Tema 5 La demanda individual.

Tema 5 La demanda individual

Función de Demanda Dado un conjunto de precios y renta, a la elección óptima se la denomina cesta demandada Cuando varían los precios y la renta, también varía la elección óptima Las funciones de demanda muestran las cantidades óptimas de cada uno de los bienes en función de los precios y de la renta del consumidor

Función de Demanda Análisis de estática comparativa:
estudiaremos cómo las cantidades demandadas de los bienes varían cuando varían los precios y la renta

Variaciones en la Renta
¿Cómo cambia el valor de x1*(p1,p2,m) a medida que m varía, cuando ambos precios p1 y p2 se mantienen constantes?

Variaciones en la renta
m’ < m’’ < m’’’

m’ < m’’ < m’’’ x2’’’ x2’’ x2’ x1’ x1’’’ x1’’

m’ < m’’ < m’’’ Curva Oferta-Renta x2’’’ x2’’ x2’ x1’ x1’’’ x1’’

La Curva de Engel muestra cómo varía la demanda cuando varía la renta y los precios se mantienen constantes

m’ < m’’ < m’’’ Curva Oferta-Renta x2’’’ x2’’ x2’ x1’ x1’’ x1’’’

m’ < m’’ < m’’’ Curva Oferta-Renta m’’’ Curva Engel m’’ x2’’’ x2’’ m’ x2’ x1’ x1’’ x1’’’ x1’ x1’’ x1’’’

m’ < m’’ < m’’’ Curva Engel Curva Oferta-Renta m’’’ m’’ x2’’’ m’ x2’’ x2’ x2’’ x2’’’ x2’ x1’ x1’’ x1’’’

Curva Engel m’’’ m’ < m’’ < m’’’ m’’ Curva Oferta-Renta m’ x2’ x2’’ x2’’’ x2’’’ m’’’ Curva Engel x2’’ m’’ x2’ m’ x1’ x1’’ x1’’’ x1’ x1’’ x1’’’

Preferencias Cobb-Douglas
Obtenemos las curvas de Engel para las preferencias Cobb-Douglas: Las ecuaciones de demanda ordinaria son:

Reordenando y despejando m: Curva Engel para el bien 1 Curva Engel para el bien 2

m Curva Engel para el bien 1 x1* m Curva Engel para el bien 2 x2*

Complementarios perfectos
Ahora vamos a obtener las curvas de Engel para el caso de los bienes complementarios perfectos:

Reordenando y despejando m: Curva Engel para el bien 1 Curva Engel para el bien 2

x2 x1

Manteniendo fijos p1 y p2 x2 m’ < m’’ < m’’’ x1

x2 m’ < m’’ < m’’’ x1

x2 m’ < m’’ < m’’’ x2’’’ x2’’ x2’ x1’ x1’’’ x1 x1’’

x2 m’ < m’’ < m’’’ Curva Oferta-Renta m x2’’’ m’’’ Curva Engel x2’’ m’’ x2’ m’ x1’ x1’’ x1’’’ x1’ x1’’ x1’’’ x1

La curva de Engel del bien 2 se construye de forma similar Ambas son líneas rectas que pasan por el origen

Complementarios Perfectos
Curva Engel m’’’ m’’ m’ x2’ x2’’ x2’’’ Curva Engel m’’’ m’’ m’ x1’ x1’’ x1’’’

Sustitutos perfectos La función de utilidad es:
Las ecuaciones de demanda ordinaria son:

Sustitutos perfectos

Sustitutos perfectos Supongamos que p1 < p2
En ese caso x1* = m/p1 y x2* = 0 Lo podemos escribir como: m = p1 x1* y x2* = 0

Sustitutos perfectos m m x1* x2* Curva Engel Curva Engel

Variaciones de la renta
¿Son las Curvas de Engel siempre funciones lineales? No. Las curvas de Engel son líneas rectas sólo cuando las preferencias de los consumidores son homotéticas

Preferencias homotéticas
Las preferencias del consumidor son homotéticas si se cumple: (x1,x2) ~ (y1,y2)  (kx1,kx2) ~ (ky1,ky2) para k > 0 Esto implica que: u(x1,x2) = u(y1,y2)  u(kx1,kx2) = u(ky1,ky2) para k > 0

Los tres ejemplos que hemos visto (Cobb-Douglas, complementarios perfectos y sustitutivos perfectos) son ejemplos de preferencias homotéticas Con preferencias homotéticas, si la renta se multiplica por t > 0, la cesta elegida también se multiplica por t

Supongamos que cuando la renta es m la curva de indiferencia es tangente a la recta presupuestaria en (x1*, x2*) Entonces, cuando la tenta es tm, la curva de indiferencia es tangente a la recta presupuestaria en (tx1*, tx2*) Por tanto, las curvas de Engel son líneas rectas

Un ejemplo no homotético
Las preferencias cuasilineales no son homotéticas: Por ejemplo:

Preferencias Cuasilineales
x2 Las C.I. son translaciones verticales de una única C.I. x1

Vemos que no son homotéticas con un ejemplo Tomamos (x1,x2) = (4,2) y (y1,y2) = (9,1). Comprobamos que u(4,2) = u(9,1) = 4 Ahora tomamos k = 4 Comprobamos que u(kx1,kx2) = u(16,8) = 12, mientras que u(ky1,ky2) = u(36,4) = 10

Podemos comprobar que la cesta óptima es: x1* = (p2/2p1) x2* = (m/p2)-(p2/4p1) siempre que m/p2 > p2/4p1 En caso contrario, tendríamos: x1* = m/p x2* = 0 ¿Cómo serían las curvas de Engel?

Un bien para el cual la cantidad demandada disminuye cuando el ingreso se incrementa se llama bien inferior En consecuencia, la curva de Engel para bienes inferiores tiene pendiente negativa

Un bien para el cual la cantidad demandada aumenta cuando la renta se incrementa se llama bien normal En consecuencia, la curva de Engel para bienes normales tiene pendiente positiva

Clases de bienes Un bien es inferior si y sólo si: (↑m→↓xi, ↓m→↑xi)
Un bien es normal si y sólo si: (↑m→↑xi, ↓m→↓xi)

Bienes normales x2’ x2’’’ x2* x2’’ x2’’’ x2’’ x2’ x1’ x1’’’ x1’ x1’’’
Curva Engel m’’’ m’’ m’ Curva Oferta-Renta x2’ x2’’’ x2* m x2’’ x2’’’ Curva Engel m’’’ x2’’ m’’ x2’ m’ x1’ x1’’’ x1’ x1’’’ x1* x1’’ x1’’

Bien 1 inferior x2’ x2’’’ x2* x2’’’ x2’’ x2’’ x2’ x1’’’ x1’’’ x1’ x1*
m Curva Engel m’’’ m’’ m’ Curva Oferta-Renta x2’ x2’’’ x2* m x2’’’ x2’’ Curva Engel m’’’ x2’’ m’’ x2’ m’ x1’’’ x1’ x1’’’ x1’ x1* x1’’ x1’’

Bien 1 híbrido x2 Curva Engel m Bien Inferior Bien Normal x1 x1*

Bien 1 híbrido m x2 Curva Engel x2* m Curva Engel x1 x1*

Cambios en el propio precio
¿Cómo se modifica x1*(p1,p2,m) a medida que p1 cambia, manteniendo constantes p2 y m? Supongamos que p1 se incrementa, primero de p1’ a p1’’ y después a p1’’’

x2 m/p2 p1’x1 + p2x2 = m p1 = p1’ m/p1’ x1

x2 m/p2 p1’’x1 + p2x2 = m p1 = p1’ p1= p1’’ m/p1’’ x1

x2 m/p2 p1’’’x1 + p2x2 = m p1 = p1’ p1= p1’’’ p1= p1’’ m/p1’’’ x1

La curva de oferta-precio del bien 1 representa las cestas que se demandarían a los diferentes niveles de precios del bien 1, manteniendo la renta y el precio del resto de los bienes constantes

Clases de bienes Un bien es ordinario si y sólo si: (↑pi→↓xi, ↓pi→↑xi)
Un bien es Giffen si y sólo si: (↑pi→↑xi, ↓pi→↓xi)

Bienes ordinarios m/p2 p1’’’ > p1’’ > p1’ m/p1’’’ m/p1’’ m/p1’
x2 m/p2 p1’’’ > p1’’ > p1’ m/p1’’’ m/p1’’ m/p1’ x1

Bienes ordinarios Curva de Oferta-Precio (C.O.P.) del bien 1 x2 x1

Bienes ordinarios Curva de demanda decreciente p1 Curva de Oferta
x2 p1 Curva de Oferta Precio del bien 1 Û Bien 1 es ordinario x1* x1

Bienes Giffen x2 m/p2 p1’’’ > p1’’ > p1’ x1 m/p1’’’ m/p1’’ m/p1’

Bienes Giffen Curva de Oferta-Precio (C.O.P.) del bien 1
x2 Curva de Oferta-Precio (C.O.P.) del bien 1 La curva de oferta-precio de un bien Giffen es decreciente x1

Bienes Giffen Curva de Demanda Curva de Oferta- Creciente p1 Precio
(C.O.P.) del bien 1 x2 p1 Û Bien 1 es Giffen x1* x1

Híbrido x2 Curva Oferta-Precio p1 Bien Ordinario Bien Giffen x1* x1

Curva de demanda ordinaria
A lo largo de la curva de demanda: - El bienestar varía - La renta disponible es constante - Los precios de los otros bienes se mantienen constantes pero las cantidades demandadas no - La condición de tangencia se satisface

Ejemplo: Preferencias Cobb-Douglas Dada la función de utilidad, Vamos a obtener las funciones de demanda de los bienes 1 y 2

Vemos que x2* no varía con p1 por lo que la curva de oferta-precio es una línea horizontal y la curva de demanda ordinaria del bien 1 es una hipérbola rectangular

Curva Oferta-Precio x1*(p1’’’) x1*(p1’) x1*(p1’’)

Curva de Demanda Ordinaria x1* x1*(p1’’’) x1*(p1’) x1*(p1’’)

Ejemplo: Complementarios perfectos Las funciones de demanda ordinarias de los bienes 1 y 2 son:

Con p2 y m constantes, un incremento en el precio del bien 1, p1, disminuye las cantidades demandadas de ambos bienes: x1* y x2* disminuyen

Si Si

x2 x1

x2 p1 = p1’ m/p2 p1’ ’ x1* x1 ’

x2 p1 = p1’’ m/p2 p1’’ p1’ ’’ x1* x1 ’’

x2 p1 = p1’’’ p1’’’ m/p2 p1’’ p1’ ’’’ x1* x1 ’’’

Curva de demanda ordinaria x2 p1’’’ m/p2 C.O.P. p1’’ p1’ x1* x1

Ejemplo: Sustitutivos perfectos Las funciones de demanda ordinarias de los bienes 1 y 2 son:

x2 p1 = p1’ < p2 x1 ’

x2 p1 = p1’ < p2 p1’ x1* ’ x1 ’

Repetimos el ejercicio para todo p1 < p2 x2 m/p2 p2 p1’ m/p2 x1* m/p2 m/p1 x1

x2 p1 = p1’’ = p2 p2 p1’ m/p2 x1* x1

x2 p1 = p1’’ = p2 p2 p1’ m/p2 x1* x1 ’’

x2 p1 = p1’’ = p2 p2 = p1’’ p1’ x1* x1

p1 = p1’’’ > p2 x2 p1’’’ p2 = p1’’ p1’ x1* x1

Repetimos para todo p1 > p2 x2 p1’’’ p2 = p1’’ p1’ x1* x1

x2 Curva de Demanda Ordinaria Curva Oferta Precio p1’’’ m/p2 p2 = p1’’ p1’ x1* x1

Función inversa de demanda
Normalmente nos preguntamos: “Dado el precio del bien 1, ¿cuál es la cantidad demandada del bien 1?” Pero nos podríamos hacer la pregunta inversa: “¿A qué precio del bien 1 se demandaría una cantidad dada del bien 1?”

p1 Dado p1’, ¿qué cantidad es demandada del bien 1? p1’ x1*

p1 Dado p1’, ¿qué cantidad es demandada del bien 1? Respuesta: x1’ unidades p1’ x1’ x1*

p1 La pregunta inversa es: “¿A qué precio del bien 1 se demandarían x1’ unidades del bien 1? x1’ x1*

p1 La pregunta inversa es: “¿A qué precio del bien 1 se demandarían x1’ unidades del bien 1? p1’ Respuesta: p1’ x1’ x1*

p1’ tiene una interpretación económica muy importante Mientras se consuman cantidades positivas de los dos bienes tenemos que p1’ = p2RMS p1’ es el valor monetario de la cantidad del bien 2 que está dispuesto a sacrificar para obtener un incremento de una unidad del bien 1

p1’ mide la disponibilidad a pagar por una unidad adicional de bien 1 La disponibilidad a pagar disminuye a medida que se incrementa la cantidad consumida. Por eso, la demanda inversa es decreciente

Ejemplo: Cobb-Douglas es la función de demanda y es la función inversa de demanda

Ejemplo: Complementarios Perfectos es la función de demanda y es la función inversa de demanda

Efecto precio cruzado Si un incremento en p2
incrementa la cantidad demandada del bien 1, entonces el bien 1 es un sustituto bruto del bien 2 disminuye la cantidad demandada del bien 1, entonces el bien 1 es un complementario bruto del bien 2

Clases de bienes Un bien j es complementario (bruto) del bien i si y sólo si: (↑pi→↓xj, ↓pi→↑xj) Un bien j es sustituto (bruto) del bien i si y sólo si: (↑pi→↑xj, ↓pi→↓xj)

Efecto precio cruzado Ejemplo de complementarios perfectos:
El bien 1 es complementario bruto del bien 2

Efecto precio cruzado Ejemplo: Cobb- Douglas: así
El bien 1 no es complementario ni sustituto bruto del bien 2

Efecto precio cruzado Curva de demanda del bien 1
Se incrementa el precio del bien 2 de p2’ a p2’’ p1’’’ p1’’ p1’ x1*

Efecto precio cruzado p1 La curva de demanda del bien 1 se desplaza
hacia adentro El bien 1 es complementario bruto del bien 2 p1’’’ p1’’ p1’ x1*

Efecto precio cruzado p1 La curva de demanda del bien 1 se desplaza
hacia afuera El bien 1 es sustituto bruto del bien 2 p1’’’ p1’’ p1’ x1*

Efecto precio cruzado Curva de demanda del bien 1 no cambia
El bien 1 no es complementario ni sustituto del bien 2 p1’’’ p1’’ p1’ x1*

Precios de reserva Supongamos un bien que se consume en unidades enteras El precio de reserva de la enésima unidad (rn) es el precio que hace que el consumidor esté indiferente entre consumir la enésima unidad o no consumirla Es decir, si p > rn, no quiere consumir esa unidad

Precios de reserva Si p < rn sí que la quiere consumir y si p = rn, está indiferente Al precio r1 al consumidor le dará igual consumir la primera unidad que no consumirla Al precio r2 al consumidor le dará igual consumir la segunda unidad que no consumirla, etc.

Precios de reserva Estos precios se pueden describir mediante la función de utilidad original Fijamos el precio del otro bien igual a 1 r1 satisface u(0,m)=u(1,m- r1) r2 satisface u(1,m- r2)=u(2,m- 2r2), etc.

Precio de reserva: utilidad cuasilineal
Si u(x1, x2) = v(x1)+x2 y v(0)=0, las expresiones anteriores se pueden reescribir como: v(0)+m=m=v(1)+m-r1, por lo que r1 = v(1) v(1)+m-r2 =v(2)+m-2r2, por lo que r2 = v(2)-v(1)

Procediendo de esta manera el precio de reserva de la tercera unidad de consumo viene dada por: r3 = v(3)-v(2) y así sucesivamente El precio de reserva mide el incremento en la utilidad para inducir al consumidor a elegir una unidad adicional del bien

El supuesto de la utilidad marginal decreciente implica que la secuencia de precios de reserva es decreciente: r1 > r2 > r3… La relación entre los precios de reserva y la demanda es muy sencilla. Si se demandan n unidades entonces el precio (p) cumple: rn > p > rn+1

Vamos a ver que los precios de reserva dan lugar a una demanda escalonada Supongamos que el bien es la gasolina que hay que consumir en galones Un galón equivale a litros

Excedente del consumidor
Curva de demanda r1 r2 r3 r4 r5 r6 1 2 3 4 5 6 Galones de Gasolina

La utilidad derivada de n unidades del bien discreto es el área de las n primeras barras que forman la demanda, debido a que la altura de cada barra es el precio de reserva y la anchura es 1 Esta área se denomina excedente bruto del consumidor

Para hallar el excedente del consumidor hay que restar del excedente bruto lo que efectivamente paga el consumidor El excedente del consumidor es la diferencia entre lo que el consumidor está dispuesto a pagar y lo que realmente tiene que pagar

pG r5 r6 1 2 3 4 5 6 Galones de Gasolina

En general, el precio de reserva depende de la renta del individuo y, por lo tanto depende de la cantidad consumida de bien 2 En el caso cuasilineal, el precio de reserva no depende de la renta (no hay efecto renta)

Sólo será totalmente correcto utilizar el área situada debajo de la curva de demanda para medir la utilidad si la función de utilidad es cuasilineal. En otros casos puede ser una buena aproximación, especialmente cuando la demanda no varía mucho cuando cambia la renta

Ahora supongamos que la gasolina se vende en unidades de medio galón r1, r2, … , rn, … son los precios de reserva de sucesivas unidades de medio galón de gasolina Ahora nuestra curva de demanda es:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Galones de Gasolina (1/2)

pG r9 r11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Galones de Gasolina (1/2)

Y si la gasolina estuviera disponible en unidades de un cuarto de galón ...

8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Galones de Gasolina (1/4)

8 pG 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Galones de Gasolina (1/4)

pG Galones de Gasolina (1/4)

Finalmente, si la gasolina se puede comprar en unidades de cualquier magnitud (cantidades continuas), entonces ...

Gasolina

pG Gasolina

Ganancia individual derivada del comercio pG Gasolina

Función de demanda: x*(p)= 20-2p Precio inicial: p = 3. p 3 x* 14

p El EC inicial es 49 EC Inicial 3 x* 14

p El precio sube a p = 5 5 3 10 14 x*

p El EC final es 25 EC después 5 3 10 14 x*

La variación en el bienestar del consumidor debido un cambio en el precio lo aproximamos a través de la variación en el excedente del consumidor

p Disminución en el EC 5 3 10 14 x*

p (A) Paga un precio más alto por las 10 unidades consumidas: (5-3)*10 = 20 (B) Consume 4 unidades menos que antes. Las valoraba en: 0.5*(5-3)*4 = 4. La pérdida total en el EC es = 24 5 A B 3 10 14 x*

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