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UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BUCARAMANGA FIRMAS DIGITALES UTILIZANDO CURVAS ELIPTICAS Msc Miguel Cadena Carter Msc Juan Carlos Martínez Q Laboratorio de Computo.

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1 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BUCARAMANGA FIRMAS DIGITALES UTILIZANDO CURVAS ELIPTICAS Msc Miguel Cadena Carter Msc Juan Carlos Martínez Q Laboratorio de Computo especializado UNAB

2 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BUCARAMANGA PROBLEMA Transmisión de información en forma segura en un medio inseguro. –Redes Lan Manejo de documentos –Internet Comercio electrónico

3 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BUCARAMANGA SERVICIOS Autenticidad Se debe garantizar que la identidad del emisor este directamente relacionada con el documento Integridad Se debe eliminar la posibilidad de alteraciones al documento No repudio

4 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BUCARAMANGA Criptografía Simétrica o Convencional (una sola clave) –Se encripta y se decripta con la misma clave –Rápida –Grandes cantidades de información Pública (dos clave) –Clave Privada (KR) –Clave Pública (KU) –Se encripta con una clave, se decripta con la otra. –Lenta –Cantidades pequeñas de información (una clave de criptografia convencional)

5 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BUCARAMANGA FUNCIONES HASH h = H(M) El propósito de una función hash es producir una huella digital de un archivo. Tiene las siguientes características –H puede aplicarse a mensajes de cualquier tamaño. –H produce salidas de longitud fija –H(M) fácil de calcular en hardware y software –Comp. infactible encontrar M tal que H(M)= h

6 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BUCARAMANGA FUNCION SHA1 Produce un resumen del archivo de 160 Bits de longitud. Divide el mensaje en bloques de 512 bits, agrega un 1 seguido de 0s cuando el bloque es < 512. Procesa cada bloque en secuencia utilizando la salida de cada bloque como entrada para el próximo.

7 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BUCARAMANGA Qué es una firma digital?

8 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BUCARAMANGA FIRMAS DIGITALES Garantizan autenticidad e integridad Para evitar repudiación se utiliza un servidor de certificados (Notaria) No garantizan secreto

9 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BUCARAMANGA CARACTERISTICAS Los procedimientos de firmas digitales se apoyan en problemas matemáticos cuya solución es computacionalmente infactible si se desconocen las claves de acceso El conocimiento de las claves de acceso permite la solución del problema en forma rápida.

10 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BUCARAMANGA ESQUEMA GENERAL DE FIRMA DIGITAL Emisor (A)Receptor (B) m hE || m h D Comparación M = Mensaje h = Hash del mensaje (emisor) h = Hash del mensaje (receptor) E = Proceso de encriptamiento || = Concatenación D = Decriptamiento K puba = Clave pública de A K Ra = Clave privada de A EK Ra [H(m)] K Ra K puba

11 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BUCARAMANGA Firmas Digitales Utilizando Curvas Elípticas El algoritmo se basa en el problema del logaritmo discreto en el grupo formado por los puntos de una curvas elíptica definida en un cuerpo de Galois. El mejor algoritmo conocido corre en tiempo exponencial.

12 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BUCARAMANGA Qué es una curva elíptica? Una curva elíptica E sobre Zp ( p>2) esta definida por una ecuación de la forma y 2 = x 3 + ax + b, (1) donde a, b Zp, y 4a b 2 0 (mod p), junto con un punto especial 0, llamado el punto en el infinito. El conjunto E(Zp) consiste en todas las puntos (x, y), x Zp, y Zp, que satisfacen la ecuación (1), junto con el punto 0.

13 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BUCARAMANGA Qué es una curva elíptica? Ejemplo 3 (curva elíptica sobre Z 23 ) Sea p = 23 y E: y 2 = x 3 + x definida sobre Z 23. Los puntos en E(Z 23 ) son los siguientes: (0, 1) (0,5) (1, 18) (9,5) (9,18) (11,10) (11,13) (13,5) (13, 18) (15,3) (15,20) (16,8) (16,15) (17,10) (17,13) (18,10) (18,13) (19,1) (19,22) (20,4)(20,19) (21,6) (21,17)

14 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BUCARAMANGA

15 Formula de adición Existe una regla para sumar dos puntos sobre una curva elíptica E(Zp), de tal forma que la suma sea otro punto de la curva. El conjunto de puntos E(Zp) junto con la operación de suma anteriormente mencionada forman un grupo abeliano, donde el punto infinito O es el elemento neutro.

16 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BUCARAMANGA Formula de adición Sean P = (x 1, y 1 ) y Q = (x 2, y 2 ) dos puntos distintos en una curva elíptica E. Entonces la suma de P y de Q, denotada por R = (x 3, y 3 ), se define de la forma siguiente. Primero trace la línea a través P y Q; esta línea intercepta la curva elíptica E en un tercer punto. Entonces R es la reflexión de este punto sobre el eje x.

17 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BUCARAMANGA Formula de adición Si P = (x 1, y 1 ), entonces el doble de P, denotado R = (x 3, y 3 ) se define como sigue. Primero trace la línea tangente a la curva elíptica en P. Esta línea intercepta a la curva elíptica en un segundo punto. La reflexión de este punto respecto al eje x es R. 1. P + O = O + P = P para todo el P E(Zp). 2. Si P = (x, y) E(Zp), entonces (x, y) + (x, - y) = O. El punto (x, - y) se denota por - P E(Zp), y se llama inverso aditivo de P.

18 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BUCARAMANGA Formula de adición Sean P = (x 1, y 1 ) E(Zp) y Q = (x 2, y 2 ) E(Zp), dondeP - Q. Entonces P+Q = (x 3, y 3 ), donde x 3 = 2 - x 1 - x 2, y 3 = (x 1 -x 3 ) - y 1,

19 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BUCARAMANGA Suma de Puntos

20 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BUCARAMANGA CUERPOS Conjunto de elementos con dos operaciones definidas (suma, multiplicación) Suma es un grupo aditivo abeliano Multiplicación es un grupo multiplicativo abeliano (todos los elementos 0 tienen su inverso multiplicativo) El campo es finito si tiene un número finito de elementos. El orden de F es el numero de elementos de F. Ejemplos Reales, Complejos, Enteros mod p.

21 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BUCARAMANGA CUERPO F 2 m Los elementos de F 2 m son polinomios de grado menor que m con coeficientes en el cuerpo F 2. El Cuerpo F 2 m es finito y tiene 2 m elementos que se pueden representar por cadenas de unos y ceros con una longitud máxima de m

22 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BUCARAMANGA CUERPO F 2 m Operaciones en F 2 m –Suma –Resta –Multiplicación –Cálculo del Inverso Multiplicativo –Exponenciación

23 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BUCARAMANGA g0 = (0001) g1 = (0010) g2 = (0100) g3 = (1000) g4 = (0011) g5 = (0110) g6 = (1100) g7 = (1011) g8 = (0101) g9 = (1010) g10 = (0111) g11 = (1110) g12 = (1111) g13 = (1101) g14 = (1001) g15 = (0001) Curva elíptica en el Cuerpo F 2 4 g = (0010) f(x) = x 4 + x + 1.

24 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BUCARAMANGA Curvas Elípticas El conjunto conformado por las soluciones a la curva mas el punto en el infinito junto con la operación de suma de puntos conforman un grupo aditivo.

25 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BUCARAMANGA Qué es un grupo?

26 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BUCARAMANGA Ejemplos de Grupos Ejemplo 1 (Los enteros modulo n) Zn = {0, 1, 2,.., n - 1}, bajo la adición modulo n, forman un grupo de orden n. Si p es un número primero, entonces los elementos diferentes a cero de Z* p = {1, 2,.., p -1}, forman un grupo de orden p – 1, bajo operación de multiplicación modulo p.

27 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BUCARAMANGA El problema del logaritmo discreto Sea G un grupo finito cíclico de orden n. Sea un generador de G y sea G. El logaritmo discreto de a la base, expresado como Log es el único entero x, 0 x n-1, tal que = x Si el grupo es aditivo el problema del logaritmo discreto es: Dados P y Q miembros del grupo, encontrar un numero k tal que kP = Q; k se denomina el logaritmo discreto de Q en la base P

28 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BUCARAMANGA Ejemplo 7 0 mod 13 = mod 13 = mod 13 = mod 13 = mod 13 = mod 13 = mod 13 = mod 13 = mod 13 = mod 13 = 8 En el grupo Z * 13 cual es el logaritmo discreto de 8 en la base 7. 7 x mod 13 = 8

29 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BUCARAMANGA ESQUEMA DE FIRMA NYBERG- RUEPPEL Sea e el valor hash del documento Sea E una curva elíptica Sea P un punto de la curva con un orden grande y primo. Sea s la clave privada del emisor s=H(f1) Sea Q = sP la clave publica del emisor

30 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BUCARAMANGA Generar un número aleatorio k y calcular R = kP Usando la componente x del Punto P como si fuese un entero,calcular. c = x + e mod n d = k - sc mod n ESQUEMA DE FIRMA NYBERG- RUEPPEL

31 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BUCARAMANGA El par (c,d) es la firma del documento representado por el valor hash Para verificar La firma se debe calcular R= dP + cQ Usando la componente x de R e = c-x mod n Se calcula un nuevo hash del documento y si el mismo es igual a e, la firma es correcta. ESQUEMA DE FIRMA NYBERG- RUEPPEL

32 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BUCARAMANGA [ELIPCUR1] CERTICOM WHITE PAPER. REMARKS ON THE SECURITY OF THE ELLIPTIC CURVE CRIPTOSYSTEM. CERTICOM. 1997

33 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BUCARAMANGA Conclusiones La teoría de curvas elípticas y los desarrollos de software de dominio publico permiten a través de su estudio la construcción de aplicaciones que ofrecen los servicios de Autenticidad e Integridad. Los servicios de secreto e intercambio de claves de criptografía simétrica se pueden implementar fácilmente a partir de las aplicaciones realizadas. Es necesaria el mejoramiento de las técnicas de programación para evitar la exposición de información critica en memoria y los ataques por desbordamiento de pila. Se requiere mayor investigación sobre métodos para generación de buenas curvas en tiempo polinomial.

34 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BUCARAMANGA APLICACIÓN PARA REALIZAR FIRMAS DIGITALES


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