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--Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez 1 CÁLCULO I Arturo Hidalgo, Manuel Hervás, Ramón Rodríguez, Félix Míguez Dpto.

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1 --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez 1 CÁLCULO I Arturo Hidalgo, Manuel Hervás, Ramón Rodríguez, Félix Míguez Dpto. Matemática Aplicada y Métodos Informáticos E.T.S.I. Minas. Universidad Politécnica de Madrid BLOQUE 2º: APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL Longitud de una curva plana

2 --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez 2 Longitud de una curva Si n = 2 curva plana Si n = 3 curva alabeada

3 --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez 3 Distinguiremos entre: Curvas de clase C1 derivables en todo punto Curvas NO de clase C1 NO derivables en algún punto Una curva se llama rectificable si su longitud es FINITA

4 --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez 4 Se inscribe una línea poligonal cualquiera. La l ll longitud de la curva es el límite al que tiende la longitud de la poligonal inscrita cuando las longitudes de todas sus cuerdas tienden a cero Para obtener la longitud de una curva C 1

5 --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez 5 Si la curva no es C1, Se tomará la mayor de las poligonales inscritas, para asegurarnos que se abarque el bucle. En la práctica, se trabajará con unas ecuaciones paramétricas de la curva.

6 --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez 6 Curva expresada en forma explícita y = f(x) ab A B Longitud de AB = dx dy dl

7 --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez 7 Curva expresada en forma paramétrica y = f(t) x = g(t) ab A B Longitud de AB = dx dy dl

8 --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez 8 Curva expresada en polares Longitud de AB = A B

9 --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez 9 Ejemplo Calcular la longitud del arco de curva: entre x = 0, x = 2 Solución: Fórmula a emplear: Calculamos:

10 --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez 10 Ejemplo Calcular la longitud de la astroide: Solución: Puntos de corte con los ejes: x = a, x = -a y = a, y = -a Vamos a hacernos una idea de la forma de la curva:

11 --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez 11 Simetrías: Respecto eje x: Respecto eje y: a -a a l Por ser simétrica resp. x e y: Longitud astroide = 4. l

12 --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez 12 Pasamos a paramétricas: Los límites de integración se colocan dejando la curva a la izquierda al recorrerla. a0 + Nuevos límites de integración:

13 --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez 13

14 --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez 14

15 --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez 15 A B Ejemplo Calcular la longitud de la cardioide: = 2.a.(1+cos( )) Solución: La curva viene dada por su expresión en polares. La representación gráfica de dicha curva es:

16 --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez 16 Dado que la curva es simétrica respecto al eje polar podemos calcular la longitud entre 1 =0 y 2 =.

17 --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez 17 Por lo tanto, se tendrá: Empleamos ahora las relaciones trigonométricas: de donde, operando:

18 --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez 18 Podemos entrar ya en la integral que calcula la longitud de la curva: Operando y reordenando:

19 --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez 19 EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Calcular la longitud de una circunferencia de radio R 2. Calcular la longitud del arco de cicloide: Solución: 2..R Solución: 8.a

20 --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez Calcular la longitud de la curva: Solución: Entre t=0 y t=4 (*) F. Coquillat: Cálculo Integral. Metodología y Problemas Ed. Tébar Flores. (*) 4. Calcular la longitud de la curva: Solución: Con [0, 3 ] (*)

21 --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez A) Calcula la longitud de la curva: Solución: Entre: (*) (*) F. Coquillat: Cálculo Integral. Metodología y Problemas Ed. Tébar Flores. y B)Comprueba que la expresión anterior se puede escribir: Pista: Haz el cambio y=argcsch(x) x=csch(y)

22 --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez A) Calcula la longitud de la curva: Solución: entre: (*) (*) F. Coquillat: Cálculo Integral. Metodología y Problemas Ed. Tébar Flores. y B)Comprueba que la expresión anterior se puede escribir: Pista: Haz el cambio y=argSh(x) x=Sh(y)


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