La integral triple Los pasos para definir la integral triple de una función de tres variables F(x,y,z) definida en una región D del espacio son análogos.

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1 La integral triple Los pasos para definir la integral triple de una función de tres variables F(x,y,z) definida en una región D del espacio son análogos a los que se utilizaron para definir la integral doble.

2 La integral triple Consideremos una función F(x,y,z) definida en una región D del espacio, en donde D es una región cerrada y acotada.    Ejemplo: Sea D la región comprendida entre las superficies 

3 La integral triple Ejemplo: Sea D la región comprendida entre las superficies

4 La integral triple Por medio de planos paralelos a los planos coordenados hacemos una partición P de la región en paralelepípedos (cajas) Dk de volúmenes  Vk cuyos centros estén contenidos en D.    

5 La integral triple Ejemplo: El paralelepípedo que contiene a D será dividido en 4 x 4 x 4 = 64 partes iguales y si su centro está dentro de D se incluirá en la partición.   

6 La integral triple Ahora se hará lo mismo para 8 x 8 x 8 = 512 partes iguales. 

7 La integral triple Ahora se hará lo mismo para 16 x 16 x 16 = 4096 partes iguales. 

8 La integral triple F n k = 1 Vk (xk*, yk*, zk*)
.     Elegimos un punto (xk*, yk*, zk*) en cada subregión Dk, por ejemplo su centro, y formamos la sumatoria     n         F (xk*, yk*, zk*) Vk          (1)  k = 1     Ejemplo: Consideremos a la función F(x, y, z) = x + y + z, la cual ciertamente está definida en nuestra región D.     A continuación se muestra una tabulación de la sumatoria de Riemann definida en la ecuación 1, para distintos valores de n.  

9 La integral triple n 64 512 4,096 8,000 13,824 21,952 Suma 256 192 199

10 La integral triple n F(xk*, yk*, zk*) = lim
Cuando F(x, y, z) es continua en D, existe el límite de esta sumatoria cuando || P ||      0        n            y entonces decimos que F es integrable en esa región, y definimos la integral triple de F en D como     Definición:   Sea F(x,y,z) una función definida en una región cerrada D del espacio. Entonces la integral triple de F en D está dada por                         F(x,y,z) dV = D n = lim             F(xk*, yk*, zk*)         Vk k = 1  ||P||        0 La integral triple

11 La integral triple Ejemplo: El límite al que nos referimos en la definición es, para el presente ejemplo, calculado enseguida. El valor de la integral triple es = 64   Es importante haber comprendido el concepto de la integral triple. La evaluación de una integral triple en la práctica no es, afortunadamente, a través de la definición sino con integrales iteradas como veremos en la próxima sección.  

12 Es importante haber comprendido el concepto de la integral triple
Es importante haber comprendido el concepto de la integral triple. La evaluación de una integral triple en la práctica no es, afortunadamente, a través de la definición sino con integrales iteradas como veremos en la próxima sección.