AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román.

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1 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Este material proporciona la motivación geométrica del Método Simplex. En un ejemplo concreto se plantea una iteración del algoritmo Simplex (elección de la variable que entra en la base y la que sale) y se muestra visualmente su interpretación gráfica de la siguiente forma: partiendo de una solución inicial (esto es, un punto extremo de la región factible) se consideran los posibles movimientos a través de las aristas de la región factible, seleccionando en primer lugar cuales de ellos conducen a una mejora de la función objetivo y, posteriormente, seleccionando la que produce la mayor mejora. A continuación mostrando dicho movimiento desde el punto extremo de partida se deducen sus consecuencias: cambio de las variables básicas (y, por tanto, obtención de una nueva solución que, en este caso, mejora a la anterior) por el abandono de uno de los hiperplanos que confluyen en el punto extremo de partida y por el bloqueo de un hiperplano que evita el escape de la región factible. La variable definitoria del hiperplano abandonado será la variable que entra en la base y la variable de bloqueo la que sale. De esta forma, el alumno adquiere, de forma intuitiva, el mecanismo de funcionamiento del método Simplex. AVISO : Para su correcta visualización es necesario tener instalada la opción Microsoft Editor de ecuaciones de Microsoft Office. Las presentaciones avanzan con sucesivos clicks de ratón y/o pulsando los eventuales botones (no deben usarse los cursores ni la rueda del ratón).

2 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Máx Z=2x 1 +x 2 s. a. x 1 +2x 2 6 x 1 x 2 4 x 2 2 x 1, x 2 0 Máx Z=2x 1 +x 2 +0s 1 +0s 2 +0s 3 s. a. x 1 +2x 2 + s 1 = 6 x 1 x 2 + s 2 = 4 x 2 + s 3 = 2 x 1, x 2, s 1, s 2, s 3 0 2 1 34 2 1 3 5 6 (0,0) Región Factible

3 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Máx Z=2x 1 +x 2 s. a. x 1 +2x 2 6 x 1 x 2 4 x 2 2 x 1, x 2 0 Máx Z=2x 1 +x 2 +0s 1 +0s 2 +0s 3 s. a. x 1 +2x 2 + s 1 = 6 x 1 x 2 + s 2 = 4 x 2 + s 3 = 2 x 1, x 2, s 1, s 2, s 3 0 Región Factible 2 1 34 2 1 3 5 6 (0,0) (s 1 =0) (s 2 =0) (s 3 =0) ALGORITMO SIMPLEX V. básicas 6 0 0 1 1 0 2 1 0 01 0 4 0010012 z j -c j 000 Z=0 00210 -2 Variables básicas Solución Variables no básicas Variables básicas Solución Variables no básicas ITERACIÓN DEL SIMPLEX Sale de la base s 2 Entra en la base x 1 V. básicas 2 2 0 0 1 0 3 1 0 01 0 4 0010012 z j -c j 020 Z=8 00210 0-3 z j -c j <0

4 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Máx Z=2x 1 +x 2 s. a. x 1 +2x 2 6 x 1 x 2 4 x 2 2 x 1, x 2 0 Máx Z=2x 1 +x 2 +0s 1 +0s 2 +0s 3 s. a. x 1 +2x 2 + s 1 = 6 x 1 x 2 + s 2 = 4 x 2 + s 3 = 2 x 1, x 2, s 1, s 2, s 3 0 Región Factible 2 1 34 2 1 3 5 6 (0,0) (s 1 =0) (s 2 =0) (s 3 =0) ALGORITMO SIMPLEX V. básicas 6 0 0 1 1 0 2 1 0 01 0 4 0010012 z j -c j 000 Z=0 00210 -2 Variables básicas Solución Variables no básicas Variables básicas Solución Variables no básicas Sale de la base s 2 Entra en la base x 1 V. básicas 2 2 0 0 1 0 3 1 0 01 0 4 0010012 z j -c j 020 Z=8 00210 0-3 Solución inicial Punto extremo de partida B úsqueda del punto extremo adyacente que proporcione la mayor mejora en la función objetivo Posibles direcciones de movimiento Direcciones de mejora Una dirección d produce una mejora en la función objetivo si forma con su gradiente un ángulo agudo, d 1 =(1,0) d 2 =(0,1) es decir si o, equivalentemente, ITERACIÓN DEL SIMPLEX z j -c j <0

5 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Direcciones de mejora Máx Z=2x 1 +x 2 s. a. x 1 +2x 2 6 x 1 x 2 4 x 2 2 x 1, x 2 0 Máx Z=2x 1 +x 2 +0s 1 +0s 2 +0s 3 s. a. x 1 +2x 2 + s 1 = 6 x 1 x 2 + s 2 = 4 x 2 + s 3 = 2 x 1, x 2, s 1, s 2, s 3 0 Región Factible 2 1 34 2 1 3 5 6 (0,0) (s 1 =0) (s 2 =0) (s 3 =0) ALGORITMO SIMPLEX V. básicas 6 0 0 1 1 0 2 1 0 01 0 4 0010012 z j -c j 000 Z=0 00210 -2 V. básicas 2 2 0 0 1 0 3 1 0 01 0 4 0010012 z j -c j 020 Z=8 00210 0-3 Solución inicial Punto extremo de partida Búsqueda del punto extremo adyacente que proporcione la mayor mejora en la función objetivo Posibles direcciones de movimiento d 1 =(1,0), d 2 =(0,1), Dirección óptima de mejora La dirección d que produce la mayor mejora es aquella para la cual es mayor. Variables básicas Solución Variables no básicas Variables básicas Solución Variables no básicas Sale de la base s 2 Entra en la base x 1 ITERACIÓN DEL SIMPLEX z j -c j <0

6 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 1 Direcciones de mejora Máx Z=2x 1 +x 2 s. a. x 1 +2x 2 6 x 1 x 2 4 x 2 2 x 1, x 2 0 Máx Z=2x 1 +x 2 +0s 1 +0s 2 +0s 3 s. a. x 1 +2x 2 + s 1 = 6 x 1 x 2 + s 2 = 4 x 2 + s 3 = 2 x 1, x 2, s 1, s 2, s 3 0 Región Factible 2 34 2 1 3 5 6 (0,0) (s 1 =0) (s 2 =0) (s 3 =0) ALGORITMO SIMPLEX V. básicas 6 0 0 1 1 0 2 1 0 01 0 4 0010012 z j -c j 000 Z=0 00210 -2 V. básicas 2 2 0 0 1 0 3 1 0 01 0 4 0010012 z j -c j 020 Z=8 00210 0-3 Solución inicial Punto extremo de partida Búsqueda del punto extremo adyacente que proporcione la mayor mejora en la función objetivo Posibles direcciones de movimiento d 1 =(1,0), d 2 =(0,1), Dirección óptima de mejora Abandono del hiperplano x 1 =0 x 1 >0 Entra en la base x 1 Bloqueo del hiperplano s 2 =0 s 2 = 0 Deja la base s 2 Variables básicas Solución Variables no básicas Variables básicas Solución Variables no básicas Sale de la base s 2 Entra en la base x 1 ITERACIÓN DEL SIMPLEX z j -c j <0 Nueva solución Punto extremo adyacente (4,0)

7 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román es decir si o, equivalentemente, (4,0) Máx Z=2x 1 +x 2 s. a. x 1 +2x 2 6 x 1 x 2 4 x 2 2 x 1, x 2 0 Máx Z=2x 1 +x 2 +0s 1 +0s 2 +0s 3 s. a. x 1 +2x 2 + s 1 = 6 x 1 x 2 + s 2 = 4 x 2 + s 3 = 2 x 1, x 2, s 1, s 2, s 3 0 Región Factible 2 1 34 2 1 3 5 6 (s 1 =0) (s 2 =0) (s 3 =0) ALGORITMO SIMPLEX Variables básicas Solución Variables no básicas Variables básicas Solución Variables no básicas Sale de la base s 1 Entra en la base x 2 V. básicas 2/3 2 1 0 1/3 1 1 -1/3 02/3 0 14/3 000-1/3011 z j -c j 110 Z=10 00210 0 00 V. básicas 2 2 0 0 1 0 3 1 0 01 0 4 0010012 z j -c j 020 Z=8 00210 0-3 Nueva solución Punto extremo asociado B úsqueda del punto extremo adyacente que proporcione la mayor mejora en la función objetivo Posibles direcciones de movimiento Direcciones de mejora Una dirección d produce una mejora en la función objetivo si forma con su gradiente un ángulo agudo, d 1 =(1,1) d 2 =(-1,0) ITERACIÓN DEL SIMPLEX z j -c j <0 d 1 =(1,1), Dirección óptima de mejora Abandono del hiperplano x 2 =0 x 2 >0 Entra en la base x 2 Bloqueo del hiperplano s 1 =0 s 1 = 0 Deja la base s 1 Nueva solución Punto extremo adyacente (14/3,2/3)

8 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Máx Z=2x 1 +x 2 s. a. x 1 +2x 2 6 x 1 x 2 4 x 2 2 x 1, x 2 0 Máx Z=2x 1 +x 2 +0s 1 +0s 2 +0s 3 s. a. x 1 +2x 2 + s 1 = 6 x 1 x 2 + s 2 = 4 x 2 + s 3 = 2 x 1, x 2, s 1, s 2, s 3 0 Región Factible 2 1 34 2 1 3 5 6 (s 1 =0) (s 2 =0) (s 3 =0) ALGORITMO SIMPLEX Variables básicas Solución Variables no básicas V. básicas 2/3 2 1 0 1/3 1 1 -1/3 02/3 0 14/3 000-1/3011 z j -c j 110 Z=10 00210 0 00 Nueva solución Punto extremo asociado (14/3,2/3) B úsqueda del punto extremo adyacente que proporcione la mayor mejora en la función objetivo Posibles direcciones de movimiento Direcciones de mejora Una dirección d produce una mejora en la función objetivo si forma con su gradiente un ángulo agudo, d 1 =(-1,-1) d 2 =(-2,1) es decir si o, equivalentemente, z j -c j 0, j Solución óptima No existen direcciones de mejora

9 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 4 Máx Z=2x 1 +x 2 s. a. x 1 +2x 2 6 x 1 x 2 4 x 2 2 x 1, x 2 0 Máx Z=2x 1 +x 2 +0s 1 +0s 2 +0s 3 s. a. x 1 +2x 2 + s 1 = 6 x 1 x 2 + s 2 = 4 x 2 + s 3 = 2 x 1, x 2, s 1, s 2, s 3 0 Región Factible 2 1 3 2 1 3 5 6 (s 1 =0) (s 2 =0) (s 3 =0) ALGORITMO SIMPLEX Variables básicas Solución Variables no básicas V. básicas 2/3 2 1 0 1/3 1 1 -1/3 02/3 0 14/3 000-1/3011 z j -c j 110 Z=10 00210 0 00 Nueva solución Punto extremo asociado (14/3,2/3) Búsqueda del punto extremo adyacente que proporcione la mayor mejora en la función objetivo Posibles direcciones de movimiento Direcciones de mejoraNo existen z j -c j 0, j Solución óptima Se ha encontrado la solución óptima Solución óptima

10 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 4 Máx Z=2x 1 +x 2 s. a. x 1 +2x 2 6 x 1 x 2 4 x 2 2 x 1, x 2 0 Máx Z=2x 1 +x 2 +0s 1 +0s 2 +0s 3 s. a. x 1 +2x 2 + s 1 = 6 x 1 x 2 + s 2 = 4 x 2 + s 3 = 2 x 1, x 2, s 1, s 2, s 3 0 Región Factible 2 1 3 2 1 3 5 6 (s 1 =0) (s 2 =0) (s 3 =0) ALGORITMO SIMPLEX Variables básicas Solución Variables no básicas V. básicas 2/3 2 1 0 1/3 1 1 -1/3 02/3 0 14/3 000-1/3011 z j -c j 110 Z=10 00210 0 00 Nueva solución Punto extremo asociado (14/3,2/3) Búsqueda del punto extremo adyacente que proporcione la mayor mejora en la función objetivo Posibles direcciones de movimiento Direcciones de mejoraNo existen z j -c j 0, j Solución óptima Se ha encontrado la solución óptima Solución óptima