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INGENIERÍA ECONÓMICA. MODULO II FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO Relación prestamista - prestatario. Formas de pago de un préstamo. Pago único. Serie uniforme.

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1 INGENIERÍA ECONÓMICA

2 MODULO II FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO Relación prestamista - prestatario. Formas de pago de un préstamo. Pago único. Serie uniforme. Amortización constante.

3 MODULO II FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO Serie gradiente. Serie gradiente porcentual. Equivalencias para formas de pago.

4 RELACIÓN PRESTAMISTA - PRESTATARIO Prestamista: persona natural o jurídica que concede dinero en préstamo. Prestatario: persona que recibe dinero en préstamo. Elementos de un préstamo: ; Magnitud o monto. ; Valor de la tasa de interés. ; Plazo.

5 RELACIÓN PRESTAMISTA - PRESTATARIO ; Forma de pago. ; Garantía o fiador. ; Requisitos de capacidad de pago. ; Periodo de gracia: tiempo durante el cual se pueden pagar únicamente los intereses o también puede ser el tiempo durante el cual los intereses se capitalizan, pero no hay desembolso alguno por el prestatario.

6 ; Amortización del préstamo original: toda cuota o pago de un préstamo la podemos descomponer en dos partes: una correspondiente a la disminución o abono que hagamos al préstamo original, la otra será el componente de interés. La amortización nunca será negativa y cuando no hay amortización se entenderá que toda la cuota corresponde a intereses. RELACIÓN PRESTAMISTA - PRESTATARIO

7 FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO SERIE UNIFORME: Se hace un préstamo a una tasa de interés por periodo y se paga en cuotas exactamente iguales. P AAAAA n

8 FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO SERIE DE PAGOS DE AMORTIZACIÓN CONSTANTE: El préstamo se paga en cuotas periódicas de las cuales el contenido de amortización del principal siempre es igual. A2A2 AnAn A3A3 P 123n A1A1 0

9 FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO SERIE GRADIENTE: El préstamo de paga en cuotas que pueden aumentar o disminuir un monto uniforme cada periodo (sucesión aritmética). 12n A1A1 A2A2 AnAn P 3 A3A3 0

10 FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO SERIE GRADIENTE PORCENTUAL: El préstamo se paga en cuotas que pueden aumentar o disminuir un porcentaje cada periodo (sucesión geométrica). A1A1 A2A2 AnAn P 12n 0

11 PAGO ÚNICO F = P(1+i) n P F 1 2 n 0

12 PAGO ÚNICO Demostración de la formula de valor futuro, donde: P: préstamo i: tasa de interés n: plazo F: pago único S K : saldo o deuda al final de cualquier período K Total intereses: I = Total pagado-Total prestado I = F-P (1)

13 PAGO ÚNICO

14 EJEMPLO: Se ahorran 1´ de pesos el 1 de marzo del 2002, en una entidad que reconoce el 1% efectivo mensual. ¿Cuál es el valor futuro el 31 de diciembre de 2003? ¿Cuál era el saldo después de pagar la cuota del 30 de junio de 2002? Valor futuro: F = P(1+i) n (3) Para tablas: F = P(F/P,i,n)(3´) Valor futuro 31/12/2003:1´ (1+0.01) 22 = $1´ ,86 Saldo:S k = P(1+i) k (2) Saldo 30/06/2002: 1´ (1+0.01) 4 = $1´ ,01

15 SERIE UNIFORME P AAAAA n A = P * i (1+i) n (1+i) n -1

16 SERIE UNIFORME Demostración de las fórmulas para serie uniforme, donde: A: cuota uniforme. a k : abono o parte de la cuota que amortiza la deuda. I k : parte de la cuota que cubre intereses. P k : valor presente equivalente a la cuota del periodo k.

17 SERIE UNIFORME P será equivalente a los pagos efectuados considerando la tasa i, ello implica que P será igual a la suma de los valores presentes de las cuotas. P k = A * (1+i) -k según formula (3) P = P k por principio N°2 P = A * (1+i) -k P=A*{(1+i) -1 +(1+i) (1+i) -(n-1) +(1+i) -n } (1 * ) P(1+i)=A{(1+i) 0 +(1+i) -1 +(1+i) (1+i) -n+2 +(1+i) -n+1 } (2 * )

18 SERIE UNIFORME Si usted resta (2 * ) de (1 * ), simplifica y despeja A. A = P * i (1+i) n (4) (1+i) n -1 El factor de P en la formula (4) para uso de tablas se identificará así: (A/P,i,n) Se podrá escribir así: A = P * (A/P,i,n) (4)

19 SERIE UNIFORME Despejando P de (4) tendremos: Para las tablas: P = A * (P/A,i,n) (4) (1+i) n - 1 i (1+i) n P = A * (4)

20 P S K k+1 n K PAGADAS (n-k) PENDIENTES 0 k AAAAAAAA SERIE UNIFORME Saldo o deuda:

21 SERIE UNIFORME Si P es el valor presente de todas las cuotas, s k será el valor presente de las (n-k) restantes. Aplicamos la (4) con n = (n-k) S k = A (1+i) n-k -1 i (1+i) n-k (5)

22 SERIE UNIFORME En la cuota A ¿qué parte es abono al capital y que parte corresponde a intereses? a k = S k-1 - S k (6) I k = i S (k-1) (7) I k = A- a k

23 C omportamiento del saldo (S k ) para la forma de pago serie uniforme n k S k P En una serie uniforme el comportamiento del saldo es decreciente siendo cero en el periodo n.

24 SERIE UNIFORME Ejemplo: Se hace un préstamo de un millón de pesos al 0.5% de interés mensual efectivo para pagarlo en cuotas iguales de fin de mes.¿Cuál es al valor de la cuota mensual? Solución: P AAAA A

25 SERIE UNIFORME A = ( ) 24 ( ) = $44.320,61 Resolver el ejemplo anterior si el trabajador paga a principio de mes. Solución: Se debe transladar el préstamo a un periodo antes con la formula de pago único y luego aplicamos la formula de A.

26 SERIE UNIFORME P 0 0´ AAAAA F = P(1+i) n= ( ) -1 = ,87 A = ( ) 23 ( ) = $

27 SERIE UNIFORME Cuál es la deuda del trabajador en el ejemplo después de haber pagado la cuota 19. Solución: S 19 $ PAGADAS (24-19) 0 19 A A AAAA i:0.5%

28 SERIE UNIFORME S 19 = ,61 ( ) ( ) 5 =$ ,399 En la cuota 19 ¿qué parte es abono al capiltal y que parte es interés? Solución: a 19 = S 18 – S 19 S 18 = ,61 ( ) ( ) 6 = $ ,35

29 a 19 =$43.013,9 I 19 = ,35*0.005 = $ Para ese trabajador ¿cuál es el total de intereses pagados? Solución: I = total de intereses pagados – total pagado I= n A-P = $63.644,40 SERIE UNIFORME

30 CAPITALIZADORAS UNA APLICACIÓN DE LA SERIE UNIFORME A: Ahorro AAAA F = ? n Periodos Interés = i

31 CAPITALIZADORAS UNA APLICACIÓN DE LA SERIE UNIFORME Dados A, i y n se deberá calcular F. F: será el valor futuro en n equivalente al valor presente de la serie uniforme. F = P (1+i) n aplicando (3) Pero: (1+i) n - 1 i (1+i) n P = A aplicando (4)

32 CAPITALIZADORAS UNA APLICACIÓN DE LA SERIE UNIFORME (1+i) n - 1 i (1+i) n F = A *(1+i) n Entonces: (1+i) n - 1 i F = A *(8) Para el uso de tablas: F = A * (F/A, i, n) (8´)

33 CAPITALIZADORAS UNA APLICACIÓN DE LA SERIE UNIFORME Ejemplo: Un ingeniero ahorra pesos al principio de mes en una entidad que le reconoce el 2% efectivo mensual, esto lo hace durante 5 años. ¿ Cual es el valor acumulado al final del ultimo mes?

34 CAPITALIZADORAS UNA APLICACIÓN DE LA SERIE UNIFORME 0´ meses F = ? i= 2% ef. mensual

35 CAPITALIZADORAS UNA APLICACIÓN DE LA SERIE UNIFORME Solución: F 59 = valor futuro de los 60 ahorros en el mes 59. F 59 = (F/A, 2%, 60) F 59 = ( ) F 59 = ,8 F = F 59 (1.02) 1 F = ( ,8) (1.02) F = ,96

36 AMORTIZACIÓN CONSTANTE n A2A2 AnAn A3A3 P A1A1 0 A k = i P (k - 1) P n n

37 AMORTIZACIÓN CONSTANTE Demostración de la formulas para amortización constante, donde: A k : cuota al final del periodo k. S k : saldo después de pagar la cuota A k. Como su nombre lo indica, en esta forma de pago el abono a la deuda es igual, por lo tanto: a 1 = a 2 = a 3 = a k = a n = P/n (9)

38 AMORTIZACIÓN CONSTANTE A 1 = i P + (P/n) Si se abonó (P/n), entonces S 1 = P - (P/n) S 1 = P 1 - 1n1n A 2 = i S 1 + (P/n) i P n1n PnPn S 2 = P - = P 1 - 2n2n 2P n Entonces:

39 AMORTIZACIÓN CONSTANTE A k = i P (k-1) n PnPn S k = P 1 - knkn I k = i P 1 - (k-1) n (10) (11) (12)

40 AMORTIZACIÓN CONSTANTE Ejemplo: Se tiene un préstamo de un millón de pesos al 3% mensual sobre saldos. Si se paga en 10 cuotas mensuales de amortización constante,¿cuál es el valor de la primera y tercera cuota? ¿Cuál es el saldo una vez pagada la tercera cuota?

41 AMORTIZACIÓN CONSTANTE A 3 = (3 - 1) A 3 = S 3 = = A 1 = (1- 1) A 1 = Solución:

42 SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) n A1A1 A2A2 AnAn P A3A3 0 A K = A 1 + (K - 1)*g

43 SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) Esta forma de pago se compone por la suma de dos series, una que se comporta de manera uniforme y otra que sufre un cambio aritmético para cada periodo. Demostración de la formula para serie gradiente, donde: g : aumento aritmético de la cuota. A k seria: A 1 = A 1 A 2 = A 1 + g A 3 = A 2 + g = A 1 + g + g = A 1 + 2g A K = A 1 + (k - 1) g (en funciòn de A 1 ) (13)

44 SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) La parte gradiente se transforma en una serie equivalente uniforme que se llama A g, entonces, la serie gradiente original será equivalente a la suma de las dos series uniformes. A t =A 1 +A g (14) A 1 :serie parte uniforme. A g :serie uniforme equivalente a parte gradiente. A t :serie uniforme total equivalente a la serie gradiente original. P n-1 n... 0 A1+AgA1+Ag

45 SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) A g se halla llevando cada uno de los aumentos (g, 2g, 3g,...) al presente y sumandolos, después esta sumatoria se distribuye en una serie uniforme y se obtendría: Por tablas sería: A g = g(A/g,i,n) (15) (15)

46 SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) De (14) tenemos: A 1 = A t - A g Por tabla seria: A 1 = P(A/P,i,n) - g(A/g,i,n) (16) (16)

47 SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) Para uso de tablas: P(A/P,i,n) = A 1 + g(A/g,i,n) (17) (17) Partiendo de (16) se obtiene:

48 SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) Una vez pagada A k quedan pendientes n-k cuotas, empezando por A k+1 y terminando en A n. S k será el valor presente en k de esas cuotas pendientes. P Sk = ? n - k Pendiente s k k-1 k pagados AkAk 0 A k + 1 An.

49 SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) Utilizando (17) con "A 1 " = A k+1 Y remplazando en (13) tenemos: A k + 1 = A 1 + (k+1-1)g, de donde "A 1 " = A 1 + k g De lo anterior: (18)

51 Solución: A 1 = 1000(A/P,30%,n) - 200(A/g,305,5) A 1 = 1000( ) - 200( ) A 1 = A 5 = A 1 + (5 - 1)*$200 A 5 = *$200 A 5 = SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

52 Para los datos del ejemplo, calcular el saldo despuès de pagada la tercera cuota. Solución: P = 1.000, i = 30%, n = 5 y A 1 = S 3 = 1.088,05

53 SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) PARA LA SERIE GRADIENTE DECRECIENTE SE UTILIZAN LAS MISMAS FÓRMULAS QUE EN LA CRECIENTE, PERO SE REEMPLAZA g POR -g.

54 SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA) A k = A 1 (1+ i g ) k-1 A1A1 A2A2 AnAn P 1 2 n-1 n 0 A n-1

55 SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA) Demostración de la formula para serie gradiente porcentual, donde: i g :incremento porcentual en las cuotas. A 1 = A 1 A 2 = A 1 + A 1 * i g = A 1 (1+ i g ) A 3 = A 2 +A 2 *i g = A 2 (1+i g ) = A 1 (1+ i g ) 2 A 4 = A 3 + A 3 *i g = A 3 (1+ i g ) = A 1 (1+ i g ) 3 A k = A 1 (1+ i g ) k-1 (en función de A 1 ) (19)

56 SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA) Al reemplazar en la fórmula (19), obtenemos: P k = A 1 (1+i g ) k-1 (1+i) -k pero P k = A k (1+i) -k Para obtener A l se debe llevar el valor de cada cuota al presente (P k ) y después realizar la sumatoria la cual es equivalente al préstamo P.

57 SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA) Expandiendo la sumatoria: P=A 1 (1+i g ) 0 (1+i) -1 +(1+i g ) 1 (1+i) (1+i g ) (n-1)-1 (1+i) -(n-1) + (1+i G ) n-1 (1+i) -n (1 * ) Multiplicando a ambos lados por: (1+i g ) 1 (1+i) -1 tendremos: P (1+i g )(1+i) -1 =A 1 (1+i g ) 1 (1+i) -2 + (1+i g ) 2 (1+i) (1+i g ) (n-1) (1+i) -n + (1+i g ) n (1+i) -n-1 (2 * )

58 SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA) El factor del corchete solo será válido para i i g, pues el denominador no puede ser cero. (20) Restar de (1 * ) a (2 * ), simplificar y despejar para obtener:

59 SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA) (20) i i g De la fórmula (20) podemos despejar P: Partiendo de esta fórmula se puede hallar S k.

60 SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA) P A1A1 A2A2 AkAk A k+1 AnAn S k = ? Pendientes n-k cuotas 12kk+1 n 0 k Pagadas El saldo (S k ) será el valor presente en k de las cuotas pendientes (n-k).

61 SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA) Utilizando (20) con "A 1 " = A k+1 y remplazando en (19) tenemos: A k + 1 = A 1 (1+i g ) k+1-1, de donde "A 1 " = A 1 (1+i g ) k De lo anterior: (18) i i g

62 SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA) Ejemplo: Se tiene un préstamo de pesos a 5 años para pagarlo en 5 cuotas que se van incrementando el 20% anual. Si la tasa de interés anual es del 30%, ¿cuál es el valor de la primera y ultima cuota?.

63 SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA) Solución: A 5 = (1+0.2) 5-1 = $628,69

64 SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA) Para el ejemplo anterior ¿cuál es el saldo una vez pagada la tercera cuota? Solución: i g = 20%, P = 1.000, n = 5, i = 30% y A 1 = 303,19

65 Comportamiento del saldo (S K ) para las formas de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.

66 Análisis de los tres intervalos. Intervalo I: El saldo es creciente: S k > S k-1 > P No hay amortización: a k = 0 La cuota es totalmente intereses: A k = I k La cuota es inferior a los intereses generados en el período: A k = I k < i. S k-1 Comportamiento del saldo (S K ) para las formas de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.

67 Intervalo II: El saldo es decreciente: P< S k < S k-1 No hay amortización: a k = 0 La cuota es intereses: I k = A k La cuota paga intereses acumulados e intereses del período: A k = I k > i S k-1 Comportamiento del saldo (S K ) para las formas de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.

68 Intervalo III: El saldo es decreciente pero inferior a P: P > S k-1 > S k Hay amortización: a k > 0; a k = S k-1 - S k Los intereses contenidos en la cuota son: I k = A k - a k Como no se pagan intereses acumulados, entonces: I k = i S k-1 Comportamiento del saldo (S K ) para las formas de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.

69 Cuando eventualmente se pase del intervalo II al intervalo III: S k-1 > P > S k, entonces, la amortización contenida en A k será: a k = P - S k Recordemos que se amortiza sólo lo que abonamos al principal. Así que: I k = A k - a k No olvidemos que siempre A k = a k + I k Comportamiento del saldo (S K ) para las formas de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.

70 EQUIVALENCIAS PARA FORMAS DE PAGO


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