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APLICACIONES DE LA DERIVADA
La Rigidez de una viga rectangular es conjuntamente proporcional a su anchura y al cubo de su espesor. Determinar las dimensiones de mayor rigidez que puede cortarse de un tronco en forma de cilindro circular recto, cuyo radio es “a”.
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Sea: La rigidez esta dada por: R =(ancho)*(espesor)^3
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2a y x Por lo tanto: R =(ancho)*(espesor)^3 => R=X*Y^3 (2a)^2 = (x )^2 + (y )^2 1 2
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DESPEJANDO “Y” DE LA ECUACION 2:
4a^2 - x^2 = y^2 REEMPLAZANDO EN LA ECUACION 1, SE TIENE: R=X*(4a^2 - x^2)*(4a^2 - x^2) ^½ ECUACION PRINCIPAL
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DERIVANDO LA ECUACION:
R=*X*(4a^2 - x^2) ^3/2 dR/dx = [(4a^2 - x^2) ^3/2 +x*(3/2)((4a^2 - x^2) ^1/2)*(-2x) IGUALANDO EN CERO: 0 = [(4a^2 - x^2) ^3/2]+[(4a^2 - x^2)*( – 3x^2)] SE OBTIENE: 1° (4a^2 - x^2) – 3x = => a = x , solución valida.
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Por lo tanto, reemplazando a = x en la ecuación principal:
R=a*(4a^2 - a^2)^3/2 R=a*(3a ^2) ^(3/2) R=(3^(3/2))*a^4
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f ´´(x) > 0 , es minino relativo
Recordemos que: f ´´(x) > 0 , es minino relativo f ´´(x) < 0 , es máximo relativo como vemos: dR/dx = [(4a^2 - x^2) ^3/2 +(3/2)((4a^2 - x^2) ^1/2)(-2x) d²R/dx² = K*[-3((4a^2 - x^2) ^1/2)-6x((4a^2 - x^2) ^1/2)+3x/((4a^2 - x^2) ^1/2)] IGUALANDO LA ECUACION A 0, OBTENGO QUE: d²R/dx² < 0
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POR LO TANTO, LAS DIMNSIONES DE LA VIGA DE MAYOR RIGIDEZ SON:
VOLUMEN VIGA = (BASE)(ALTURA)(LARGO) A= a²(3^½)L o A= x²(3^½)L
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