 S2S2 P 2 es la presión atmosférica que vamos a considerar nula X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

35 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) Vamos a identificar cada uno de los términos: Resolución del problema p C.L. p Las presiones en el contorno lateral se compensan entre ellas mismas, luego C.L. X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

36 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) Vamos a identificar cada uno de los términos: Resolución del problema PRINCIPIO DE ACCIÓN- REACCIÓN Por el PRINCIPIO DE ACCIÓN- REACCIÓN sabemos que la fuerza que ejerce la compuerta sobre el fluido será igual pero de signo opuesto a la fuerza que ejerce el fluido sobre la compuerta. X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

37 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) Resolución del problema 00 Reagrupando términos queda: La solución es: X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

38 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) es la componente de las fuerzas másicas... momento resultante Cálculo del momento resultante ejercido por el fluido sobre la compuerta en B: Resolución del problema Se parte de la expresión del momento resultante total sobre el medio continuo (fluido): Peso del fluido despreciable Así queda: Donde:...y la componente de las fuerzas de superficie. Régimen estacionario. Se desprecia el peso del fluido. Fluido incompresible. Las presiones sobre las paredes laterales de la tubería se suponen constantes e iguales a la presión de entrada p. Fluido perfecto (  ij = - p  ij ). Se desprecia el peso de la compuerta. H1 H3 H4 H5 H6 H2 Las hipótesis del problema son: Régimen estacionario. Se desprecia el peso del fluido. Fluido incompresible. Las presiones sobre las paredes laterales de la tubería se suponen constantes e iguales a la presión de entrada p. Fluido perfecto (  ij = - p  ij ). Se desprecia el peso de la compuerta. H1 H3 H4 H5 H6 H2 Las hipótesis del problema son: Se desprecia el peso del fluido, luego el valor de las fuerzas másicas es nulo. X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

39 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) Resolución del problema Se descompone la resultante de momentos en: es el momento de las fuerzas que actúan sobre el fluido en la sección de entrada (S 1 ). es el momento de las fuerzas que actúan sobre el fluido en la sección de salida (S 2 ). es el momento de las fuerzas que actúan sobre el fluido en el contorno lateral (C.L.). C E D B A S1S1 C.L. Comp. S2S2 C.L. es el momento que la compuerta (Comp.) ejerce sobre el fluido. X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

40 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) Vamos a identificar cada uno de los términos: Resultado obtenido en el apartado anterior. Resolución del problema X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

41 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) h/2 Vamos a identificar cada uno de los términos: Resolución del problema S1S1 r* r M p1p1 X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

42 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) Vamos a identificar cada uno de los términos: Resolución del problema S2S2 P 2 es la presión atmosférica que vamos a considerar nula p2p2 X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

43 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) Vamos a identificar cada uno de los términos: Resolución del problema p C.L. p Los momentos de las presiones en el contorno lateral se compensan entre ellas mismas, luego C.L. X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

44 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) Vamos a identificar cada uno de los términos: Resolución del problema PRINCIPIO DE ACCIÓN- REACCIÓN Por el PRINCIPIO DE ACCIÓN- REACCIÓN sabemos que el momento que ejerce la compuerta sobre el fluido será igual pero de signo opuesto al momento que ejerce el fluido sobre la compuerta. X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

45 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) Resolución del problema 00 Reagrupando términos queda: La solución es: X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

46 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) Se pide el valor de la fuerza horizontal F que mantiene la compuerta en posición vertical y las reacciones que ejerce la tubería sobre la compuerta en B. 4)4) F B E D A C Resolución del problema X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

47 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) Empezamos por identificar todas las acciones que intervienen en la compuerta. Compu erta Rót ula Resultante de fuerzas que el fluido ejerce sobre la compuerta. Resultante de momentos que el fluido ejerce sobre la compuerta. Reacción en la rótula. Peso de la compuerta. Fuerza que mantiene la compuerta en posición vertical. F B Resolución del problema X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

48 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) Puesto que la compuerta es un sólido rígido en equilibrio, podemos plantear las siguientes ecuaciones: Equilibrio de momentos en el punto B Equilibrio de fuerzas Resolución del problema X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

49 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) Suponiendo el sentido de la fuerza F contrario al sentido del eje de abcisas, se obtiene: Equilibrio de momentos en el punto B: Las fuerzas no ejercen momento sobre la compuerta respecto al punto B. Resultado obtenido en el apartado anterior. Momento en el punto B que la fuerza F ejerce sobre la compuerta. Resolución del problema h/2 B F X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

50 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) Así el equilibrio de momentos queda: Despejando se obtiene el valor del módulo de la fuerza F: La solución es: Resolución del problema X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

51 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) Equilibrio de fuerzas: Resultados obtenidos en apartados anteriores. 0 Resolución del problema h/2 B F Peso del compuerta despreciable H6 X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

52 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) Así el equilibrio de fuerzas queda: Despejando se obtiene la solución: La solución es: Resolución del problema X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

53 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) Se pide la potencia (W) de la bomba necesaria para mantener el flujo. 5)5) Teorema de las Fuerzas Vivas Por el Teorema de las Fuerzas Vivas sabemos que la potencia mecánica entrante se invierte en modificar la Energía Cinética y en crear Potencia Tensional, resultando: Variación de energía cinética Potencia tensional Resolución del problema La potencia de la bomba, W, será la potencia mecánica entrante en el sistema, P e, que en un medio continuo tiene la siguiente expresión: X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

54 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) La Potencia Tensional por unidad de volumen es: Entonces se obtiene que la potencia tensional es nula: Luego la potencia mecánica entrante se invierte únicamente en variar la Energia Cinética: Régimen estacionario. Se desprecia el peso del fluido. Fluido incompresible. Las presiones sobre las paredes laterales de la tubería se suponen constantes e iguales a la presión de entrada p. Fluido perfecto (  ij = - p  ij ). Se desprecia el peso de la compuerta. H1 H3 H4 H5 H6 H2 Las hipótesis del problema son: Como se ha visto en el Apartado 1, aplicando conservación de la masa y dado que el fluido es incompresible, se obtiene Resolución del problema Régimen estacionario. Se desprecia el peso del fluido. Fluido incompresible. Las presiones sobre las paredes laterales de la tubería se suponen constantes e iguales a la presión de entrada p. Fluido perfecto (  ij = - p  ij ). Se desprecia el peso de la compuerta. H1 H3 H4 H5 H6 H2 Las hipótesis del problema son: Entonces el tensor de tensiones vale: X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

55 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) Teorema de Reynolds Se aplica el Teorema de Reynolds para resolver la integral: 0 A E B D C Resolución del problema Régimen estacionario H1 X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

56 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) B C E D A v1v1 v2v2 Se desarrolla la expresión integral: 0 Contorno impenetrable Así queda: n1n1 n2n2 n S1S1 S S2S2 S n Resolución del problema X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

57 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) En la sección de entrada S 1 : En la sección de salida S 2 : B C E D A v1v1 v2v2 n1n1 S1S1 n2n2 S2S2 Resolución del problema X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

58 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) Así queda: La solución es: Resolución del problema Y aprovechando el resultado del apartado 1): X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos