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Tema 2 Representación de la información Fundamentos de Informática. I.T.I. Mecánica e I.T.I. Química. Curso 2010/2011 Depto. de INFORMÁTICA UVA.

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1 Tema 2 Representación de la información Fundamentos de Informática. I.T.I. Mecánica e I.T.I. Química. Curso 2010/2011 Depto. de INFORMÁTICA UVA

2 Temas 2 y 3: Representación de la Información 2 Objetivos Al terminar esta lección deberás ser capaz de: – Describir los problemas derivados del uso de precisión finita en el ordenador – Describir el concepto de sistema de numeración y enumerar los más utilizados en informática – Realizar cambios de base entre los sistemas de numeración estudiados – Representar e interpretar el valor de números enteros y reales utilizando los códigos más usuales en informática – Representar caracteres en el ordenador

3 Temas 2 y 3: Representación de la Información 3 Contenidos 1. Números de precisión finita 2. Sistemas de numeración 3. Representación de números enteros 4. Representación de números reales 5. Representación de caracteres

4 Temas 2 y 3: Representación de la Información 4 Números de precisión finita El ordenador utiliza el sistema binario (0 y 1) para representar la información. Los ordenadores almacenan los datos en registros de una longitud finita (8, 16, 32, … 256 bits). Esto significa que el número de dígitos con el que pueden operar es limitado. Ejemplo: – Si un registro manejara 3 dígitos enteros decimales sólo se podrían representar los números del 000 al 999. – Rango limitado: [000, 999]

5 Temas 2 y 3: Representación de la Información 5 Números de precisión finita Precisión (p): Precisión (p): número de bits utilizado para representar información Con p bits podemos codificar m = 2 p símbolos distintos, por tanto, el conjunto de números que se pueden representar es limitado (finito) (Operación inversa) Para codificar m símbolos distintos, necesitamos p bits, tal que p es el mínimo p que cumple: 2 p-1 = log 2 m = 3.32 · log (m), con p N

6 Temas 2 y 3: Representación de la Información 6 Números de precisión finita Limitaciones – Desbordamiento (overflow): El resultado de una operación es mayor que el máximo número representable con una determinada precisión p – Agotamiento o subdesbordamiento (underflow): El resultado de una operación es menor que el mínimo representable con una precisión p – Errores de redondeo: El resultado de una operación no es representable con la precisión utilizada. Hay que aproximar al número más cercano posible.

7 Temas 2 y 3: Representación de la Información 7 Números de precisión finita Ejemplos (suponiendo dígitos decimales) – p = 3 – Rango = [000, 999] – Ejemplo de overflow: En teoría : (400 –300) = ( ) – 300 En la práctica: Overflow!

8 Temas 2 y 3: Representación de la Información 8 Números de precisión finita Por lo tanto: – El uso de números de precisión finita limita la aritmética de los ordenadores – Hay que tener en cuenta la posible aparición de errores – Hay que idear recursos para trabajar con números negativos y números reales

9 Temas 2 y 3: Representación de la Información 9 Contenidos 1. Números de precisión finita 2. Sistemas de numeración 3. Representación de números enteros 4. Representación de números reales 5. Representación de caracteres

10 Temas 2 y 3: Representación de la Información 10 Sistemas de numeración Un sistema de numeración posee un conjunto de símbolos D – Cada dígito d es un símbolo de D Un sistema en base b usa B símbolos – D= {0,.., B-1} Un número es una cadena de dígitos … d 4 d 3 d 2 d 1 d 0,d -1 d d i D Punto decimal

11 Temas 2 y 3: Representación de la Información 11 Sistemas de numeración Valor de un número en base b Sea el número: … d 4 d 3 d 2 d 1 d 0,d -1 … / d i D = 0, 1, 2, …, B-2, B-1 El valor que representa el número se calcula teniendo en cuenta la posición i de cada dígito, su valor, y el valor de la base B: d i * B i = d 4 ·B 4 + d 3 ·B 3 + d 2 ·B 2 + d 1 ·B 1 + d 0 ·B 0 + d -1 ·B Punto decimal

12 Temas 2 y 3: Representación de la Información 12 Los más típicos en informática son: – Decimal B = 10 – Binario B = 2 – Octal B = 8 – Hexadecimal B = 16 Para saber en qué sistema está representado el número se emplea un subíndice – 10 para decimal Ej: – 2 para binario Ej: 10 2 – 8 para octal Ej: – H ó 16 para hexadecimalEj: FA893 H Sistemas de numeración Sistemas más frecuentes

13 Temas 2 y 3: Representación de la Información 13 Sistemas de numeración Sistemas más frecuentes Decimal: – B = 10 – D = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} – Ejemplo 459,2 10 = 4· · · ·10 -1 = 459, ,2 10 = -1 * (4· · · ·10 -1 ) = -459,2 10 Binario: – B = 2 – D = {0,1} – Ejemplo 101,1 2 = 1· · · ·2 -1 = 5, ,1 2 = -1 * (1· · · ·2 -1 ) = -5,5 10

14 Temas 2 y 3: Representación de la Información 14 Sistemas de numeración Sistemas más frecuentes (2) Octal: – B = 8 – D = {0,1,2,3,4,5,6,7} – Ejemplo: 453,2 8 = 4· · · ·8 -1 = 299, ,2 8 = -1 * (4· · · ·8 -1 ) = -299,25 10 Hexadecimal: – B = 16 – D = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A, B, C, D, E, F} – Ejemplo: 1BA,F H = 1· · · ·16 -1 = 442, BA,F H = -1 * (1· · · ·16 -1 ) = -442,

15 Temas 2 y 3: Representación de la Información 15 Sistemas de numeración Ejemplo 10 2 <> 10 8 <> <> 10 H 10 2 = 1· ·10 0 = = 1· ·10 0 = H = 1· ·10 0 = = 1· ·10 0 = 10 10

16 Temas 2 y 3: Representación de la Información 16 Sistemas de numeración Cambio de base DecimalHexadecimal Octal Binario Principio de la base B y tomar residuos Conversión por tabla (2) Conversión por tabla (1)

17 Temas 2 y 3: Representación de la Información 17 Sistemas de numeración Cambio de base Binario, octal ó hexadecimal decimal – Aplicar el Principio de la base, es decir, aplicar la fórmula: – Ejemplos: 7CD H = 7· C· D·16 0 = = 7· · = = d i B i

18 Temas 2 y 3: Representación de la Información 18 Sistemas de numeración Cambio de base – = = 1· · · · ·2 0 = = = = = – = = 3· · ·8 0 = = 3·64 + 7·8 + 1=

19 Temas 2 y 3: Representación de la Información 19 Sistemas de numeración Cambio de base Binario Octal: a través de la tabla BinarioOctalBinarioOctal

20 Temas 2 y 3: Representación de la Información 20 Sistemas de numeración Cambio de base BinarioHexad.BinarioHexad A B C D E F Binario Hexadecimal: a través de la tabla

21 Temas 2 y 3: Representación de la Información 21 Sistemas de numeración Cambio de base Binario a octal y hexadecimal (ejemplos) 11001,101 2 = = , = 31,5 8 = , = 19, A H Octal y hexadecimal a binario (ejemplos) AB,16 H = , =

22 Temas 2 y 3: Representación de la Información 22 Sistemas de numeración Cambio de base De decimal a binario (1/2) – La parte entera del número se obtiene dividiendo por B = 2 la parte entera del número decimal de partida y los sucesivos cocientes hasta que cociente sea 0 ó 1. Los residuos (restos) de estas divisiones son las cifras binarias. El último cociente será el bit más significativo (izda) y el primer residuo será el bit menos significativo (dcha).

23 Temas 2 y 3: Representación de la Información 23 Sistemas de numeración Cambio de base De decimal a binario (continuación) – La parte fraccionaria se obtiene multiplicando por B = 2 sucesivamente la parte fraccionaria del número decimal de partida y las partes fraccionarias que se van obteniendo. El número lo componen las partes enteras (ceros o unos) de los productos obtenidos. – El número completo se forma anexando la parte entera y la fraccionaria obtenidas, separadas por la coma decimal

24 Temas 2 y 3: Representación de la Información 24 Sistemas de numeración Cambio de base CocientesResiduos ,7 10 Parte enteraParte decimal 29, , ProductosRdos 0,7 · 2 = 1,4 1 0,4 · 2 = 0,8 0 0,8 · 2 = 1,6 1 0,6 · 2 = 1,2 1 …

25 Temas 2 y 3: Representación de la Información 25 Contenidos 1. Números de precisión finita 2. Sistemas de numeración 3. Representación de números enteros 4. Representación de números reales 5. Representación de caracteres

26 Temas 2 y 3: Representación de la Información 26 Representación números enteros Binario natural – Con p bits, Rango = [0, 2 p -1] – Ejemplo: Con p= 3 bits, rango = [0, ] = [0,7] – Problema: No permite representar números negativos. 02 p -1 Rango - +

27 Temas 2 y 3: Representación de la Información 27 Representación números enteros Códigos para representar números enteros: – Signo-magnitud – Complemento a 1 – Complemento a 2 – En exceso a N

28 Temas 2 y 3: Representación de la Información 28 Representación números enteros Signo magnitud 1. Bit más a la izquierda: bit de signo 0 para + y 1 para - 2. Resto de bits: valor absoluto Ejemplos: 1101 s-m = (precisión 5 bits) = s-m (precisión 8 bits) = s-m

29 Temas 2 y 3: Representación de la Información 29 Representación números enteros Signo magnitud – Rango con p bits = [- (2 p-1 -1), 2 p-1 -1] Ejemplo Con p=5, rango = [-( ), ] = [-15, 15] 02 p-1 -1 Rango (2 p-1 -1)

30 Temas 2 y 3: Representación de la Información 30 Representación números enteros Complemento a 1 – Los números positivos se expresan igual que en binario natural. – Para hacer los negativos se toma el correspondiente positivo y se cambian los ceros por unos y viceversa – Para todas las cantidades representadas, el bit de la izquierda vale 0 para el + y 1 para el -

31 Temas 2 y 3: Representación de la Información 31 Representación números enteros Complemento a 1 – Rango con p bits = [-(2 p-1 -1), 2 p-1 -1] Ejemplo – Con p=5, rango = [-( ), ] = [-15, 15] 02 p-1 -1 Rango (2 p-1 -1)

32 Temas 2 y 3: Representación de la Información 32 Representación números enteros Complemento a 2 – Los números positivos se representan en binario natural – Para representar un número negativo, se hace el complemento a 1 y se suma 1 (en binario) – El bit de la izquierda vale 0 para los números positivos y 1 para los negativos

33 Temas 2 y 3: Representación de la Información 33 Representación números enteros Complemento a 2 – Rango con p bits = [-2 p-1, 2 p-1 -1] – Ejemplo: – Con p= 5, rango = [-2 4, ] = [-16, 15] 02 p-1 -1 Rango p-1

34 Temas 2 y 3: Representación de la Información 34 Representación números enteros Ejemplos: Decimal a complemento a 2 (p=5 bits) = C1 (01010) = = c = c2 Ejemplos: Complemento a 2 a decimal (p=5 bits) c2 Empieza por 0 es positivo se interpreta en binario natural Resultado: c2 = c2 Empieza por 1 es negativo Se complementa para hallar el valor absoluto: c2 = C1 (11011) + 1 = = = 5 Resultado: c2 =

35 Temas 2 y 3: Representación de la Información 35 Representación números enteros Exceso a N – El sistema guarda el valor más N, de forma que el número resultante es siempre positivo – Normalmente, si tenemos precisión p: N = 2 p-1 – Rango = -2 p-1, 2 p-1 -1 – Ejemplo: exceso a 128 (2 7 ) – = (= )

36 Temas 2 y 3: Representación de la Información 36 Representación números enteros Tabla de códigos, con p = 3 Nº decimal Signo- Magnitud Complemento a 1 Complemento a 2 Exceso a N

37 Temas 2 y 3: Representación de la Información 37 Contenidos 1. Números de precisión finita 2. Sistemas de numeración 3. Representación de números enteros 4. Representación de números reales 5. Representación de caracteres

38 Temas 2 y 3: Representación de la Información 38 Representación en punto flotante La notación en punto flotante, exponencial o científica se usa con números reales. – Por ejemplo, la magnitud se puede expresar: = ·10 0 = ·10 -1 = ·10 -4 = ·10 4 Forma general: N = ±M·b e – ± Signo del número – M mantisa en valor absoluto – b base – e exponente Se dice que el número está normalizado cuando el número más significativo está en la cifra de las unidades

39 Temas 2 y 3: Representación de la Información 39 Representación IEEE 754 Representación normalizada. Base: 2 (no se representa) N = ± M · 2 e Sólo es necesario representar el signo, la mantisa y el exponente

40 Temas 2 y 3: Representación de la Información 40 Representación IEEE 754 Se representa: – Un campo de signo que ocupa 1 bit – Un campo de exponente (c) que ocupa nc bits – Un campo de mantisa (m) que ocupa nm bits El orden de almacenamiento es: campo de signo (s), campo de exponente (e) y campo de mantisa (m).

41 Temas 2 y 3: Representación de la Información 41 Representación IEEE 754 Signo: – 0 para + y 1 para - Exponente: – En exceso a N = 2 p-1 -1, con p = número de dígitos reservados para el exponente. El valor almacenado se denomina característica (c=e+N)

42 Temas 2 y 3: Representación de la Información 42 Representación IEEE 754 Mantisa: 1. Se normaliza el número: El exponente se ajusta de forma tal que el 1 más significativo de la mantisa se encuentre en la posición 0 (posición de las unidades) 2. El campo de la mantisa (m) se obtiene almacenando sólo la parte fraccionaria del número normalizado. Es decir, no se almacena la información "1. Ejemplo: N = = ·2 3 m = 10101

43 Temas 2 y 3: Representación de la Información 43 Representación IEEE 754 Dos formatos: – Precisión simple (SP) y doble (DP) Precisión simple: palabra de 32 dígitos – n s = 1 bits – n c = 8 bits – n m = 23 bits

44 Temas 2 y 3: Representación de la Información 44 Representación IEEE 754 Precisión doble: palabra de 64 dígitos – n s = 1bits – n c = 11 bits – n m = 52 bits

45 Temas 2 y 3: Representación de la Información 45 Representación IEEE 754 Casos especiales: – Si c= Si m = 0 + ó - Si m <> 0 caracteres especiales – Si c= Excepción doble: Mantisa es 0.M Exponente: exceso N = 2 p-1 - 2

46 Temas 2 y 3: Representación de la Información 46 Representación IEEE 754 Precisión simple (Resumen): – Exceso normal N = = 127 – Si c=255 y m <> 0 M = carácter especial – Si c=255 y m = 0 M = (-1) s · infinito – Si 00 M = (-1) s · 0,m · 2 c-126 – Si c=0 y m = 0 M = 0

47 Temas 2 y 3: Representación de la Información 47 Representación IEEE 754 Un buen programador debe tener en cuenta cómo se almacenan los nº reales en el computador, ya que se pueden presentar problemas inherentes a la forma en que se representan los nº (con un número limitado de bits).

48 Temas 2 y 3: Representación de la Información 48 Representación IEEE 754 Dificultades al obtener : – resultados intermedios, de números excesivamente pequeños. Puede ocurrir al restar dos números casi iguales o al dividir si el divisor es mucho mayor que el dividendo. En estos casos puede perderse la precisión de los cálculos o producirse un desbordamiento a cero. – resultados numéricos excesivamente grandes, es decir por desbordamiento. Por ejemplo, al dividir un número por otro mucho menor que él o al efectuar sumas o productos sucesivos con números muy elevados.

49 Temas 2 y 3: Representación de la Información 49 Representación IEEE 754 Dificultades al comparar dos números : – En general una mantisa decimal no puede representarse exactamente con nm bits, lo que genera un error "de representación". Esto da lugar a problemas al comparar la igualdad entre ellos (máxime si los números se han obtenido con procedimientos distintos), ya que el computador considera que dos números son iguales únicamente si son iguales todos sus bits. – Luego, la detección de igualdades debe hacerse con números enteros o considerando que x=y si y solo si |x-y|

50 Temas 2 y 3: Representación de la Información 50 Contenidos 1. Números de precisión finita 2. Sistemas de numeración 3. Representación de números enteros 4. Representación de números reales 5. Representación de caracteres

51 Temas 2 y 3: Representación de la Información 51 Códigos alfanuméricos Los caracteres alfanuméricos se codifican mediante un número entero. – Caracteres alfabéticos – Caracteres numéricos – Caracteres de control – Caracteres especiales Códigos: ASCII, Unicode

52 Temas 2 y 3: Representación de la Información 52 Códigos alfanuméricos ASCII: (American Standard Code for Information Interchange) Muy utilizado 7 bits 2 7 caracteres = 128 caracteres Código ASCII extendido: 8 bits 2 8 = 256 caracteres

53 Temas 2 y 3: Representación de la Información 53 Códigos alfanuméricos Código ASCII

54 Temas 2 y 3: Representación de la Información 54 Códigos alfanuméricos Código de algunos caracteres: CarácterCódigoCarácterCódigo a97z122 A65Z NUL0

55 Temas 2 y 3: Representación de la Información 55 Códigos alfanuméricos Inconvenientes del código ASCII (sobre todo con Internet): – Los símbolos codificados son insuficientes para representar los caracteres especiales que requieren numerosas aplicaciones. – Los símbolos y códigos añadidos en la versión ampliada a 8 bits no están normalizados. – Están basados en los caracteres latinos, existiendo otras culturas que utilizan otros símbolos muy distintos. – Los lenguajes escritos de diversas culturas orientales, como la china, japonesa y coreana se basan en la utilización de ideogramas o símbolos, siendo, por tanto, inoperantes los códigos que sólo codifican letras individuales.

56 Temas 2 y 3: Representación de la Información 56 Códigos alfanuméricos Unicode (ISO/IEC 10646) – Propuesto por un consorcio de empresas y entidades que trata de hacer posible escribir aplicaciones que sean capaces de procesar texto de muy diversas culturas. – Propiedades buscadas: Universalidad, trata de cubrir la mayoría de lenguajes escritos existentes en la actualidad: 16 bits símbolos Unicidad, a cada carácter se le asigna exactamente un único código (idiogramascon imagen distinta, tienen igual código), y Uniformidad, ya que todos los símbolos se representan con un número fijo de bits (16).

57 Temas 2 y 3: Representación de la Información 57 Bibliografía Prieto et al. Introducción a la informática, McGraw Hill


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