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V. Font. Granada 24-01-051 Las representaciones en Educación Matemática Vicenç Font Universitat de Barcelona Universidad de Ganada, 24 de enero de 2005.

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1 V. Font. Granada Las representaciones en Educación Matemática Vicenç Font Universitat de Barcelona Universidad de Ganada, 24 de enero de 2005

2 V. Font. Granada La investigación sobre las representaciones Desde la didáctica de las matemáticas se ha investigado mucho sobre las representaciones. Dos publicaciones a destacar son los libros: 1) JANVIER, C. (ed.) (1987), Problems of representation in the teaching and learning of mathematics Hillsdale, New Jersey: Lawrence Erlbaum A.P. 2) HITT, F. (2002) Representations and Mathematics visualization. North American Chapter of PME: Cinveztav-IPN. Estas investigaciones han puesto de manifiesto la gran complejidad asociada a las representaciones.

3 V. Font. Granada Según Goldin y Janvier (1998) 'representación' y 'sistema de representación', en la didáctica de de las matemáticas tiene las siguientes interpretaciones: 1. Una situación física, externa y estructurada, o un conjunto de situaciones de un entorno físico, que se puede describir matemáticamente o se puede ver como concretización de ideas matemáticas; 2. Una materialización lingüística, o un sistema lingüístico mediante el que se plantea un problema o se discute un contenido matemático, con énfasis en las características sintácticas y en la estructura semántica. EJEMPLO

4 V. Font. Granada Un constructo matemático formal, o un sistema de constructos, que puede representar situaciones mediante símbolos o mediante un sistema de símbolos, usualmente cumpliendo ciertos axiomas o conforme a definiciones precisas -incluyendo constructos matemáticos que pueden representar aspectos de otros constructos matemáticos. 4. Una configuración cognitiva interna, individual, o un sistema complejo de tales configuraciones, inferida a partir de la conducta o la introspección, que describe algunos aspectos de los procesos del pensamiento matemático y la resolución de problemas

5 V. Font. Granada La noción de representación es ambigua ya que se usa con distintos significados. Además, está estrechamente relacionada con las de significado, comprensión y en última instancia con el conocimiento

6 V. Font. Granada La representación es un término que presenta muchos rostros. La mirada sobre la representación tiene que ser poliédrica

7 V. Font. Granada OBJETOS La dimensión extensivo-intensivo Vivimos entre objetos Hablamos y pensamos acerca de objetos El ejemplo obvio son los objetos físicos, pero también están todos los abstractos. Constantemente nos empeñamos en descomponer de alguna manera la realidad en una multiplicidad de objetos identificables y discriminables a los que nos referimos mediante términos singulares y generales

8 V. Font. Granada En esta aula podemos ver, entre otros los siguientes objetos: Esta mesa Una silla Mi reloj Etc. Sobre estos OBJETOS actúa (sobre todo) la faceta extensivo / intensivo (ejemplar / tipo; singular/general; concreto / abstracto)

9 V. Font. Granada Algo parecido se puede decir de otras formas Un foucaultiano diría que ya han sido DICHOS DESDE ALGÚN DISCURSO. Desde la filosofía de la ciencia se diría que TODA PERCEPCIÓN (OBSERVACIÓN) ESTÁ CARGADA DE TEORÍA. Todo juicio de percepción supone la aplicación de conceptos (la proposición A es B) Desde la semiótica se les llama OBJETOS SEMIOTIZADOS O SEMIÓTICOS ( Magariños)

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11 V. Font. Granada Signos versus objetos Conviene distinguir entre: LOS OBJETOS y LOS SIGNOS Es una distinción importante. Ahora bien es una diferencia coyuntural y no sustancial, ya que lo que en un momento es signo en otro puede pasar a ser objeto y viceversa.

12 V. Font. Granada Los signos como acompañantes de los objetos Un objeto necesita un signo que lo enuncie (acompañe) Imaginemos que un bebé ha balbuceado algo parecido a pan. La madre interpreta que quiere pan y se lo proporciona al mismo tiempo que le dice pan. El bebé recibe dos estímulos que se refuerzan mutuamente: Por una parte, la emergencia del objeto físico pan Por otra parte, la palabra pan dicha por el mismo y por su madre.

13 V. Font. Granada Diferencia entre signo y objeto Primera fase: No diferenciación entre signo y objeto. ( por ejemplo, los niños pequeños) Segunda fase: Diferenciación entre signo y objeto Un signo, o representamen, es algo que está para alguien, por algo, en algún aspecto o disposición" 2 (Peirce). 2 Puesto que tanto el signo como el objeto son algo, hay que tener presente que ambos son objetos Ser objeto o signo es algo relativo.

14 V. Font. Granada Identificación/Diferenciación En la fase de No diferenciación el sujeto identifica (confunde) el signo con el objeto. En la fase de Diferenciación el sujeto está en condiciones, según convenga, de identificar o diferenciar el signo del objeto. "Estar en lugar de, es decir, situarse en una relación tal respecto a otro que, para ciertos fines, puede considerársele, en algún modo como si fuese ese otro (Peirce).

15 V. Font. Granada Algo por Algo La dualidad Expresión/Contenido La posibilidad de diferenciar entre signo y objeto permite que alguien pueda establecer una relación diádica (función semiótica) entre dos objetos (Algo por Algo). En esta relación (Algo por Algo) normalmente se considera que el signo es una expresión que se relaciona con un contenido (el objeto).

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17 V. Font. Granada ¿Cómo se relaciona el signo con el objeto?

18 V. Font. Granada En este triángulo se considera que: el objeto (A) es el referente (significatum), la palabra escrita (acústica) reloj (B) el significante (signo o símbolo) y el concepto de reloj (C) el significado (referencia, interpretante). La relación entre B y A es indirecta por medio del concepto (interpretante) que tiene el sujeto (el interprete).

19 V. Font. Granada En este ejemplo, se toma como referente un objeto (reloj) que se puede considerar exterior al sujeto y perteneciente al mundo de las cosas reales. Si consideramos un objeto matemático, topamos con el problema la existencia de dichos objetos. Si consideramos que existe un concepto matemático A en algún mundo platónico, el concepto A sería el referente, B el significante matemático y C el concepto matemático individual del sujeto.

20 V. Font. Granada Representaciones internas y externas Normalmente se considera que tanto el concepto como el signo se entiende que son representaciones Normalmente se considera que la palabra escrita reloj es una representación externa y que el concepto es una representación interna (mental). En esta clasificación estamos considerando la representación como un objeto (material o mental).

21 V. Font. Granada En los programas de investigación cognitivos en los que la clasificación interno/externo es un elemento clave, se considera: Que lo externo representa lo interno. Que las representaciones internas se pueden inferir a partir de la producción de representaciones externas ya que las primeras son la causa de las segundas. Que un concepto matemático se ha aprendido en la medida en que se han desarrollado una variedad de representaciones internas apropiadas, junto con las relaciones funcionales entre ellas, que permitan producir representaciones externas adecuadas para la resolución de las tareas propuestas en las que dicho concepto sea determinante.

22 V. Font. Granada Desde el punto de vista cognitivo se entiende la comprensión de los alumnos en términos de representaciones, en especial representaciones internas, ya que se considera que la comprensión está relacionada con la construcción estructurada e integrada de representaciones internas, las cuales son la causa que produce en el alumno un dominio de los sistemas de representación externos que le permite resolver las tareas escolares propuestas. El proceso de instrucción debe tener como objetivo el desarrollo de representaciones internas adecuadas y bien conectadas en los estudiantes.

23 V. Font. Granada El tema de investigación en la Didáctica de las Matemáticas ha de ser el conocimiento de estas representaciones internas (esquemas, imágenes, etc.) Los puntos de vista cognitivos hacen una opción muy definida por los enfoques centrados en el individuo y por la utilización de elementos de análisis desarrollados por la psicología. Definición e imagen conceptual (Vinner y Tall) Teoría APOS (Dubinsky) Etc.

24 V. Font. Granada ¿Qué es una representación mental? ¿Qué se quiere decir cuando decimos que > a algo? ¿Para quién? ¿Cómo? ¿Cuál es la diferencia entre la experiencia de una representación interna y la correspondiente a una representación externa? ¿Una representación externa es un sistema constituido social o personalmente? (Kaput, 1998). El problema de la clasificación entre representaciones internas y externas

25 V. Font. Granada La versión fuerte de la representación La dualidad interno/externo (realidad/mente) tiene su origen en una visión representacionista de la relación entre el sujeto y el mundo real. El representacionismo parte de los siguientes supuestos: 1)Existe un mundo exterior predefinido. 2)Nuestra cognición aprehende este mundo, aunque sea en forma parcial; y 3)La manera de conocer este mundo predefinido es representarnos los rasgos más característicos y después actuar sobre la base de dichas representaciones.

26 V. Font. Granada Si a estos supuestos añadimos el funcionamiento de la visión (que va de fuera a dentro) se llega a la conclusión de que: (1) Los objetos externos a las personas generan representaciones mentales internas Y SOBRE TODO (2) dichos objetos sólo son accesibles por medio de sus representaciones mentales.

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28 V. Font. Granada Representacionistas (dinosaurios) versus antirepresentacionistas (mamíferos) Versión fuerte de la representación versus versión débil de la representación Representaciones verticales versus representaciones horizontales LAS REPRESENTACIONES COMO PROCESO que relaciona objetos entre mundos (¿uno o dos?)

29 V. Font. Granada DOS MUNDOS Estos diferentes clases de objetos que se han comentado se pueden dividir en dos mundos: 1) El de las experiencias posibles de las personas, y 2) El mundo objetivo hipotético donde hay que situar los objetos reales A su vez, el mundo de las experiencias del sujeto se puede dividir en dos submundos: la esfera de lo material y la de lo mental.

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31 V. Font. Granada Antirepresentacionistas Optan por la versión débil de la representación: (...) Considero la > como la > de una experiencia por otra(..) (Kaput 1991) No consideran que las representaciones internas sean la causa oculta de las representaciones externas. Consideran que la manipulación de representaciones materiales va acompañada de procesos psicológicos y se produce en un contexo determinado. No tiene sentido segregar las representaciones internas de las externas (supeditando las segundas a las primeras) ni tampoco segregarlas de la situación en que se producen.

32 V. Font. Granada UNA SOLUCIÓN: LA DUALIDAD OSTENSIVO / NO OSTENSIVO Esta distinción se ha de tomar en sentido intersubjetivo: Algo se puede mostrar a otro directamente versus Algo no se puede mostrar directamente, solamente por medio de otro algo, que si se puede mostrar directamente.

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34 V. Font. Granada ¿Qué es una representación mental? ¿Qué se quiere decir cuando decimos que > a algo? ¿Para quién? ¿Cómo? ¿Cuál es la diferencia entre la experiencia de una representación interna y la correspondiente a una representación externa? ¿Una representación externa es un sistema constituido social o personalmente? (Kaput, 1998).

35 V. Font. Granada En el proceso de instrucción estamos interesados en la enseñanza de objetos institucionales. Estos objetos se presentan en la actividad matemática por medio de sus ostensivos asociados. Como resultado del proceso de instrucción los alumnos habrán construido sus objetos personales, los cuales se presentaran en su actividad matemática por medio de ostensivos asociados. La faceta institucional-personal es básica para analizar las Representaciones en Educación matemática LA FACETA INSTITUCIONAL-PERSONAL

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37 V. Font. Granada En la mayoría de investigaciones sobre las representaciones en Didáctica de las Matemáticas no se distingue entre los niveles 1 y 2, y se considera que: los objetos ostensivos (nivel 2) son las representaciones externas y también se considera que los niveles 3 y 4 son las representaciones internas.

38 V. Font. Granada LA FACETA ELEMENTAL -SISTÉMICA Resulta "ingenuo" el punto de vista que considera a las representaciones ostensivas de los conceptos matemáticos simplemente como diferentes significantes del mismo concepto. Desde este punto de vista, la representación se entiende básicamente en términos de la faceta expresión/contenido, Una correspondencia abstracta entre dos entidades que son puestas en alguna relación referencial una con otra, por un actor o un observador. "Pero deliberadamente no se presta atención al tipo de objetos que se ponen en correspondencia" (Kaput, 1998, p. 266).

39 V. Font. Granada Basta mirar con una perspectiva histórica un objeto matemático cualquiera para ilustrar la complejidad de las relaciones que se establecen entre: un objeto matemático, sus ostensivos asociados, las prácticas que permiten manipular estos ostensivos y las situaciones en las que se usa el objeto (juntamente a sus ostensivos y prácticas asociadas) para organizar fenómenos.

40 V. Font. Granada Un ejemplo: la cisoide Tomemos como ejemplo la cisoide y la consideramos definida como lugar geométrico en el marco de la geometría sintética. Dentro del programa de la geometría sintética se puede realizar la conversión entre el lenguaje verbal de la definición y el lenguaje geométrico de la figura. Además se pueden realizar diferentes prácticas en las que interviene la representación gráfica (figura) de la cisoide.

41 V. Font. Granada Sea C una circunferencia de radio a/2 y centro O, AB un diámetro de C y l la recta tangente a C en B. Para cada recta AM, M l, consideramos su intersección N con C y un segmento AP, P AM, de igual longitud que MN. El lugar geométrico de los puntos P así obtenidos es una curva llamada Cisoide de Diocles.

42 V. Font. Granada Esta forma de representación (desde la perspectiva actual) de la cisoide permite obtener información significativa sobre esta curva: 1) Es simétrica respecto del eje de abscisas, 2) La recta x = a es una asíntota vertical, 3) Es algebraica, 4) Es de grado 3, 5) En el origen de coordenadas presenta una singularidad de orden 2, 6) Es irreducible 7) Es racional

43 V. Font. Granada Gráfica Expresión simbólica En la "Geometrie", Descartes se plantea hallar la expresión simbólica de una curva. Los triángulos ARP i ANS son semejantes; por tanto:.

44 V. Font. Granada La circunferencia tiene por ecuación: t 2 = ax –x 2 Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones se obtiene la ecuación de la a cisoide:

45 V. Font. Granada La traducción "GRÀFICA ECUACIÓN ÍMPLÍCITA" es una técnica que forma parte de un programa de investigación, iniciado por Descartes en la Géométrie, que (según Boss) consta básicamente de tres partes: 1) Primeramente, Descartes ha de determinar cuáles son las curvas que serán estudiadas (las geométricas).

46 V. Font. Granada ) En segundo lugar, ha de postular un criterio claro para distinguir las curvas simples de las que no lo son (la aplicación del álgebra le permite obtener ecuaciones, el grado de las cuales puede ser usado como un indicador de simplicidad). 3) Finalmente, ha de encontrar un método para hallar la curva más simple posible mediante la cual se puede resolver un problema dado.

47 V. Font. Granada Este programa de investigación permite la conversiön del registro gráfico al simbólico. Permite algunas traducciones entre expresiones simbólicas, pero al ser un programa global en el que el estudio local no se contempla, no permite otras Por ejemplo, permite la traducción Implícita Implícita Con el siguiente cambio de coordenadas: x = y 1, y = -x 1 la expresión implícita de la cisoide es: y x 1 2 y 1 - a x 1 2 = 0 y ahora, la traza de la cisoide es la gráfica de una función:

48 V. Font. Granada Este programa de investigación no permite la traducción Implícita Explícita Mientras nos limitemos a buscar la expresión implícita nos estamos situando en en un punto de vista GLOBAL. Para Buscar la forma explícita estamos obligados a introducir razonamientos de tipo LOCAL. Situados dentro de este nuevo programa de investigación (perspectiva local), las técnicas de desarrollo en series de potencias nos permiten obtener expresiones explícitas de la cisoide.

49 V. Font. Granada En la expresión y x 1 2 y 1 - a x 1 2 = 0, el teorema de la función implícita nos asegura que, en un entorno de un punto no singular (x,y) de la cisoide, la curva se puede parametrizar en la forma (x, h (x)).

50 V. Font. Granada La fórmula de Taylor no es aplicable en un entorno de un punto singular. Nos hemos de situar en un nuevo programa de investigación (La geometría Algebraica) que estudia las singularidades Los desarrollos de Puiseux permiten solucionar el problema ya que nos permiten obtener, en un entorno del punto singular de la cisoide y x 1 2 y 1 - a x 1 2 = 0, la expresión:

51 V. Font. Granada Esta mirada histórica muestra que las diferentes representaciones ostensivas que pueden representar a un objeto matemático, son el resultado de una larga evolución en la que, en algunos casos, una nueva forma de representación plasma un nuevo programa de investigación.

52 V. Font. Granada El hecho de que las representaciones ostensivas se enmarquen en programas de investigación tiene implicaciones importantes. A continuación comentaremos tres que son muy importantes: La primera es que las representaciones no se pueden entender de manera aislada. "Los sistemas representacionales importantes para las matemáticas y su aprendizaje tienen estructura, de manera que las diferentes representaciones dentro de un sistema están relacionadas de manera rica unas a otras" (Goldin y Stheingold, 2001) Más que hablar de representaciones es conveniente hablar de sistemas de representaciones (sistemas de signos).

53 V. Font. Granada La SEGUNDA es que el hecho de que el mismo objeto se pueda encuadrar en dos programas de investigación diferentes, cada uno con sus sistemas de representación, conlleva que cada representación se pueda convertir en objeto representado de la representación del otro programa de investigación. La cisoide se puede representar por una curva en la geometría sintética y por una ecuación en la geometría analítica. A su vez, dependiendo del contexto, la curva puede proporcionar una representación geométrica de la ecuación, o la ecuación puede proporcionar una simbolización algebraica de la curva.

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56 V. Font. Granada La TERCERA es que una representación ostensiva, (1) Por una parte: tiene una faceta representacional: es algo que se puede poner en lugar de algo distinto de él mismo y, (2) Por otra parte, tiene un valor instrumental: permite realizar determinadas prácticas que con otro tipo de representación no serían posibles.

57 V. Font. Granada LA DIMENSIÓN DUAL ELEMENTAL - SISTÉMICO El aspecto representacional nos lleva a entender la representación de una manera elemental algo por algo. El valor instrumental nos lleva a entender la representación de una manera sistémica, como el iceberg de un sistema complejo de prácticas que dicha representación posibilita

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59 V. Font. Granada CARACTERÍSTICAS DE LAS REPRESENTACIONES VERTICALES Sustituyen siempre al objeto (que es inaccesible). Por tanto, tienen un carácter subrogatorio o vicarial. (Estas características se dan en las representaciones matemáticas) Son casi automáticas y poco conscientes. Dicho de otras manera, las personas, en su vida diaria identifican la representación vertical con el objeto representado.

60 V. Font. Granada Cuando se diferencia entre representación y objeto, se considera que el conocimiento de las representaciones permite conocer al objeto representado (gracias a que en el proceso de representación se preserva algún tipo de estructura) (Esta creencia también se da en las matemáticas. Se considera que mediante las representaciones vicariales podemos conocer al objeto matemático) De hecho, esta creencia es casi inevitable cuando de realiza un discurso objetual en matemáticas.

61 V. Font. Granada Dos Aspectos a tener en cuenta (1) La clasificación entre representaciones inconscientes y conscientes y entre automáticas y no automáticas

62 V. Font. Granada Hay otras clasificaciones que no vamos a comentar: Peirce (índice, icono y símbolo) Representaciones de tipo notacional- formal versus representaciones de tipo visual-gráfica.

63 V. Font. Granada (2) La esencia de la representación es CONOCER algo a partir del conocimiento de otro algo Entender la representación en términos de instrumento de CONOCIMIENTO la convierte en un miembro de una familia cuyos miembros están muy relacionados entre sí (analogía, metáfora, generalización, etc.).

64 V. Font. Granada A es B Subcategorización (extensivo / intensivo) El elemento A cumple las condiciones que cumplen todos los elementos de B. (Podemos conocer A a partir de conocer B.) Representación Aplicación de la teoría o las ideas de un sistema B en otro sistema A, para poder utilizar el aparato teórico o conceptual de B como instrumento de análisis de A. (A. Ibarra 2000) Metáfora Estructuramos el campo de conocimientos A en términos de la estructura que tiene B (conocemos A en términos de B) (el amor es una guerra)

65 V. Font. Granada El circulo que se obtiene al trazar la punta del compás es el conjunto de puntos que son solución de una ecuación del tipo x 2 + y 2 = r 2 (A es B pasa a ser A es B) la expresión x 2 + y 2 = r 2 se considera como la representación de un círculo Un círculo es una ecuación del tipo x 2 + y 2 = r 2 Un experto puede transitar sin dificultades por esta línea. Un novato puede tener dificultades

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67 V. Font. Granada LOS PELIGROS DE LA METÁFORA ONTOLÓGICA La metáfora ontológica, que tiene su origen en nuestras experiencias con objetos físicos, permite considerar acontecimientos, actividades, emociones, ideas, etc. como si fueran entidades (objetos, cosas, etc.) o sustancias. Esta metáfora se combina de manera inconsciente con otra metáfora ontológica: la del contenedor. La combinación de dichas metáforas permite considerar ideas, conceptos, etc. como entidades o sustancias que se contienen unas a otras. Faceta extensiva-intensiva.

68 V. Font. Granada Las metáforas ontológicas en el discurso escolar muchas veces suelen estar implícitas, pero en textos matemáticos más formales se pueden presentar de manera más explícita. Por ejemplo, en el Curso de Geometría de P. Puig Adam (1965, pág. 4) se observan claramente en los axiomas de existencia y enlace: Ax Reconocemos la existencia de infinitos entes llamados > cuyo conjunto llamaremos >. Ax Los puntos del espacio se consideran agrupados en ciertos conjuntos parciales de infinitos puntos llamados > y los de cada plano en otros conjuntos parciales de infinitos puntos llamados >.

69 V. Font. Granada Cuando tratamos con objetos físicos, y no problematizamos cómo los percibimos, podemos segregar el signo del objeto (la palabra reloj y el objeto físico reloj). Esta segregación la trasladamos a los objetos matemáticos y, por tanto, también segregamos la representación del objeto matemático. Además, el tipo de discurso que hacemos nos induce a creer en la existencia del objeto como algo independiente de su representación.

70 V. Font. Granada El discurso objetual, que tiene su origen en la metáfora ontológica, facilita entender implícitamente que existe un objeto matemático que se puede representar por diferentes representaciones. Implícitamente se sugiere un cierto platonismo Hay un solo objeto, pero muchas representaciones distintas. En el discurso matemático objetualse priorizan las facetas extensivo-intensivo y expresión-contenido. Esta última dimensión facilita la segregación entre representación y objeto, con lo cual, en cierta manera, se da existencia (vida independiente) al objeto (algo parecido a cuando se considera el espíritu como algo segregado del cuerpo).

71 V. Font. Granada Consciente de que el discurso objetual conlleva el peligro de caer en el platonismo, Wittgenstein propone focalizar la atención en el uso de los signos matemáticos y recomienda evitar hablar de objeto matemático. De esta manera no se segrega la representación del objeto y éste último pasa a ser una simple regla de cómo usar los signos matemáticos. En este punto de vista, se entiende la representación como una herramienta que se puede usar en muchas prácticas diferentes, de acuerdo a ciertas reglas. Por tanto, se prioriza la dimensión elemental- sistémica de la representación.

72 V. Font. Granada Una solución intermedia. Por una parte, no parece posible seguir la recomendación de Wittgenstein de evitar hablar de objeto matemático. Primero, porque el lenguaje objectual se nos impone constantemente y resulta casi imposible liberarse de él. Segundo porque se focaliza demasiado la atención en la dimensión elemental-sistémica y se dejan en segundo plano otras dimensiones.

73 V. Font. Granada Pero, utilizar el lenguaje objetual de manera acrítica implica: Caer en un cierto tipo de platonismo Focalizar la atención, sobre todo, en las facetas extensivo-intensivo y expresión- contenido

74 V. Font. Granada Una posible solución consiste en (1) aceptar como inevitable el lenguaje objetual, pero (2) ser muy consciente de sus peligros y, dentro de lo posible, intentar evitarlos. Para ello. Conviene tener presente las cinco facetas duales. Ser muy consciente de que hay que controlar el uso del lenguaje objetual.

75 V. Font. Granada Lecturas para ampliar Font, V. (2001). Algunos puntos de vista sobre las representaciones en didáctica de las matemáticas. Philosophy of Mathematics Education Journal,14: (Lectura previa recomendada) Font, V. y Peraire, R. (2001). Objetos prácticas y ostensivos asociados. El caso de la cisoide. Educación Matemática, 13(2), (para ampliar el ejemplo de la cisoide) Recuperables en Godino, J. D. (2002). Un enfoque ontológico y semiótico de la cognición matemática. Recherches en Didactique des Mathématiques 22, (2/3): (para ampliar las dimensiones duales del decágono). Recuperable en

76 V. Font. Granada Referencia de las citas Goldin, G. y Janvier, C. (1998). Representacion and the psychology of mathematics education. Journal of Mathematics Behaviour, 17 (1): 1-4 Goldin, G. y Stheingold, (2001). System of representations and the development of mathematical concepts. En A. Cuoco y F. R. Curcio (Eds.), The roles of representation in school mathematics (pp ).Yearbook Reston, VA: NCTM. Ibarra, A. (2000). La naturaleza vicarial de las representaciones. En A. Ibarra y T. Mormann (Eds.), Variedades de la representación en la ciencia y en la filosofía (pp ) Barcelona: Ariel. Kaput, J. (1991). Notations and Representations as Mediators of Constructive Processes, en E. Von Glasersfeld (ed.): Radical constructivism in mathematics education (pp 53-74). Dordrecht: Kluwer A. P. Kaput, J. (1998). Representations, inscriptions, descriptions and learning: A kaleidoscope of windows. Journal of Mathematical Behaviour, 17 (2),


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