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La Rigidez de una viga rectangular es conjuntamente proporcional a su anchura y al cubo de su espesor. Determinar las dimensiones de mayor rigidez que.

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2 La Rigidez de una viga rectangular es conjuntamente proporcional a su anchura y al cubo de su espesor. Determinar las dimensiones de mayor rigidez que puede cortarse de un tronco en forma de cilindro circular recto, cuyo radio es a.

3 Sea: La rigidez esta dada por: R =(ancho)*(espesor)^ 3

4 2a y x Por lo tanto: R =(ancho)*(espesor)^3 => R=X*Y^3 (2a)^2 = (x )^2 + (y )^2 1 2

5 DESPEJANDO Y DE LA ECUACION 2: 4a^ 2 - x^ 2 = y^ 2 REEMPLAZANDO EN LA ECUACION 1, SE TIENE: R=X*(4a^ 2 - x^ 2 )*(4a^ 2 - x^ 2 ) ^ ½ ECUACION PRINCIPAL

6 DERIVANDO LA ECUACION: R=*X*(4a^ 2 - x^ 2 ) ^ 3/2 dR/dx = [(4a^ 2 - x^ 2 ) ^ 3/2 +x*(3/2)((4a^ 2 - x^ 2 ) ^ 1/2 )*(-2x) IGUALANDO EN CERO: 0 = [(4a^ 2 - x^ 2 ) ^ 3/2 ]+[(4a^ 2 - x^ 2 )*( – 3x^ 2 )] SE OBTIENE: 1° (4a^ 2 - x^ 2 ) – 3x = 0 => a = x, solución valida.

7 Por lo tanto, reemplazando a = x en la ecuación principal: R=a*(4a^ 2 - a^ 2 )^ 3/2 R=a*(3a ^2) ^(3/2) R=(3^ (3/2) )*a^ 4

8 Recordemos que: f ´´(x) > 0, es minino relativo f ´´(x) < 0, es máximo relativo como vemos: dR/dx = [(4a^ 2 - x^ 2 ) ^ 3/2 +(3/2)((4a^ 2 - x^ 2 ) ^ 1/2 )(-2x) d²R/dx² = K*[-3((4a^ 2 - x^ 2 ) ^ 1/2 )-6x((4a^ 2 - x^ 2 ) ^ 1/2 )+3x/((4a^ 2 - x^ 2 ) ^ 1/2 )] IGUALANDO LA ECUACION A 0, OBTENGO QUE: d²R/dx² < 0

9 POR LO TANTO, LAS DIMNSIONES DE LA VIGA DE MAYOR RIGIDEZ SON: VOLUMEN VIGA = (BASE)(ALTURA)(LARGO) A= a²(3^½)L o A= x²(3^½)L


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