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Tema 2: Representación de la información 1.Sistemas numéricos Sistemas de numeración y cambio de base Aritmética binaria Sistemas de codificación y representación.

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1 Tema 2: Representación de la información 1.Sistemas numéricos Sistemas de numeración y cambio de base Aritmética binaria Sistemas de codificación y representación de los números 2.Codificación binaria Representación binaria de datos e instrucciones Características de los espacios de representación Aspectos de los sistemas de representación 3.Sistemas alfanuméricos Características de los códigos Principales sistemas d codificación 4.Códigos redundantes Características de los códigos Códigos detectores Códigos correctores Contenido v 3.0

2 Sistemas de numeración y cambio de base Un sistema de numeración en base b utiliza para representar los números un alfabeto compuesto por b símbolos o cifras Ejemplos: b = 10 (decimal) {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} b = 16 (hexadecimal) {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F} b = 2 (binario) {0,1} El número se expresa mediante una secuencia de cifras: N... n 4 n 3 n 2 n 1 n 0 n -1 n -2 n -3... El valor de cada cifra depende de la cifra en sí y de la posición que ocupa en la secuencia 1. Sistemas numéricos 1/24

3 El valor del número se calcula mediante el polinomio: N...+ n 3 ·b 3 + n 2 ·b 2 + n 1 ·b 1 +n 0 · b 0 +n -1 ·b -1... Ejemplos: 3278,52 10 = 3 · 10 3 + 2 · 10 2 + 7 · 10 1 + + 8 · 10 0 + 5 · 10 -1 + 2 · 10 -2 175,372 8 = 1· 8 2 + 7 · 8 1 + 5 · 8 0 + 3 · 8 -1 + + 7 · 8 -2 + 2 · 8 -3 = 125,4882812 10 Sistemas de numeración y cambio de base 1. Sistemas numéricos 2/24 2/4

4 Conversión decimal - base b Método de divisiones sucesivas entre la base b Para números fraccionarios se realizan multiplicaciones sucesivas por la base b. Consideración de restos mayores que 9 y Error de truncamiento Ejemplos: 26 10 = 11010 2 0,1875 10 = 0,0011 2 26,1875 10 = 11010,0011 2 1. Sistemas numéricos 3/24 Sistemas de numeración y cambio de base 3/4

5 b = 2 (binario) {0,1} 110100 2 = (1· 2 5 ) + (1· 2 4 ) + (1 · 2 2 ) = = 2 5 + 2 4 + 2 2 = 32 + 16 + 4 = 52 10 0,10100 2 = 2 -1 + 2 -3 = (1/2) + (1/8) = 0,625 10 10100,001 2 = 2 4 + 2 2 + 2 -3 = 16 + 4 +(1/8) = 20,125 10 Ejemplos: 0000 1001 2010 3011 4100 5101 6110 7111 DecimalBinario Números binarios del 0 al 7 Rango de representación: Conjunto de valores representable. Con n cifras en la base b podemos formar b n combinaciones distintas. [0..b n -1] Sistema de numeración en base dos o binario 1. Sistemas numéricos 4/24 Sistemas de numeración y cambio de base 4/4

6 Operaciones básicas ABA+B 000 011 101 110 (1) ABA*B 000 010 100 111 ABA – B 000 011 (1) 101 110 ABA/B 00-- 010 10 111 1. Sistemas numéricos 5/24 Aritmética binaria

7 Ejemplos Sumas y restas Multiplicaciones División 1. Sistemas numéricos 6/24 Aritmética binaria 2/2

8 Octal b = 8 (octal) {0,1,2,3,4,5,6,7} Correspondencia con el binario 8 = 2 3 Una cifra en octal corresponde a 3 binarias 10001101100.11010 2 = 2154.64 8 Ejemplos 537.24 8 = 101011111.010100 2 Conversión Decimal - Octal 760.33 10 1370.2507 8 1. Sistemas numéricos 7/24 Sistemas de codificación y representación de números

9 Hexadecimal b = 16 (hexadecimal) {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,} Correspondencia con el binario 16 = 2 4 Una cifra en hexadecimal corresponde a 4 binarias HexadecimalDecimalBinario 000000 110001 220010 330011 440100 550101 660110 770111 881000 991001 A101010 B111011 C121100 D131101 E141110 F151111 1. Sistemas numéricos 8/24 Sistemas de representación y codificación de números 2/18

10 Ejemplos 10010111011111.1011101 2 = 25DF.BA H 4373.79 10 1115.CA3D 16 Conversión Decimal - Hexadecimal 273 5 53 117 4373 17 113 16 1 1 1 1. Sistemas numéricos 9/24 Sistemas de representación y codificación de números 3/18

11 Código no ponderado, contínuo y cíclico Basado en un sistema binario Dos números sucesivos sólo varían en un bit 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 10 0 0 1 1 1 1 0 1 10 0 1 1 2 1 0 0 1 00 0 1 0 3 1 1 00 1 1 0 4 1 1 10 1 1 1 5 1 0 10 1 0 1 6 1 0 00 1 0 0 7 1 1 0 0 8 1 1 0 1 9 1 1 1 110 1 1 1 011 1 0 1 012 1 0 1 113 1 0 0 114 1 0 0 015 2 bits3 bits4 bitsDecimal 1. Sistemas numéricos 10/24 Sistemas de representación y codificación de números 4/18 Código Gray

12 Conversión Binario - Gray A partir del primer bit sumamos el bit binario que queremos obtener con el de su izquierda 1 1 0 1 1 + + + + 1 0 0 1 0 1 0 11 0 Binario 1 1 + 011 0 11 1 0 + 11 0 11 1 1 0 1 + 10 11 1 0 1 1 + 0 1 1 1 0 1 Gray Conversión Gray - Binario 1. Sistemas numéricos 11/24 Sistemas de representación y codificación de números 5/18

13 Código BCD - Binary Coded Decimal Dígitos decimales codificados en binario Ejemplo 9 8 3 2 5 10 = 1001 1000 0011 0010 0101 BCD -natural BCD natural tiene pesos 8421 BCD Aiken tiene pesos 2421 9 8 3 2 5 10 = 1111 1110 0011 0010 1011 BCD -Aiken 1. Sistemas numéricos 12/24 Sistemas de representación y codificación de números 6/18

14 Representación de números enteros Es necesario la representación del signo Se utiliza una cantidad determinada de bits (n) Signo y magnitud (SM) El signo se representa en el bit más a la izquierda del dato. Bit (n-1) En el resto de los bits se representa el valor del número en binario natural. Bits (n-2)..0 Doble representación del 0. n = 6 10 10 = 001010 SM -4 10 = 100100 SM n = 4 -7 10 = 1111 SM -14 10 = no representable 0 10 = 000000 SM 0 10 = 100000 SM 1. Sistemas numéricos 13/24 Sistemas de representación y codificación de números 7/18

15 Complemento a la base menos uno Los valores positivos se representan en SM. Los valores negativos se obtienen restando la magnitud del número a la base menos uno. Convierte las restas en sumas. Doble representación del 0. Ejemplos Base 10 -63 10 = 936 C9 936 = 999 - 63 -16 10 = 983 C9 983 = 999 - 16 -16 10 = 9983 C9 9983 = 9999 - 16 n = 3 n = 4 Operación: 77 - 63 14 77 -63 + 936 C9 077 C9 014 C9 (1)013 + 1 1. Sistemas numéricos 14/24 Sistemas de representación y codificación de números 8/18

16 Base 2 C 1 de -10010 2 = 101101 C1 C 1 de -100111 2 = no representable C 1 de 0 = {000000 C1, 111111 C1 } n = 6 Operación: 1000111 2 - 10010 2 Se intercambian ceros por unos y unos por ceros Rango : [-2 n-1 + 1, 2 n-1 - 1] Ejemplos: 111111 - 010010 101101 Restando en binario natural Sumando en C1 (n=8)c 1000111 2 - 0010010 2 0110101 2 01000111 C1 (1)00110100 11101101 C1 + 1 + 00110101 C1 1. Sistemas numéricos 15/24 Sistemas de representación y codificación de números 9/18

17 Complemento a la base Los valores positivos se representan en SM. Los valores negativos se obtienen restando la magnitud del número a la base menos uno y posteriormente sumar uno a la dicha cantidad Convierte las restas en sumas. Ejemplos Base 10 -63 10 = 937 C10 937 = (999 - 63) + 1 -16 10 = 984 C10 984 = (999 - 16) + 1 -16 10 = 9984 C10 9984 = (9999 - 16) + 1 n = 3 n = 4 Operación: 77 - 63 El acarreo, si existe, no se considera + 937 077 ( 1)014 1. Sistemas numéricos 16/24 Sistemas de representación y codificación de números 10/18

18 Base 2 C 2 de -10010 2 = 101110 C2 n = 6 Operación: 11001 2 - 10010 2 = 111 2 Se intercambian los ceros y los unos y se suma uno Rango : [-2 n-1, 2 n-1 - 1] Ejemplos: C 2 de -1110010 2 = no representable El acarreo no se considera 111111 - 010010 101101 C1 + 1 101101 101110 C2 011001 C2 101110 C2 (1)000111 C2 + Operando en C2 (n=6) 1. Sistemas numéricos 17/24 Sistemas de representación y codificación de números 11/18

19 Representación sesgada La representación se obtiene sumando un sesgo o cantidad al valor del número El sesgo suele ser: 2 n-1 Rango : [-2 n-1, 2 n-1 - 1] Ejemplos Base 2 n = 8 Sesgo = 2 8-1 = 128 10 = 1000 0000 2 11010 2 = 10011010 S - 11010 2 = 01100110 S 0 2 = 1000 0000 S n = 4 Sesgo = 2 4-1 = 8 10 = 1000 2 1 2 = 1001 S -1 2 = 0111 1. Sistemas numéricos 18/24 Sistemas de representación y codificación de números 12/18

20 Estándar IEEE 754 B = 2 Representación s e m n = ns + ne + nm Ejemplos: Representación de los números reales Representación en coma fija Representación en coma flotante N = (-1) s M · B E N Valor numéricoM Mantisa s signo B BaseE Exponente 1.234535 · 10 3 = 1234.535 · 10 0 = 0.1234535 · 10 4 = 123453.5 · 10 -2 = 0.0001234535 · 10 7 ns : cantidad de bits para el signo ne : cantidad de bits para el exponente nm: cantidad de bits para la mantisa 1. Sistemas numéricos 19/24 Sistemas de representación y codificación de números 13/18

21 Estándar IEEE 754 Campo de signo 0 + 1 - Representación sesgada Sesgo S = 2 ne-1 -1 Ejemplos: ne = 8 S = 2 ne-1 -1 = 127 = 0111 1111 Campo del exponente 1. Sistemas numéricos 20/24 Sistemas de representación y codificación de números 14/18

22 Estándar IEEE 754 Campo de mantisa Normalización 1 M < 2 M = [1.m] donde m es el valor que se almacena Ejemplos de normalización N1 = 1001.1100110 · 2 -5 1.0011100110 · 2 -2 N2 = 0.000001101101 · 2 34 1.101101 · 2 28 Ejercicio n = 16 bits ne = 8 bits N = 1001 1111 0001 1101 s = 1 N<0 e = 0011 1110 E = -65 m = 001 1101 M = 1.0011101 2 N = -1.2265625 · 2 -65 = -3,32440346980633 · 10 -20 1. Sistemas numéricos 21/24 Sistemas de representación y codificación de números 15/18

23 Situaciones especiales e = 0 mantisa denormalizada Sesgo = 2 ne-1 -2 E = e - S = -2 ne-1 + 2 (e = 0) (m = 0) N = 0 (e = 11...1) (m = 0) N = (e = 11...1) (m 0) N = NaN Redondeo Exceso, defecto, más cercano, al par 1. Sistemas numéricos 22/24 Sistemas de representación y codificación de números 16/18 Ejemplo redondeo al par

24 Valores límite Números normalizados |b| = M max 2 Emax M max = 2 - 2 -nm E max = 2 ne-1 -1 |a| = M min 2 Emin M min = 1 E min = -(2 ne-1 -2) Números denormalizados |a| = M min 2 Emin M min = 2 -nm E min = -(2 ne-1 -2) 1. Sistemas numéricos 23/24 Sistemas de representación y codificación de números 17/18

25 Valores límite Si |N| > |b| desbordamiento a infinito OVERFLOW Si |N| < |a| desbordamiento a cero UNDERFLOW Precisión Simple precisión n = 32 bits, ne = 8 bits, nm = 23 bits Doble precisión n = 64 bits, ne = 11 bits, nm = 52 bits Doble precisión extendida n = 80 bits, ne = 15 bits, nm = 64 bits Consideraciones Números excesivamente pequeños Números excesivamente grandes Comparación de números 1. Sistemas numéricos 24/24 Sistemas de representación y codificación de números 18/18

26 Representación binaria de datos e instrucciones 2. Codificación binaria 1/10 Magnitudes Analógicas: toma valores continuos Digitales: toma un conjunto de valores discreto Ventajas sistemas digitales frente sistemas analógicos Más sencillos y económicos Más seguridad y precisión Fácil almacenamiento de la información Más resistentes al ruido e interferencias Posibilidad de tratar información no numérica Inconvenientes sistemas digitales frente sistemas analógicos La mayoría de las magnitudes físicas son de tipo analógico Necesidad de etapas CAD/CDA

27 Representación binaria de datos e instrucciones 2. Codificación binaria 2/10 2/2 Sistema digital binario Representación de las magnitudes en base 2 Estados de un interruptor [ENCENDIDO, APAGADO] Los dígitos {0, 1} corresponden con niveles de tensión eléctrica. Nivel alto Nivel bajo Niveles lógicos de la familia tecnológica TTL 0 V 0,8 V 2,4 V 5 V

28 Características de los espacios de representación 2. Codificación binaria 3/10 Elementos que lo componen Condicionantes Cantidad de estados representables Cantidad de elementos representables Tamaños predefinidos en las unidades del computador Tamaños predefinidos en la comunicación entre unidades del computador BITByte = 8 bitsPalabra 1 KiloByte (KB) = 2 10 Bytes = 1024 Bytes 1 MegaByte (MB) = 2 20 Bytes = 1024 KB 1 GigaByte (GB) = 2 30 Bytes = 1024 MB 1 TeraByte (TB) = 2 40 Bytes = 1024 GB 1 PetaByte (PB) = 2 50 Bytes = 1024 TB Unidades de codificación

29 Aspectos de los sistemas de codificación 2. Codificación binaria 4/10 Coste de traducción Coste de almacenamiento Coste de procesamiento Robustez y tolerancia a fallos

30 Características de los códigos 3. Sistemas alfanuméricos 5/10 Compuesta por caracteres Cantidad de bits dedicados a representar cada carácter Codificación de cada carácter Separación de cadenas Cadenas de longitud fija Cadenas de longitud variable

31 Principales sistemas de codificación 3. Sistemas alfanuméricos 6/10 Código ASCII

32 Principales sistemas de codificación 3. Sistemas alfanuméricos 7/10 Código ASCII 2/5

33 Principales sistemas de codificación 3. Sistemas alfanuméricos 8/10 Código EBCDIC 3/5

34 Principales sistemas de codificación 3. Sistemas alfanuméricos 9/10 Código EBCDIC 4/5

35 Consideración de los distintos alfabetos: griego, latín árabe,... Estándar Unicode: emplea 2 bytes por carácter. Abarca los alfabetos de los idiomas escritos de América, Europa, Oriente Medio, África, India, Asia y el Pacífico Página de códigos especial Ejemplos: 862 hebreo 1251 cirílio Principales sistemas de codificación 3. Sistemas alfanuméricos 10/10 5/5

36 Características de los códigos 4. Códigos redundantes 1/7 Objetivo: salvaguardar la información ante posibles errores Se añade una información adicional a cada dato Tipos: Códigos detectores Códigos correctores

37 4. Códigos redundantes 2/7 Códigos detectores Código de paridad Añade a cada dato un bit de paridad Permite detectar un error en un bit Paridad par, paridad impar H 01001000 0 O 01001111 1 L 01001100 1 A 01000001 0 Bit de paridad

38 4. Códigos redundantes 3/7 Códigos correctores Permiten detectar errores en más de un bit El código debe ser capaz de indicar los bits erróneos Ejemplos: Códigos de paridad múltiple Código Hamming Códigos polinomiales (CRC)

39 4. Códigos redundantes 4/7 Códigos correctores Código Hamming Distancia Hamming entre dos vectores: es el número de bits en el que toman valores diferentes. Ej. Distancia Hamming 2 c1=0101 y c2 = 1100 Distancia de un código es la mínima distancia Hamming entre todas las posibles combinaciones distintas del código. Teorema: Si la distancia de un código es d, entonces podemos detectar errores que afecten a d-1 bit. Teorema: Si la distancia de un código es d, entonces es posible detectar y corregir los errores que afecten a t bits según la siguiente expresión: d = 2·t+1 1/4

40 Números naturales 0..15 codificados en binario con 4 bit. 4. Códigos redundantes 5/7 Códigos correctores Ejemplos: Distancia del código: 1 No es posible detectar ni corregir ningún error en los bit. 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2/4

41 4. Códigos redundantes 6/7 Códigos correctores Ejemplos: Números naturales 0..15 codificados en binario con 4 bit con bit de paridad par. Distancia del código: 2 Es posible detectar errores en un bit. No es posible corregir ningún error. 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3/4

42 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 4. Códigos redundantes 7/7 Códigos correctores Código Hamming de los 15 primeros números naturales Ejemplos: p1p1 p2p2 p3p3 p4p4 p5p5 p6p6 p7p7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 p 1 : paridad par de p 3, p 5 y p 7 p 2 : paridad par de p 3, p 6 y p 7 p 4 : paridad par de p 5, p 6 y p 7 Distancia del código: 3 Es posible detectar errores en dos bit. Es posible corregir errores en un bit. 4/4


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