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POLINOMIOS: M.C.D. Y M.C.M. FRACCIONES ALGEBRAICAS ECUACIONES ALGEBRAICAS.

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1 POLINOMIOS: M.C.D. Y M.C.M. FRACCIONES ALGEBRAICAS ECUACIONES ALGEBRAICAS

2 Recordemos primero cómo calculamos el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de varios números con un ejemplo: Sean los números 12 y 40 M.C.D. Y M.C.M. DE VARIOS POLINOMIOS Primero debemos descomponerlos en sus factores primos: 12 = 2 2. 3 40 = 2 3. 5

3 Para calcular el m.c.d. multiplicamos los factores comunes elevados al menor exponente m.c.d. (12, 40) = 2 2 = 4 Sin embargo para el m.c.m debemos multiplicar los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente m.c.m. (12, 40) = 2 3. 3. 5 = 120 12 = 2 2. 3 40 = 2 3. 5

4 Para calcular el m.c.d. y el m.c.m. en el caso de varios polinomios conviene recordar: ¿ Qué son polinomios primos? Factorización de polinomios

5 Son polinomios primos aquellos que sólo son divisibles entre sí mismos y la unidad. Ejemplos de polinomios primos: x x + 1 x - 2 2x + 1 x 2 + 1 x 4 + 2 En general son primos todos los polinomios de la forma (x – a)

6 P(x) = 6x 4 – 9x 3 – 33x 2 + 18x 1.¿Podemos sacar factor común? Sí, se repite 3x en todos los monomios que forman P(x). 2.¿Es identidad notable? No 3.¿Es ecuación de segundo grado? No 4.Luego como es un polinomio de grado tres, utilizaremos Ruffini. P(x) = 6x 4 – 9x 3 – 33x 2 + 18x = 3x·(2x 3 – 3x 2 – 11x +6) Ahora nos centraremos en factorizar… Comenzamos a factorizar siempre haciéndonos las mismas preguntas Veamos un ejemplo de factorización:

7 2x 3 – 3x 2 – 11x +6 Los divisores del término independiente, 6, son: 1, -1, 2, - 2, 3, - 3, 6, - 6. Comenzaríamos probando con el 1. 2-3-11+6 1 1 1 -2 -13 -7 Como no da cero borraríamos y probaríamos con otro divisor de 6. Probaríamos con el -1 y el 2 y comprobaríamos que el resto no es 0. Sin embargo con el -2 da 0. -2 2 -4 -7 14 3 -6 0 Así, P(x) = 6x 4 – 9x 3 – 33x 2 + 18x quedará factorizado: P(x) = 6x 4 – 9x 3 – 33x 2 + 18x = 3x·(2x 3 – 3x 2 – 11x +6) = = 3x·(x + 2)·(x 2 – 7x +3) Luego si -2 es raíz, un divisor de P(x) es: x + 2 Y el otro polinomio que obtenemos en Ruffini es: x 2 - 7x + 3 Por lo tanto: (2x 3 – 3x 2 – 11x +6) = (x + 2)·(x 2 – 7x +3)

8 Para acabar de factorizar tomaremos 2x 2 -7x +3 y hallaremos sus raíces. Igualamos a 0 el polinomio y resolvemos la ecuación: 2x 2 -7x +3 = 0 Las soluciones obtenidas serán: x 1 = 3 x 2 = Por lo tanto 2x 2 -7x +3 = x - 3 x – 1/2 (x – 3) (x – ½) · Así P(x) = 6x 4 – 9x 3 – 33x 2 + 18x quedará factorizado: P(x) = 6x 4 – 9x 3 – 33x 2 + 18x = 3x·(2x 3 – 3x 2 – 11x +6) = = 3x·(x + 2)·(2x 2 – 7x +3) = 3x ·(x + 2)·(x – 3) ·(x -1/2) · 2 ·2 ¿Por qué ponemos el 2? Porque si sólo multiplicamos (x – 3) · (x – ½), el coeficiente de mayor grado no quedaría 2x 2, sino x 2.

9 Recopilemos toda la información obtenida: Raíces: Polinomios divisores de P(x): -2 x + 2 3 x - 3 1/2 x – 1/2 ¡Pero falta otra raíz! P(x) = 3x ·(x + 2)·(x – 3)·(x -1/2) · 2 Como tenemos la x como factor, si igualamos a 0 dicho factor, obtenemos x = 0 0x

10 CÁLCULO DEL MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D) Y DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M)

11 Para calcular el m.c.d y el m.c.m, tenemos que tener los polinomios factorizados. Recuerda que para factorizar polinomios hay que seguir ciertos pasos: 1.Sacar factor común. 2.Mirar si es identidad notable. 3.Resolver la ecuación de segundo grado o Ruffini.

12 CÁLCULO DEL M.C.D. Hallemos el m.c.d de los polinomios P(x) y Q(x): P(x) = x 3 + x 2 - 4x - 4 Q(x) = 3x 2 - 12x + 12 El primer paso es factorizar dichos polinomios. P(x) = (x - 2)·(x + 2)·(x + 1) Q(x) = 3·(x - 2) 2 Ejemplo 1

13 La definición de m.c.d es: El producto de los factores comunes al menor exponente P(x) = (x - 2) ·(x + 2)·(x + 1) Q(x) = 3·(x - 2) 2 Luego si los polinomios P(x) y Q(x) factorizados son: El único factor común, y al menor exponente es (x - 2) m.c.d(P(x), Q(x)) =

14 Ejemplo 2 P(x) = 48x 6 - 144x 4 + 96x 3 = Q(x) = 4x 4 + 8x 3 - 12x 2 = Factorizamos los polinomios · (x+2) ·(x+3) Recordemos que el m.c.d son factores comunes al menor exponente, luego en este caso los factores comunes son: 2424 2 · (x-1) 2 2 y (x-1) Como tiene que ser al menor exponente, 2 2 (x-1)2 2 · m.c.d(P(x),Q(x)) = 2424 · 3 ·x3x3 · (x-1) 2 · x 2 · (x-1) 2 2 · (x-1)

15 CÁLCULO DEL M.C.M. Hallemos el m.c.m de los polinomios P(x) y Q(x): P(x) = x 3 + x 2 - 4x - 4 Q(x) = 3x 2 - 12x + 12 El primer paso es factorizar dichos polinomios. = (x - 2)·(x + 2)·(x + 1) = 3·(x - 2) 2 Ejemplo 1 La definición de M.C.M. es: el producto de los factores comunes y no comunes al mayor exponente.

16 P(x) = Q(x) = Luego si los polinomios P(x) y Q(x) factorizados son: Los factores comunes son: (x - 2) (x - 2) 2 (x - 2) m.c.m(P(x), Q(x)) = 3, (x + 2) y (x + 1). 3· · (x + 2) · (x + 1) (x - 2) 2 3· · (x + 2) · (x + 1) 3·(x + 2)·(x + 1)· Como tienen que ser al mayor exponente, el (x - 2) 2 y los no comunes son: (x – 2) · (x + 2) ·(x + 1) · (x - 2) 2 3·

17 Ejemplo 2 P(x) = 48x 6 - 144x 4 + 96x 3 Q(x) = 4x 4 + 8x 3 - 12x 2 Factorizamos los polinomios · (x+2) ·(x+3) Recordemos que el m.c.m son factores comunes y no comunes al mayor exponente, luego en este caso, = 2 2 (x+2) ·24·24· m.c.m(P(x),Q(x)) = 2424 · 3 ·x3x3 · (x-1) 2 = · x 2 · (x-1) 3 ·x 3 ·(x+3) · (x-1) 2

18 FRACCIONES ALGEBRAICAS En la multiplicación y división de fracciones algebraicas se factoriza tanto el numerador como el denominador, se multiplica o se divide, según sea, y se simplifica: Ejemplo:Factorizamos Operamosy simplificamos

19 Para sumar o restar fracciones algebraicas tendremos que hacer como a la hora de sumar o restar fracciones, calcular el m.c.m de los denominadores Calculemos: Lo primero será factorizar los denominadores: m.c.m

20 = ·(x-2)· x·x (x+2) Sustituimos los denominadores por el m.c.m Dividimos el m.c.m entre cada denominador y lo multiplicamos por el numerador. Operamos y… ya está

21 FRACCIONES ALGEBRAICAS: ECUACIONES Estas ecuaciones se resuelven aplicando las mismas propiedades que para cualquier otro tipo de ecuación. Veamos algunos ejemplos: Debemos reducir a común denominador ambos miembros de la ecuación recordando lo que sabemos sobre polinomios primos Ejemplo 1:

22 En la ecuación: El m.c.m. de los denominadores será simplemente su producto 6x Eliminamos denominadores y resolvemos:

23 Como el cociente es por jerarquía anterior a la suma, primero operaremos: Siempre que tengamos dos fracciones separadas por un signo =, el mejor método Ejemplo 2:

24 será utilizar la propiedad “producto de medios igual a producto de extremos”

25 Ejemplo 3: Una fracción vale cero cuando vale cero su numerador

26 Ejemplo 4 Primero factorizamos los denominadores en polinomios primos:

27 Calculamos el m.c.m. de los denominadores multiplicando los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente Reducimos a común denominador

28 eliminamos denominadores y resolvemos

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