Francisco Carlos Calderón

Presentación del tema: "Francisco Carlos Calderón"— Transcripción de la presentación:

1 Francisco Carlos Calderón
Transformada de Laplace y filtros analógicos Francisco Carlos Calderón PUJ 2010

2 Objetivos Definir la transformada de Laplace y estudiar algunas de sus propiedades. Analizar sistemas continuos utilizando la transformada de Laplace. Conocer las características de los principales filtros analógicos. Diseñar filtros analógicos usando MATLAB.

3 Transformada de Laplace
Sea la entrada a un SLIT, su salida está dada por: Por lo tanto si la entrada al SLIT es una exponencial compleja , se puede reemplazar esta expresión en la ecuación de convolución y de esa forma se obtendría que:

4 Transformada de Laplace
Simplificando:

5 Transformada de Laplace
Esta integral se define como la trasformada de Laplace de h(t). De forma más general, la trasformada de Laplace de una señal x(t) se define como:

6 Transformada de Laplace
Donde  es la parte real de s y  la parte imaginaria, Al reemplazarla en la integral se obtiene:

7 Transformada de Laplace
La transformada de laplace puede escribirse de la siguiente forma:

8 Convergencia de la transformada de Laplace
Para que la transformada de Laplace converja, es necesario que la Transformada de Fourier de: Converja, por lo tanto la transformada de Laplace posea un intervalo de valores de s para los cuales la transformada converge. Este intervalo de valores se conoce como la ROC (Region of Convergence).

9 Convergencia de la transformada de Laplace (ROC)
Tomando este límite por separado: Hallar X(s) = al separar los exponentes reales de el complejo se obtiene para que el límite converja es necesario que y de esta forma el límite tiene a cero. Así:

10 Convergencia de la transformada de Laplace (ROC)
Hallar X(s) Hallar X(s) ROC = ROC =

11 Convergencia de la transformada de Laplace (ROC)

12 Propiedades de la transformada de Laplace
Usando la notación: Y sean

13 Propiedades de la transformada de Laplace
Linealidad: Desplazamiento de tiempo: Desplazamiento de s

14 Propiedades de la transformada de Laplace
Conjugación Escalamiento en tiempo: Convolución: * Es el operador convolución

15 Propiedades de la transformada de Laplace
Diferenciación en tiempo y s Integración en t

16 Propiedades de la transformada de Laplace
Teorema del valor inicial y final: Si x(t)=0 para t<0

17 Propiedades de la ROC La Roc posee ciertas propiedades que ayudan en el análisis y definición de la misma. La ROC de X(s) consiste en bandas paralelas al eje j en el plano s. La ROC no contiene ningún polo. Si x(t) es de duración finita y absolutamente integrable, entonces la ROC es el plano s completo. Ejemplo: ROC = Todo el plano S IV) Si x(t) es derecha y si la línea Re{s] = 0 está en la ROC, entonces todos los valores finitos de s para los cuales Re{s] > 0 también estarán en la ROC. , entonces , con ROC .

18 Propiedades de la ROC v) Si x(t) es izquierda y si la línea Re{s] = 0 está en la ROC, entonces todos los valores de s para los cuales Re{s] < 0 también estarán en la ROC. , entonces , con ROC VI) Si x(t) es bilateral y si la línea Re{s] = 0 está en la ROC, entonces la ROC consistirá de una banda en el plano S que incluya la línea Re{s] = 0 . VII) Si X(s) es racional, entonces su ROC está limitada por los polos o se extiende al infinito.

19 Propiedades de la ROC VIII) Si x(t) es derecha, entonces la ROC será la región en el plano S que se encuentra a la derecha del polo localizado más hacia la derecha. IX) Si x(t) es izquierda, entonces la ROC será la región en el plano S que se encuentra a la izquierda del polo localizado más hacia la izquierda.

20 Referencias Señales y sistemas continuos y discretos, Soliman. S y Srinath. M. 2ª edición cap 5 Señales y sistemas ,Oppenheim, alan cap 9 Apuntes de clase Prof. Jairo Hurtado PUJ Apuntes de clase Prof. Julián Quiroga PUJ Apuntes de clase Prof. Andrés Salguero PUJ