La descarga está en progreso. Por favor, espere

La descarga está en progreso. Por favor, espere

AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román.

Presentaciones similares


Presentación del tema: "AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román."— Transcripción de la presentación:

1 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Continuar y comprobar Necesito ayuda ¿La solución obtenida es óptima? Variables básicas

2 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Para que la solución sea óptima se debe verificar que todos los elementos sean mayores o iguales que cero. Dado que dicha condición no se cumple, la solución no es óptima Variables básicas

3 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramíirez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramíirez P. Román Román Para que la solución sea óptima se debe verificar que todos los elementos sean mayores o iguales que cero. Necesito ayuda Determina la variable que sale de la base y la que entra Continuar y comprobar Dado que dicha condición no se cumple, la solución no es óptima Variables básicas Volver

4 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 0 Para ello, incluimos en la tabla dos nuevas filas. En la primera Variables básicas

5 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 0 0 Para ello, incluimos en la tabla dos nuevas filas. En la primera Variables básicas

6 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Para ello, incluimos en la tabla dos nuevas filas. En la primera Variables básicas

7 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Para ello, incluimos en la tabla dos nuevas filas. En la primera Variables básicas

8 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Para ello, incluimos en la tabla dos nuevas filas. En la primera + Calculamos, de la misma forma el valor de la función objetivo con la solución actual Variables básicas

9 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 0 0 Para ello, incluimos en la tabla dos nuevas filas. En la primera - En la segunda fila - Calculamos, de la misma forma el valor de la función objetivo con la solución actual Variables básicas

10 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román -10 Para ello, incluimos en la tabla dos nuevas filas. En la primera - En la segunda - Calculamos, de la misma forma el valor de la función objetivo con la solución actual Variables básicas

11 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 0 Para ello, incluimos en la tabla dos nuevas filas. En la primera - En la segunda - Calculamos, de la misma forma el valor de la función objetivo con la solución actual Variables básicas

12 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Para ello, incluimos en la tabla dos nuevas filas. En la primera - En la segunda - Calculamos, de la misma forma el valor de la función objetivo con la solución actual Variables básicas

13 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Para que la solución sea óptima se debe verificar que todos los elementos sean mayores o iguales que cero. Para ello, incluimos en la tabla dos nuevas filas. En la primera Dado que dicha condición no se cumple, la solución no es óptima. En la segunda - Calculamos, de la misma forma el valor de la función objetivo con la solución actual Variables básicas

14 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Para ello, incluimos en la tabla dos nuevas filas. En la primera Necesito ayuda Determina la variable que sale de la base y la que entra Continuar y comprobar Para que la solución sea óptima se debe verificar que todos los elementos sean mayores o iguales que cero. Dado que dicha condición no se cumple, la solución no es óptima. En la segunda - Calculamos, de la misma forma el valor de la función objetivo con la solución actual Variables básicas

15 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Entra en la base la variable y sale la variable Necesito ayuda Calcula los valores de la siguiente tabla del simplex Continuar y comprobar Variables básicas Volver

16 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Continuar y comprobar Necesito ayuda ¿La solución obtenida es óptima? Variables básicas 19/5 1 1/5 0 -2/5 3/ Volver

17 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Para que la solución sea óptima se debe verificar que todos los elementos sean mayores o iguales que cero. Dado que dicha condición se cumple, la solución es óptima Variables básicas /5 1 1/5 0 -2/5 3/ Pero dado que, para, variable no básica, el problema tiene óptimos alternativos. -

18 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Necesito ayuda Determina la variable que sale de la base y la que entra Continuar y comprobar Para que la solución sea óptima se debe verificar que todos los elementos sean mayores o iguales que cero. Dado que dicha condición se cumple, la solución es óptima Variables básicas /5 1 1/5 0 -2/5 3/ Pero dado que, para, variable no básica, el problema tiene óptimos alternativos. - Volver

19 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 5 VARIABLE QUE ENTRA: De entre las variables con valor de negativo, entra en la base la que corres- ponde al valor más negativo. En este caso la variable Variables básicas

20 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román : VARIABLE QUE ENTRA: De entre las variables con valor de negativo, entre en la base la que corres- ponde al valor más negativo. En este caso la variable VARIABLE QUE SALE: Fijada la variable que entra, se calcula el mínimo de los cocientes entre los valores de las variables básicas y los elementos positivos de la columna correspondiente a la variable que entra en la base. En este caso y, por tanto, la variable que sale es Variables básicas

21 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Necesito ayuda Calcula los valores de la siguiente tabla del simplex Continuar y comprobar : VARIABLE QUE ENTRA: De entre las variables con valor de negativo, entre en la base la que corres- ponde al valor más negativo. En este caso la variable VARIABLE QUE SALE: Fijada la variable que entra, se calcula el mínimo de los cocientes entre los valores de las variables básicas y los elementos positivos de la columna correspondiente a la variable que entra en la base. En este caso y, por tanto, la variable que sale es Variables básicas

22 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 53 5 PRIMER PASO: Determinación del elemento pivote Elemento de la tabla correspondiente a la variable que sale de la base y la que entra. En este caso el elemento marcado, que toma el valor Variables básicas

23 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 5 10 /5/5 SEGUNDO PASO: Cálculo de los ele- mentos de la fila de la nueva variable básica Los valores de dicha fila se obtienen dividiendo la fila correspondiente en la tabla anterior por el elemento pivote Variables básicas 1/53/

24 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román TERCER PASO: Cálculo de los elementos del resto de las filas Fijada la nueva variable básica (en este caso x 2 ), consideramos su columna aso- ciada en la tabla anterior, y de ella selec- cionamos el valor correspondiente a la variable de la nueva fila que queremos calcular. Queremos calcular la primera fila de la nueva tabla. Por tanto, en nuestro caso el valor seleccionado es 2. La nueva fila se calcula restando a la mis- ma fila de la tabla anterior la fila de la va- riable básica en la tabla actual, previamen- te multiplicada por el valor seleccionado Variables básicas 19/5 1 1/5 0 -2/5 3/

25 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Variables básicas 19/5 1 1/5 0 -2/5 3/ Continuar y comprobar Necesito ayuda ¿La solución obtenida es óptima?

26 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 6 - Para ello, de forma análoga a la tabla anterior, incluimos en la nueva tabla dos nuevas filas con los valores de y. - Los valores cada se obtienen multi- plicando cada columna de la tabla por los correspondientes costes de la va- riables básicas y sumando Variables básicas 19/5 1 1/5 0 -2/5 3/

27 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 10 + Para ello, de forma análoga a la tabla anterior, incluimos en la nueva tabla dos nuevas filas con los valores de y. - Los valores cada se obtienen multi- plicando cada columna de la tabla por los correspondientes costes de la va- riables básicas y sumando /5 19/ Variables básicas 1 1/5 0 -2/

28 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román + Para ello, de forma análoga a la tabla anterior, incluimos en la nueva tabla dos nuevas filas con los valores de y. - Los valores cada se obtienen multi- plicando cada columna de la tabla por los correspondientes costes de la va- riables básicas y sumando / / Variables básicas 1 1/5 -2/

29 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román + Para ello, de forma análoga a la tabla anterior, incluimos en la nueva tabla dos nuevas filas con los valores de y. - Los valores cada se obtienen multi- plicando cada columna de la tabla por los correspondientes costes de la va- riables básicas y sumando / / Variables básicas 1 1/5 -2/

30 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 30 + Para ello, de forma análoga a la tabla anterior, incluimos en la nueva tabla dos nuevas filas con los valores de y. - Los valores cada se obtienen multi- plicando cada columna de la tabla por los correspondientes costes de la va- riables básicas y sumando. Calculamos, de la misma forma el valor de la función objetivo con la solución actual / / Variables básicas 1 1/5 -2/

31 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Calculamos ahora los valores de restando de la fila anterior la fila de costos. - - Calculamos, de la misma forma el valor de la función objetivo con la solución actual. Para ello, de forma análoga a la tabla anterior, incluimos en la nueva tabla dos nuevas filas con los valores de y. - Los valores cada se obtienen multi- plicando cada columna de la tabla por los correspondientes costes de la va- riables básicas y sumando / / Variables básicas 1 1/5 -2/

32 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 30 Para que la solución sea óptima se debe verificar que todos los elementos sean mayores o iguales que cero. Dado que dicha condición se cumple, la solución es óptima / / Variables básicas 1 1/5 -2/ Pero dado que, para, variable no básica, el problema tiene óptimos alternativos.

33 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Necesito ayuda Determina la variable que sale de la base y la que entra Continuar y comprobar 30 Para que la solución sea óptima se debe verificar que todos los elementos sean mayores o iguales que cero. Dado que dicha condición se cumple, la solución es óptima / / Variables básicas 1 1/5 -2/ Pero dado que, para, variable no básica, el problema tiene óptimos alternativos.

34 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Entra en la base la variable y sale la variable Necesito ayuda Calcula los valores de la siguiente tabla del simplex Continuar y comprobar Variables básicas / /5 1 1/5 -2/ Volver 6 10

35 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Continuar y comprobar Necesito ayuda ¿La solución obtenida es óptima? Variables básicas / /5 1 1/5 -2/ /19-2/1920/19 -3/19 5/1945/19 Volver 6 10

36 3038/ Para que la solución sea óptima se debe verificar que todos los elementos sean mayores o iguales que cero. Dado que dicha condición se cumple, la solución, junto con la obtenida anteriormente, también es óptima Variables básicas / /5 1 1/5 -2/ /19-2/1920/19 -3/19 5/1945/19 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Además, cualquier combinación lineal convexa de las soluciones obtenidas es también solución óptima. 6 10

37 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 3038/ Para que la solución sea óptima se debe verificar que todos los elementos sean mayores o iguales que cero. 38/ Variables básicas / /5 1 1/5 -2/ /19-2/1920/19 -3/19 5/1945/19 Volver Dado que dicha condición se cumple, la solución, junto con la obtenida anteriormente, también es óptima. Además, cualquier combinación lineal convexa de las soluciones obtenidas es también solución óptima. 6 10

38 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramirez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramirez P. Román Román 5 0 VARIABLE QUE ENTRA: Cualquiera de las variables no básicas con valor de nulo. En este caso la variable / / Variables básicas 1 1/5 -2/

39 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román -2/ /5 : VARIABLE QUE SALE: Fijada la variable que entra, se calcula el mínimo de los cocientes entre los valores de las variables básicas y los elementos positivos de la columna correspondiente a la variable que entra en la base. VARIABLE QUE ENTRA: Cualquiera de las variables no básicas con valor de nulo. En este caso la variable / Variables básicas 1/ En este caso y, por tanto, la variable que sale es

40 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Necesito ayuda Calcula los valores de la siguiente tabla del simplex Continuar y comprobar -2/ /5 : VARIABLE QUE SALE: Fijada la variable que entra, se calcula el mínimo de los cocientes entre los valores de las variables básicas y los elementos positivos de la columna correspondiente a la variable que entra en la base. VARIABLE QUE ENTRA: Cualquiera de las variables no básicas con valor de nulo. En este caso la variable / Variables básicas 1/ En este caso y, por tanto, la variable que sale es

41 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 0 3/5 19/5 1 PRIMER PASO: Determinación del elemento pivote Elemento de la tabla correspondiente a la variable que sale de la base y la que entra. En este caso el elemento marcado, que toma el valor 19/ Variables básicas /5 -2/

42 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 3 /(19/5) SEGUNDO PASO: Cálculo de los ele- mentos de la fila de la nueva variable básica Los valores de dicha fila se obtienen dividiendo la fila correspondiente en la tabla anterior por el elemento pivote. 0 3/5 19/ Variables básicas /5 -2/ /19-2/1920/

43 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román /19 (3/5) TERCER PASO: Cálculo de los elementos del resto de las filas Fijada la nueva variable básica (en este caso x 1 ), consideramos su columna aso- ciada en la tabla anterior, y de ella selec- cionamos el valor correspondiente a la variable de la nueva fila que queremos calcular. Queremos calcular la segunda fila de la nueva tabla. Por tanto, en nuestro caso el valor seleccionado es 3/5. La nueva fila se calcula restando a la mis- ma fila de la tabla anterior la fila de la va- riable básica en la tabla actual, previamen- te multiplicada por el valor seleccionado. - 19/5 3 3/ Variables básicas /5 -2/ /19-2/ /19 5/1945/

44 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 3/5 19/5 3 45/19 Continuar y comprobar Necesito ayuda ¿La solución obtenida es óptima? / Variables básicas /5 -2/ /19-2/ /19 5/

45 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román - Para ello, de forma análoga a la tabla anterior, incluimos en la nueva tabla dos nuevas filas con los valores de y. - Los valores cada se obtienen multi- plicando cada columna de la tabla por los correspondientes costes de la va- riables básicas y sumando /5 19/5 3 45/ / Variables básicas /5 -2/ /19-2/ /19 5/

46 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román + Para ello, de forma análoga a la tabla anterior, incluimos en la nueva tabla dos nuevas filas con los valores de y. - Los valores cada se obtienen multi- plicando cada columna de la tabla por los correspondientes costes de la va- riables básicas y sumando /5 19/5 3 45/ /19 00 Variables básicas /5 -2/ /19-2/19 1-3/19 5/

47 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 5/19 -3/19 + Para ello, de forma análoga a la tabla anterior, incluimos en la nueva tabla dos nuevas filas con los valores de y. - Los valores cada se obtienen multi- plicando cada columna de la tabla por los correspondientes costes de la va- riables básicas y sumando /5 19/5 3 45/ /19 00 Variables básicas /5 -2/ /19 1 5/

48 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román -2/19 45/195/19 + Para ello, de forma análoga a la tabla anterior, incluimos en la nueva tabla dos nuevas filas con los valores de y. - Los valores cada se obtienen multi- plicando cada columna de la tabla por los correspondientes costes de la va- riables básicas y sumando /5 19/ /19 00 Variables básicas /5 -2/ /19 1-3/19 38/

49 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 45/19 20/ Para ello, de forma análoga a la tabla anterior, incluimos en la nueva tabla dos nuevas filas con los valores de y. - Los valores cada se obtienen multi- plicando cada columna de la tabla por los correspondientes costes de la va- riables básicas y sumando. Calculamos, de la misma forma el valor de la función objetivo con la solución actual /5 19/ Variables básicas /5 -2/ /19-2/19 1-3/19 5/19 38/

50 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Calculamos ahora los valores de restando de la fila anterior la fila de costos. - - Calculamos, de la misma forma el valor de la función objetivo con la solución actual. Para ello, de forma análoga a la tabla anterior, incluimos en la nueva tabla dos nuevas filas con los valores de y. - Los valores cada se obtienen multi- plicando cada columna de la tabla por los correspondientes costes de la va- riables básicas y sumando /5 19/5 3 45/ /19 00 Variables básicas /5 -2/ /19-2/19 1-3/19 5/ / /

51 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román /5 19/5 3 45/ /19 00 Variables básicas /5 -2/ /19-2/19 1-3/19 5/ / /1900 Para que la solución sea óptima se debe verificar que todos los elementos sean mayores o iguales que cero. Dado que dicha condición se cumple, la solución, junto con la obtenida anteriormente, también es óptima. Además, cualquier combinación lineal convexa de las soluciones obtenidas es también solución óptima. 6 10

52 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román /5 19/5 3 45/ /19 00 Variables básicas /5 -2/ /19-2/19 1-3/19 5/ / /1900 Para que la solución sea óptima se debe verificar que todos los elementos sean mayores o iguales que cero. Dado que dicha condición se cumple, la solución, junto con la obtenida anteriormente, también es óptima. Además, cualquier combinación lineal convexa de las soluciones obtenidas es también solución óptima. 6 10


Descargar ppt "AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román."

Presentaciones similares


Anuncios Google